陳桂華，譚穗妍，龐 瑋

（1.東莞理工學(xué)院 電子工程學(xué)院，廣東 東莞 523808；2.華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 應(yīng)用物理系，廣東 廣州 510642；3.廣東工業(yè)大學(xué) 實驗教學(xué)部大學(xué)物理實驗中心，廣東 廣州 510006）

光學(xué)課程中一個數(shù)值仿真例子：光折變離散孤子

陳桂華1，譚穗妍2，龐 瑋3

（1.東莞理工學(xué)院 電子工程學(xué)院，廣東 東莞 523808；2.華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 應(yīng)用物理系，廣東 廣州 510642；3.廣東工業(yè)大學(xué) 實驗教學(xué)部大學(xué)物理實驗中心，廣東 廣州 510006）

本文用改進的Peaceman-Rachfor（PR）的差分方案對二維非線性薛定諤方程進行研究，通過結(jié)合虛時間方法，以缺陷離散系統(tǒng)模型為例子，分別對帶缺陷和不帶缺陷光折變晶格波導(dǎo)中的離散孤子進行了模擬，所涉及的內(nèi)容為目前非線性光學(xué)及其它非線性物理領(lǐng)域內(nèi)的前沿問題.此外，這些內(nèi)容也可以為計算物理課程、量子力學(xué)課程以及光學(xué)各類數(shù)值仿真模塊的例子或習(xí)題.

二維非線性薛定諤方程；4步Peaceman-Rachfor差分方案；離散系統(tǒng)；離散孤子

1 引言

差分方法作為求解偏微分方程的基本方法有著直觀、明、白容易上手的作用.在物理學(xué)中，許多的基本方程，如力學(xué)中的拉格朗日方程和哈密頓方程，電磁學(xué)或光學(xué)中的麥克斯韋方程以及量子力學(xué)中的薛定諤方程等，其本質(zhì)都是一系列的偏微分方程.因此，對偏微分方程的構(gòu)造和求解，成為物理學(xué)中間的一個核心內(nèi)容，同時也是物理學(xué)科教學(xué)和學(xué)習(xí)的主要任務(wù).在以往的教學(xué)實踐中，許多教材以及教師的講解往往過分注重于數(shù)學(xué)上解析方法的講述，使得很多學(xué)生在繁重數(shù)學(xué)公式面前迷失了物理的本質(zhì)，并由此產(chǎn)生了不知道自己到底在學(xué)物理還是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困惑.特別現(xiàn)在許多高校在數(shù)學(xué)、物理等基礎(chǔ)課程學(xué)時數(shù)遭到壓縮的時候，不少學(xué)生數(shù)學(xué)和物理素養(yǎng)不夠扎實，這一現(xiàn)象就更為凸顯.因此，如何結(jié)合目前高校物理學(xué)課程設(shè)置的現(xiàn)狀，探索更有效的教學(xué)模式，緩解學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生不必要的困惑以及提高學(xué)習(xí)效率，成為了物理學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)研究中的一個重要問題.

近年來，隨著計算機技術(shù)和計算機課程的普及，許多基礎(chǔ)類或工程類的學(xué)科都引入了計算機仿真等模塊進行教學(xué)，這些模塊的引入，使得學(xué)生可以更加直觀明白有效地理解他們所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，同時，學(xué)生在這些課程和環(huán)境的熏陶下，普遍都具有較好的計算機能力.因此，在物理課程中適當(dāng)引入計算機仿真的模塊，對舒緩學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中迷失于枯燥的數(shù)學(xué)公式有一定的作用，而且，引入仿真模塊也使得學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué)背后的物理本質(zhì)有積極的意義.

目前，國內(nèi)對于物理計算機仿真的課程也逐步增多，例如很多高校都開設(shè)了計算物理課程的選修或者必修課程.在這些課程中，我們除了講解一些基本的算法知識，其核心內(nèi)容就是介紹各類物理學(xué)偏微分方程仿真和求解的數(shù)值方法.我們在開展這類課程的時候，需要許多實際的例子或者習(xí)題對學(xué)生進行講解和訓(xùn)練.而這些例子或者習(xí)題，如果能夠和前沿領(lǐng)域掛鉤，則既可增加學(xué)生的科研能力和學(xué)習(xí)興趣，又可以讓學(xué)生快速地了解和把握物理前沿問題.

