☉河南省滑縣棗村中心學校 李玉春

盤點有關(guān)折疊問題

☉河南省滑縣棗村中心學校 李玉春

折疊問題在近幾年的中考中屢屢出現(xiàn)，試題靈活多變，用以考查學生的抽象思維能力，已成為中考題型的一朵奇葩，而有些同學解題時感到十分困惑.其實折疊的圖形基本上就是我們學過的一些特殊圖形如：直角三角形、平行四邊形、矩形.涉及的知識點無非就是全等形、對稱、勾股定理等.要想快速、準確地解決有關(guān)折疊的問題，我認為應注意以下幾個方面.

一、注意分析題中折疊前后的變量與不變量，特別是不變量

例1（2012年江蘇宿遷市）如圖1，將一張矩形紙片ABCD沿EF折疊，使頂點C，D分別落在點C′，D′處，C′E交AF于點G. 若∠CEF=70°，則∠GFD′=______°.

解題思路：先根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”求出∠GFE的大小，再利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”求出∠DFE的大小，然后根據(jù)折疊后圖形的形狀與大小沒有改變，得到∠EFD′的大小，最后利用角的差的意義即可解答.

圖1

解答過程：因為四邊形ABCD是矩形，

所以AD∥BC.

所以∠GFE=CEF=70°，∠CEF+∠EFD=180°.

所以∠EFD=110°.

由折疊可知∠EFD′=∠EFD=110°，

故∠GFD′=∠EFD′－∠GFE=110°－70°=40°.

所以答案為40.

點評：本題的命制為了降低難度，將問題改為求角度，這就大大地方便了考生最短時間內(nèi)快速求解，這也能算得上是命題的一種新的嘗試.

二、要注意利用對稱性尋求等量關(guān)系，注意矩形與直角三角形中直角的條件，計算時可用勾股定理尋求數(shù)量關(guān)系

例2（2012年福建南平市）如圖2，正方形紙片ABCD的邊長為3，點E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別沿AE、AF折疊，點B、D恰好都落在點G處，已知BE=1，則EF的長為（ ）.

圖2

解題思路：由折疊可知EF=BE+DF.設DF為x，用x的式子表示出EF和CF，然后在Rt△EFC中根據(jù)勾股定理列出方程，解之即可.

解答過程：因為折疊，所以EG=BE=1，F(xiàn)G=DF.

點評：折疊后圖形的形狀與大小沒有改變，這是解決本題的關(guān)鍵所在.另外，如何綜合地利用所學勾股定理求相關(guān)的線段的長度是正確解答的基礎.

三、注意發(fā)現(xiàn)圖中的全等圖形，利用全等圖形的性質(zhì)提供某些條件用來解題

圖3

例3 （2012年四川資陽市）如圖3，在△ABC中，∠C=90°，將△ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，已知MN∥AB，MC=6，NC=2，則四邊形MABN的面積是（ ）.

解題思路：四邊形MABN的面積=△ABC的面積-△CMN的面積.

規(guī)律總結(jié)：將△ABC沿直線MN翻折后可得到全等圖形，靈活運用△ABC的中位線的性質(zhì)得到邊與邊之間的關(guān)系.

例4 （2012年湖北荊門市）如圖4，已知正方形ABCD的對角線長為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為（ ）.

圖4

解題思路：圖中陰影部分由四個三角形組成，其周長由兩部分組成，一部分是直線EF下方的正方形邊長的一部分，另一部分是直線EF上方的正方形邊長折疊后的部分.這兩部分的和正好是正方形的周長.

答案：C

點評：折疊前后的圖形是全等圖形.把分散的集中、零碎的湊整，用整體的方法思考問題.

總之，通常情況下，考查折疊知識都是利用矩形的折疊，求相關(guān)線段的長度，利用到勾股定理、方程等知識.解決折疊問題，關(guān)鍵是抓住以下幾點：（1）抓住折疊本質(zhì)：①折起部分與重合部分是全等的；②點與點重合產(chǎn)生垂直平分線，線與線重合產(chǎn)生角平分線.（2）結(jié)合三角形全等、勾股定理，設出恰當?shù)奈粗獢?shù)，運用勾股定理解決.