☉湖北省大冶市第一中學(xué) 袁方程 黃俊峰

一道安徽高考試題的探究

☉湖北省大冶市第一中學(xué) 袁方程 黃俊峰

2008年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第22題：

（1）求橢圓C的方程；

（2）本題要求證明“點(diǎn)Q總在某定直線上”，事實(shí)上就是為了降低難度，提醒我們點(diǎn)Q的軌跡就是一條直線或者直線的一部分.如何求出這條直線呢？從正面直接求出這條直線，非常困難，計(jì)算量非常大.我們可以采用“特殊化”思路，先找到這條直線：當(dāng)橢圓的割線PAB退化為切線時(shí)，Q點(diǎn)退化為切點(diǎn)（事實(shí)上Q點(diǎn)是不能達(dá)到切點(diǎn)的）.于是我們完全有理由猜想這條直線就是兩切點(diǎn)C、D所在的直線，下面給出第（2）問的不同于標(biāo)準(zhǔn)答案的解答.

（b）設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x1，y1），（x2，y2）.

①+②×2并結(jié)合③和④，得4x+2y=4.

即點(diǎn)Q（x，y）總在定直線2x+y－2=0上.

這里先由“特殊化”思路找到點(diǎn)Q所在的直線，在這條直線的引導(dǎo)下，得一種很難想到的方法，變得非常自然，非常簡便.

本題也可以采用下面的方法求解.

解析幾何的難點(diǎn)就是運(yùn)算量大，尤其是在高考的考場上，對考生的信心是一個(gè)重大的考驗(yàn)，如果我們跳出運(yùn)算量大這個(gè)坎兒，則問題就變得比較簡單了.本題作為壓軸題，起到了區(qū)分的作用，同時(shí)也給我們一個(gè)啟示：從特殊到一般的研究問題的一種方法.

從特殊到一般是人類認(rèn)識客觀事物的一種規(guī)律.對于一個(gè)一般性的問題，先研究它的某些特殊情形，從而獲得解決問題的途徑，使問題得以“突破”，這種解決問題的策略稱為特殊化策略.共性孕育在個(gè)性之中.人們總是首先認(rèn)識了許多不同事物的特殊本質(zhì)，然后才有可能更進(jìn)一步地作概括，認(rèn)識諸多事物的共同本質(zhì).本題的第（2）問進(jìn)一步探究可以得到以下結(jié)論.

證明方法同上.