本論文這里所講的4步差分格式Peaceman-Rachfor差分方案，是在簡單的Crank-Nicolson差分方案的思路上,基于最簡單的差分格式延伸而來的二維差分方案[1].該差分格式通過把二維問題化成一維問題，具有較好的運算效率，而且直觀明白，適合課堂中進行講解及課后進行實踐.下面，我們將以離散系統(tǒng)中的非線性薛定方程為例子，講述這個差分格式與虛時間方法結(jié)合在求解二維非線性薛定方程中的仿真運用.

眾所周知，光波在線性周期離散系統(tǒng)中傳播時會出現(xiàn)一些反常衍射、反常折射及分立衍射等反?，F(xiàn)象.這些現(xiàn)象在連續(xù)，均勻介質(zhì)中是從來未有遇見到的[2-3].在傳播過程中，當(dāng)光波與相鄰波導(dǎo)之間的線性耦合以及非線性效應(yīng)平衡的時候，就會形成自局域態(tài).這種自局域態(tài)也叫做離散孤子（Discretesoliton）[4-7].在許多科學(xué)領(lǐng)域中，離散孤子的研究都是非常熱門的研究課題[8].長期以來，人們對離散系統(tǒng)的研究都局限在一維的系統(tǒng)中，近年來通過利用全息技術(shù)，在光折變晶體中產(chǎn)生二維的周期的陣列波導(dǎo)并產(chǎn)生離散孤子，使得二維離散系統(tǒng)得以在實驗建立[7].由于二維系統(tǒng)要比一維系統(tǒng)展示出更加強大的優(yōu)越性，使它得到了越來越多科學(xué)工作者的關(guān)注.特別是近年來，隨著全息技術(shù)在光子晶體制造方面的技術(shù)突破，例如可以通過全息技術(shù)制造帶缺陷的功能型光子晶體材料[9-10].缺陷的存在對陣列波導(dǎo)中離散孤子的影響和潛在應(yīng)用也進入了人們的視線[11-12].由于缺陷的種類是多樣的，這使得二維非線性薛定諤方程的有效求解也成為了其中一個重要的問題.一般來說，求解二維的薛定諤方程要比一維困難得多，而且耗費機時，占據(jù)內(nèi)存，運算時間長.本文通過對傳統(tǒng)的求解二維問題PR差分格式的修改，化成四步，用于求解非線性薛定諤方程，并且應(yīng)用于模擬二維光折變離散孤子的研究.由于該方法不僅得到比較精確的結(jié)果，而且節(jié)約計算機時間和無條件穩(wěn)定，這給人們提供了多一個研究此問題的有效手段，同時，該例子也是目前非線性物理學(xué)界的前沿問題，有助于學(xué)生通過學(xué)習(xí)，更多地接觸到前沿的物理知識.

24 步PR差分方案的介紹

標(biāo)準(zhǔn)形式的非線性薛定諤方程如下所示：

如圖1所示，我們把2維空間（x,y）進行離散化.差分格式從傳統(tǒng)P e a c e m a n-R a c h f o r（P R）格式出發(fā)，傳統(tǒng)的P R差分格式如下：

其中：

圖1 x，y離散網(wǎng)格

為x，y方向上的二階分差分格式.

我們把上式化成以下的四步：

以上每一步對于未知的u都是一維求法，其中（3），（5）式為顯式，（4），(6)式為隱式.這樣的交替差分格式，可以大大的節(jié)約了計算時間.同時它和傳統(tǒng)的P R格式一樣，也是一個具有二階精度，無條件穩(wěn)定的差分格式.

假如我們令：方程（1）就會變成標(biāo)準(zhǔn)形式的非線性薛定諤方程，在實際的運行中，我們只需要把步長τ變成τ=-i·c（其中c為一個實數(shù)），然后在每一步的演化中都把波函數(shù)按照初始功率進行歸一化，則是虛時間方法.實踐表明，虛時間的收斂性要比松弛法相對較為容易控制.

