☉江西省新干中學(xué) 胡勇彪

公式巧解涂色問題

☉江西省新干中學(xué) 胡勇彪

數(shù)列內(nèi)容歷來是高中數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)涂色問題也是近年高考，甚至競賽的一個(gè)考試熱點(diǎn)．通過對(duì)各種涂色問題的分析，不難發(fā)現(xiàn)它們之間存在著某種特定的規(guī)律，下面筆者就借助于數(shù)列的線性遞推公式來巧解一類涂色問題．

分析：題中所給出的數(shù)列遞推公式，是一類形如an+1=pan+r·qn+m（p≠1，p≠0，r≠0，m≠0）型的線性遞推公式，這種類型的數(shù)列通項(xiàng)一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造新的等比數(shù)列來解答，即可令an+1+x·qn+1+y=p（an+x·qn+y）化簡，與已知遞推公式對(duì)應(yīng)比較，求出待定系數(shù)x和y，從而轉(zhuǎn)化為新數(shù)列{an+x·qn+y}是公比為p的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出an.

［問題拓展］如圖1，將一個(gè)圓環(huán)分成n（n≥2）個(gè)扇形區(qū)域，現(xiàn)用k（k≥2）種不同顏色對(duì)這n個(gè)區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域顏色不同，問有多少種不同的染色方法.

解：用k種不同顏色對(duì)n個(gè)區(qū)域染色，記種數(shù)為an（n≥2，k≥2）.

A1有k種染法，A2有k-1種染法，…，An有k-1種染法（不論是否與A1同色），共有k（k-1）n-1種染法，但這k（k-1）n-1種染法分為兩類：一類是An與A1不同色，另一類是An與A1同色，可看成An和A1合為一個(gè)區(qū)域，即an-1，an=（k－1）n+（－1）n（k－1）（n為區(qū)域數(shù)，k為顏色種數(shù)）.

圖1

［應(yīng)用］

1.用紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色給圖2中的A、B、C、D4個(gè)小方格涂色（允許只用其中幾種），使鄰區(qū)（有公共邊的小格）不同色，則不同的涂色方式有多少種？

2.如圖3，在一個(gè)正邊形的6個(gè)區(qū)域中栽種觀賞植物，要求同一區(qū)域中種同一種植物，相鄰（有共同邊）的2個(gè)區(qū)域種不同的植物，現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則共有（ ）種不同的栽種方案.

圖2

圖3

圖4

3.如圖4，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有_______種.（以數(shù)字作答）

解：對(duì)區(qū)域1著色：C14=4，然后再轉(zhuǎn)化為用3種顏色對(duì)4個(gè)圓環(huán)區(qū)域（圖5）的涂色問題．

圖5

圖6

4.（2003年全國卷理）某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分（如圖6），現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有__________種.（以數(shù)字作答）

解：解題方法同第3題，共有120種.

5.用5種不同的顏色給圖7中的“5角星”的5個(gè)頂點(diǎn)染色（每點(diǎn)染一色，有的顏色也可以不用），使每條線段上的兩個(gè)頂點(diǎn)皆不同色，則不同的染色方法有_______種.

圖7

圖8

解：問題轉(zhuǎn)化為對(duì)圖8所示的5個(gè)區(qū)域著色，要求相鄰區(qū)域不同色.

6.將一個(gè)四棱錐（如圖9）的每個(gè)頂點(diǎn)染色，并使一條棱的兩端異色，若只有4種顏色可供選擇，則不同的染色方案有_______種.

解：由題意可轉(zhuǎn)化為圖10并進(jìn)而轉(zhuǎn)化為圖11所示的著色問題.

n=4，k=3，得a4=18.

所以染色方案共有：4×18=72（種）.