☉江蘇省建湖高級(jí)中學(xué) 陳曉智

悄然升溫的『分類討論思想』

☉江蘇省建湖高級(jí)中學(xué) 陳曉智

數(shù)學(xué)解題中，當(dāng)所要解決的問題包含多種可能的情況時(shí)，應(yīng)根據(jù)可能出現(xiàn)的所有情況來分別討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論.這種解決問題的思想方法，稱分類討論的思想方法，也稱類分法.下面結(jié)合具體問題，闡述分類討論要注意的幾點(diǎn)問題：

一、分類合理不重不漏

例1 設(shè)集合P={m|－1＜m＜0}，Q={m∈R|x2+4mx－4＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立}，則下列關(guān)系中成立的是（ ）.

分析：關(guān)鍵是確定集合Q，應(yīng)分m=0或m≠0兩種情況討論，即不等式mx2+4mx－4＜0分為二次不等式和非二次不等式討論.

本題正確解題的前提是正確分類，達(dá)到分類完整及每類互斥的要求.

例2 某車間有10名工人，其中4人僅會(huì)車工，3人僅會(huì)鉗工，另外3人車工鉗工都會(huì)，現(xiàn)需選出6人完成一項(xiàng)工作，需車工、鉗工各3人，問：有多少種選派方案？

分析：本題解法較多，可按“僅會(huì)車工”、“僅會(huì)鉗工”、“車工鉗工都會(huì)”等情況分類來解.本題按“選出的鉗工中所含全能工人的個(gè)數(shù)”來分類.

二、恰當(dāng)選擇分類標(biāo)準(zhǔn)

例3已知函數(shù)f（x）=2mx2－2（4－m）x+l，g（x）=mx，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，f（x）與g（x）的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）.

A.（0，2）B.（0，8）C.（2，8）D.（－∞，0）

解：（1）當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）=mx，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，此時(shí)f（x）＞0取值任意；當(dāng)x≤0時(shí)，g（x）≤0，此時(shí)需f（x）＞0恒成立.

要使m＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0恒成立.

若Δ=［－2（4－m）］2－4×2m＜0，即m2－10m+16＜0，解得2＜m＜8，恒成立.

（2）當(dāng)m≤0時(shí)不成立.

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，8）.

點(diǎn)評(píng)：合理地根據(jù)參數(shù)的取值進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵，注意討論要全面.

三、克服分類討論中的主觀性與盲目性

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想和分析推理能力.問（1）需分x≥2和x＜2兩種情況去掉絕對(duì)值后再解關(guān)于x的方程，此時(shí)應(yīng)注意x的范圍與所解方程的根的關(guān)系進(jìn)行恰當(dāng)取舍；問（2）由于a的取值不同，導(dǎo)致函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［1，2］上可能有單調(diào)性也可能沒有單調(diào)性，為了確定f（x）的最小值，需對(duì)a的取值進(jìn)行分類討論.在討論時(shí)，確定合理的分類標(biāo)準(zhǔn)是是解好本題的關(guān)鍵.