3 利用4步PR差分方案研究光折變陣列波導(dǎo)中的離散孤子

描述離散孤子在光折變晶體中傳播方程的表達(dá)形式如下：

在這里，我們已經(jīng)略去了光折變效應(yīng)中的光生伏打效應(yīng)和載流子擴散效應(yīng)，只保留其中的屏蔽光折變非線性效應(yīng).（9）式中的光強I(x,y)=|u|2+|V(x,y)|2，它是用暗輻照Id歸一化的光強.V為產(chǎn)生周期陣列波導(dǎo)的光場，一般通過全息技術(shù)產(chǎn)生，它的偏振方向和晶體中o光的偏振方向一致（垂直于c軸）.由于光折變晶體一般具有較高的電光各向異性（r13<

在方程里面，ke=k0ne，ne為晶體中e光的折射率.在這里u的偏振方向取作與晶體中e光的偏振方向相一致（平行于c軸）.同時：

圖2 無缺陷下離散孤子的光強分布圖

（a）用全息技術(shù)產(chǎn)生的無缺陷陣列波導(dǎo)的（X Y）示意圖

（b）在該陣列波導(dǎo)中離散孤子的（X Y）示意圖

（c）離散孤子3維示意圖

圖3 帶缺陷陣列波導(dǎo)下離散孤子的示意圖

我們選取具有光折變效應(yīng)的鐵電氧化物S B N作為我們數(shù)值模擬的樣本，晶體的電光張量系數(shù)r33=1340 p m/V，e光折射率ne=2.2229，其橫向尺寸取為l=m=5 m m.假設(shè)產(chǎn)生周期陣列波導(dǎo)的光場利用全息技術(shù)產(chǎn)生，由于目前在全息技術(shù)中，可以產(chǎn)生缺陷的全息圖像的技術(shù)已經(jīng)出現(xiàn)和被報道，如多光束相位控制技術(shù)就是其中一種重要的可以產(chǎn)生缺陷的全息技術(shù)[10]，該技術(shù)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于功能性帶缺陷的光子晶體的制造中.在這里，我們假設(shè)該技術(shù)也用于產(chǎn)生帶缺陷的周期陣列波導(dǎo).我們?nèi)「缮婀鈴姺植紴檎礁褡?，其的表達(dá)式為：|V(x,y)|2=|V0/2|2K(x,y)[c o s(πx/D)+c o s(πy/D)]2，其中K(x, y)為缺陷函數(shù)，在模擬中，我們?nèi)V0|2=4，D=10 μm.加在光折變晶體上的橫向電壓我們假設(shè)為UV=800 V，則橫向電場=357 v/m m[7].以下是我們運用該數(shù)值方法模擬的一些結(jié)果.其中圖2描述在無缺陷（K(x,y)=1）的陣列波導(dǎo)及相應(yīng)的離散孤子的光強分布，而圖3則描述陣列波導(dǎo)在負(fù)點缺陷情況下（K(x,y)=1-e x p[-(x2+y2)/(0.5 D)2]）的圖及其離散孤子的光強分布圖.穩(wěn)定性分析表明，這些孤子解都是穩(wěn)定的.

以上的模擬是在M a t l a b平臺上進行的，現(xiàn)在不少的學(xué)科仿真也都基于M a t l a b平臺開展[13].同時，M a t l a b軟件的編程和應(yīng)用，是許多高校理工類學(xué)生必修、選修或者自學(xué)對象.因此，本文的模擬，可以作為計算物理及相關(guān)課程的例題或者習(xí)題，供學(xué)生進行學(xué)習(xí)和練習(xí).

4 結(jié)論

本文利用4步P R算法和虛時間方法相結(jié)合，研究了二維陣周期列波導(dǎo)中的離散孤子進行了研究，從模擬的結(jié)果來看，算法和傳統(tǒng)方法得出的結(jié)果相一致，由于4步法把二維化為一維問題去進行計算，所以非常節(jié)省計算資源.同時本文所論述的例子，可以作為一些專業(yè)課程如計算物理課程、量子力學(xué)課程以及光學(xué)各類課程數(shù)值仿真模塊的例子或者習(xí)題.通過這一學(xué)習(xí)和練習(xí)，學(xué)生既可以掌握利用4步P R算法和虛時間方法相結(jié)合的方式處理二維系統(tǒng)的方法，又可以了解到什么是離散系統(tǒng)，什么是離散孤子以及光折邊晶體的一些基本知識.對拓展學(xué)生的物理知識面有積極的作用.

〔1〕陸金甫，偏微分方程的數(shù)值解法(第二版)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.

〔2〕H.S.Eisenberg,and Y.Silberberg, “Diffraction Management,”, Phys.Rev.Lett.85,1863(2000).

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O43

A

1673-260X（2012）09-0010-03

國家自然科學(xué)基金項目（10947140，11104083）