☉安徽省肥東第一中學(xué) 周自浩

對圓錐曲線焦點三角形角平分線的一個性質(zhì)的再推廣

☉安徽省肥東第一中學(xué) 周自浩

圓錐曲線焦點三角形角平分線的性質(zhì)在各種試題中常常出現(xiàn)，引起大家的關(guān)注．本文結(jié)合近期幾位同仁的工作，對其中內(nèi)角平分線與切線的關(guān)系做了整理，并推廣到所有圓錐曲線中．

一、推廣后的三個定理及其證明

問題 （2011年北大保送生考試題）點P為雙曲線上任一點，PQ為雙曲線在點P處的切線，F(xiàn)1、F2為雙曲線的焦點.求證：PQ平分∠F1PF2.證明見文［1］.

此結(jié)論可以表述為：

定理1 點P為雙曲線上任一點，F(xiàn)1、F2為雙曲線的兩焦點，則雙曲線在P點處的切線與∠F1PF2的平分線重合.

事實上，此種切線與角平分線的類似關(guān)系可以推廣到所有圓錐曲線中.

定理2 點P為橢圓上任一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩焦點，則橢圓在P點處的切線與∠F1PF2的平分線垂直.

對于定理1，文［2］給出了一個與文［1］不同的證法.事實上，文［2］是先考慮定理2，然后推廣得到定理1的.文［1］、文［2］都沒有給出定理2的具體證法，現(xiàn)補(bǔ)充一種證法如下.

圖1

圖2

由夾角公式可得：

即有tan∠F1PQ=tan∠F2PQ，知直線PQ是∠F1PF2的平分線．

定理3 點P為拋物線上任一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，過P作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為P′，則拋物線在點P處的切線與∠FPP′的平分線重合.

圖3

即有tan∠QPP′=tan∠FPQ，所以PQ為∠FPP′的平分線.

二、推廣后定理的統(tǒng)一物理意義

這三幅圖像反映出在圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)中的鏡面就是我們數(shù)學(xué)中的切線．

圖4

三、定理的應(yīng)用

例2 求證：直線l過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F，交拋物線于A、B兩點，則拋物線在A、B兩點處的切線互相垂直.

圖5

證明：分別過A、B兩點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C、D兩點，由定理3知道拋物線在A、B兩點處的切線分別平分∠CAB、∠DBA，而∠CAB與∠DBA互補(bǔ)，所以拋物線在A、B兩點處的切線所成角為90°，即互相垂直.

（1）求橢圓E的方程；

（2）求∠F1AF2的角平分線所在直線l的方程；

分析：（2）易得橢圓在點A處的切線斜率，再由定理2得直線l的斜率.

1.范瑞喜.2011年北大保送生考試數(shù)學(xué)試題賞析［J］.數(shù)學(xué)通訊，2011（4）.

2.蔡潤芳.圓錐曲線焦點三角形頂角平分線的性質(zhì)探究［J］.數(shù)學(xué)通訊，2012（2）.

3.玉邴圖.由一道高考題引發(fā)的研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2012（1）.