章 曦 李配軍 吳方平 董秋云 馬書(shū)云

（解放軍理工大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與物理系，江蘇 南京 211101）

對(duì)勻速率曲線運(yùn)動(dòng)的解釋＊

章 曦 李配軍 吳方平 董秋云 馬書(shū)云

（解放軍理工大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與物理系，江蘇 南京 211101）

通過(guò)理論推導(dǎo)，給出了勻速率曲線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律；同時(shí)將理論結(jié)果與數(shù)值計(jì)算進(jìn)行對(duì)比，數(shù)值計(jì)算與理論吻合得很好.最后給出了控制勻速率曲線運(yùn)動(dòng)的方法.

勻速率曲線運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)的規(guī)律；運(yùn)動(dòng)的控制

在《對(duì)勻速率曲線運(yùn)動(dòng)的探討》一文［1］（以下簡(jiǎn)稱引文）中，筆者給出了不同情形下質(zhì)點(diǎn)作勻速率曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡.那么，質(zhì)點(diǎn)作勻速率曲線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是什么呢？

1 理論與方法

t＝1s時(shí)刻，an＝0（見(jiàn)圖3（a）），此瞬間質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)；同樣，t＝2s時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)也是作勻速直線運(yùn)動(dòng).這兩條直線（見(jiàn)圖1（d））之間的夾角就是第二秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向所轉(zhuǎn)過(guò)的角度.考慮到函數(shù)形式的周期性，第n（n為1到30內(nèi)任一正整數(shù)）秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的切線方向所轉(zhuǎn)過(guò)的角度φ是一樣的.

下面來(lái)推導(dǎo)角度φ的具體值.考慮一段無(wú)窮小的時(shí)間間隔dt，這一段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為ωdt，利用質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)［2］，得φ＝這里g＝an／v，與引文中的定義相同.取t1＝1s、t2＝2s，得：φ＝600／π，實(shí)際上就是曲線下第二秒內(nèi)的面積S.

圖1 不同時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

2 數(shù)值計(jì)算

接下來(lái)給出數(shù)值計(jì)算（這一工作在 Matlab［3］中完成）的結(jié)果，對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證.首先給出利用計(jì)算機(jī)求解φ值的方法.如圖2，t＝1s時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向可以用t＝0.999s時(shí)刻和t＝1.001s時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位置所確定的直線來(lái)近似；同樣的，t＝2s時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向可以用t＝1.999s時(shí)刻和t＝2.001s時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位置所確定的直線來(lái)近似.這樣，就可以進(jìn)一步計(jì)算出第二秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度φ.

圖2 數(shù)值計(jì)算角度φ的方法

（2）式，參見(jiàn)圖3（c）

對(duì)于這兩種情形，對(duì)應(yīng)于不同的C值，表1也給出了φ值（分別記為φ2和φ3）的數(shù)值計(jì)算結(jié)果.該結(jié)果與理論值也是相吻合的.

表1 不同情形下第二秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度φ值的數(shù)值計(jì)算結(jié)果

圖3 g的幾種不同函數(shù)形式

3 結(jié)論與分析

值得注意的是，對(duì)于C的幾種不同取值，φ3的取值為π或0（忽略數(shù)值計(jì)算的誤差）.基于這一原理，我們可以對(duì)勻速率曲線運(yùn)動(dòng)進(jìn)行控制.在引文中，g情形下，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是不閉合的，而我們只給出了30s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.事實(shí)上，隨著時(shí)間的演化，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)變得越來(lái)越復(fù)雜，藝術(shù)上的美感也會(huì)大大減弱.

這里，我們可以通過(guò)對(duì)g函數(shù)形式的限制來(lái)得到一個(gè)閉合的運(yùn)動(dòng)軌跡.比如取為式（2）的表達(dá)形式，其中C＝324.此時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4（a）所示.這種情況下，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是閉合的；即使時(shí)間趨于無(wú)窮大，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡依然保持不變.

通過(guò)參數(shù)的調(diào)節(jié)，我們可以得到任意數(shù)目的“漩渦”.當(dāng)C＝319時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4（b）所示.當(dāng)C＝320＋8／7時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4（c）所示；當(dāng)C＝320＋8／9時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4（d）所示.

注意到C＝321和C＝319時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡中的“漩渦”數(shù)同為8個(gè)，但運(yùn)動(dòng)軌跡有著細(xì)微的差別，C＝321時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡類(lèi)似于圖4（c）和圖4（d）（沒(méi)有給出）.

圖4 對(duì)勻速率曲線運(yùn)動(dòng)的控制

［1］ 章曦等.對(duì)勻速率曲線運(yùn)動(dòng)的探討［J］.大學(xué)物理，2009，28（6）：9～11

［2］ 周衍柏.理論力學(xué)教程［M］ 2版.北京：高等教育出版社，1986.3：17

［3］ 張志涌.精通 MATLAB6.5［M］.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2003.3

2011-05-31；

2011-09-27）

解放軍理工大學(xué)理學(xué)院青年預(yù)研基金（QN-WL-2009-06）和解放軍理工大學(xué)青年預(yù)研基金（20110521）資助.

章曦（1983年出生），男，安徽巢湖人，解放軍理工大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與物理系講師，碩士，主要從事混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和激光探潛方面的研究.