☉江蘇省昆山中學(xué) 戈 峰

對(duì)一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的探究
——二次曲線切點(diǎn)弦的一個(gè)性質(zhì)

☉江蘇省昆山中學(xué) 戈 峰

筆者在研究2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川省預(yù)賽第15題時(shí)，得到關(guān)于二次曲線切點(diǎn)弦的一個(gè)性質(zhì)，現(xiàn)把探究過(guò)程整理如下.

一、問(wèn)題的分析

問(wèn)題：拋物線y=x2與過(guò)點(diǎn)P（－1，－1）的直線l交于P1，P2兩點(diǎn).

（1）求直線l的斜率k的取值范圍.

二、問(wèn)題的解法探究

問(wèn)題已經(jīng)解決，但是思維的火花并未結(jié)束，問(wèn)題在于點(diǎn)Q所在的直線2x+y－1=0是否與點(diǎn)P與拋物線有著特殊的位置關(guān)系呢？探究如下.

圖1

三、問(wèn)題的幾何背景

然而愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)：“我們沒(méi)有什么特別的才能，不過(guò)喜歡尋根問(wèn)底地追究問(wèn)題罷了.”所以我不禁要問(wèn)自己，這個(gè)結(jié)果難道只是一個(gè)巧合或特列，對(duì)其他圓錐曲線或更一般的二次曲線是否相似結(jié)論呢？

四、問(wèn)題的推廣探究

此方程為關(guān)于x，y的二元一次方程，所以代表的圖形應(yīng)該為直線，設(shè)此直線為l′，即點(diǎn)Q在直線l′上.

另外，過(guò)曲線Γ外一點(diǎn)P（a，b）的切點(diǎn)弦所在直線方程為：

波利亞說(shuō)過(guò)：“注意對(duì)特殊情況的觀察，能夠?qū)е乱话阈缘臄?shù)學(xué)結(jié)果，也可以啟發(fā)出一般性的證明.”本文對(duì)一道直線與拋物線的問(wèn)題進(jìn)行解法探究、幾何背景探究、結(jié)論推廣探究，利用直線參數(shù)方程的方法可把此題推廣到一般性的二次曲線的切點(diǎn)弦具有的一個(gè)優(yōu)美的性質(zhì).