☉江蘇省海安縣海安鎮(zhèn)隆政初級(jí)中學(xué) 趙山龍

一、緣起

近期再讀鄭毓信教授在《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》2010年第3、4期關(guān)于“三項(xiàng)基本功”的文章［1］、［2］并鏈接閱讀了鄭教授在《人民教育》2008年的系列文章《善于提問》、《善于舉例》、《善于優(yōu)化》，讀后頗有感觸.恰逢學(xué)校備課組一月活動(dòng)日，備課組成員就“善于舉例”這一論題展開充分的討論與交流.下面我們從一線教師的角度談?wù)劇吧朴谂e例”的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐.

二、“善于舉例”的認(rèn)識(shí)

1.“善于舉例”本質(zhì)上是關(guān)注教師的“教”

文［3］中，國(guó)家督學(xué)成尚榮先生指出，“教學(xué)的根本性變革——以學(xué)生的學(xué)習(xí)為核心”，“學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)是教學(xué)的核心，學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)、享受學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)是教學(xué)的最高和永遠(yuǎn)的追求，也是教學(xué)的本質(zhì)回歸”.他還說“以學(xué)生的學(xué)習(xí)為核心，任何時(shí)候都不能輕慢，更不能放松教師積極的主導(dǎo)作用，這同樣是一條重要原則”.此外，鄭毓信教授在文［4］指出，“國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教育界近年來一項(xiàng)明顯變化，即是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的高度關(guān)注”，“對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)、特別是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維活動(dòng)的很好了解顯然應(yīng)當(dāng)被看成教學(xué)工作的直接前提：這不僅直接關(guān)系到教師應(yīng)當(dāng)如何去教，也關(guān)系到我們究竟應(yīng)當(dāng)教什么樣的數(shù)學(xué)……”進(jìn)而，鄭教授從對(duì)照的角度分析，指出“國(guó)際數(shù)學(xué)教育界近年來所出現(xiàn)的一項(xiàng)新變化，即是由主要關(guān)注學(xué)生轉(zhuǎn)向了更加重視教師的教學(xué)工作”.我們認(rèn)為，關(guān)注“善于舉例”本質(zhì)上就是關(guān)注教師的“教”，從這個(gè)意義上就不難理解鄭教授在文［5］中指出“會(huì)舉例，善于舉例，這應(yīng)當(dāng)被看成數(shù)學(xué)教師的一個(gè)基本功”.

2.“善于舉例”根本上是幫助學(xué)生的“學(xué)”

近年來得到迅速發(fā)展的“多元表征理論”［6］強(qiáng)調(diào)表征不同方面的相互滲透與必要互補(bǔ)，而教師在課堂教學(xué)中的“善于舉例”則可看成通過表征不同數(shù)學(xué)概念、習(xí)題及解法、反思感悟等方向，幫助學(xué)生在不同的例舉中，發(fā)現(xiàn)、感悟變化中的不變因素，并由“多”逐步深入到“一（本質(zhì)）”.作為一線教師，我們?cè)谡n堂教學(xué)更多的時(shí)候，講授某一概念或點(diǎn)評(píng)某一道習(xí)題解法時(shí)，往往需要通過觀察學(xué)生的“學(xué)情”（學(xué)生的表情、眼神等），決定問題是否需要再次舉例、多元表征，幫助習(xí)得、悟得.在這里，教者的善于舉例與否，也即舉例的是否恰當(dāng)、是否貼近正在分析數(shù)學(xué)知識(shí)或問題，直接影響了學(xué)生的理解、體會(huì).特別地，當(dāng)我們因?yàn)橐粋€(gè)到位、有效的舉例，看到學(xué)生的“會(huì)意”的眼神，發(fā)現(xiàn)學(xué)生“柳暗花明”后“貫通”興趣神態(tài)，是否也算為師之一樂？

三、“善于舉例”的案例賞析

為了更為直接地表明，我們對(duì)初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中“善于舉例”是如何理解的？下面的敘述將結(jié)合具體的案例展開.

1.情境導(dǎo)入時(shí)的善于舉例

2011年10月13日～15日，“2011年江蘇省初中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比活動(dòng)”在江蘇省宿遷中學(xué)（老校區(qū)）舉行，我們選取一等獎(jiǎng)獲得者南通市參賽選手紀(jì)紅芳老師《圓》的情境導(dǎo)入實(shí)錄：

PPT展示幾幅生活中常見的圓的實(shí)例.學(xué)生欣賞后……

師：現(xiàn)在，你知道這節(jié)課，我們要學(xué)習(xí)哪個(gè)圖形嗎？

生（齊答）：圓！

師：小學(xué)里學(xué)過圓嗎？這節(jié)課我們?cè)谛W(xué)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)來學(xué)習(xí)圓的相關(guān)知識(shí).

老師板書標(biāo)題.

師：你們會(huì)畫圓嗎？同學(xué)們自己操作一下，請(qǐng)一個(gè)同學(xué)到黑板上畫一個(gè)圓.下面的學(xué)生很快畫好，

師：請(qǐng)同學(xué)們看黑板上這個(gè)同學(xué)畫圓的過程.大家看要注意什么？

生1：要注意圓心不能動(dòng)，半徑不能改變.

師：好，再來看操場(chǎng)上用繩子畫圓的過程.

播放一段視頻（見截圖）：

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)在畫圓的過程中，你能畫圓有什么共同點(diǎn)？

生2：都是繞一個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周.

生3：不管是圓規(guī)兩腳之間，還是繩子的長(zhǎng)度，它們?cè)诋嫷倪^程中不能變化.

師：我們把固定的這一點(diǎn)叫做定點(diǎn)，那個(gè)長(zhǎng)度我們稱定長(zhǎng).

老師很順利跟學(xué)生一起共同提煉，得出了圓的描述性定義.

賞析：紀(jì)老師到這里用去6分鐘，但學(xué)生已十分接近圓的描述性定義（呼之欲出，從現(xiàn)場(chǎng)學(xué)生的表情、神態(tài)，可見大多數(shù)學(xué)生已理解了），筆者曾反復(fù)觀摩這段視頻，應(yīng)該說，教者的行為是“善于舉例”的.理由有以下兩點(diǎn)：一是，教者舉出的一組圖片例子很自然地幫助學(xué)生形成了本課要學(xué)習(xí)的主題——圓；二是，教者接著安排兩個(gè)活動(dòng)（學(xué)生用圓規(guī)畫圓、兩同學(xué)在操作上用繩子畫圓），從上面的實(shí)錄可見，根據(jù)動(dòng)手操作和觀摩畫圓后，學(xué)生在教者的引導(dǎo)下找出“共同點(diǎn)”，很自然地得到了圓的定義.特別地，我們有理由對(duì)情境引入中的舉例談以下認(rèn)識(shí)：一，情境舉例不要太長(zhǎng)，背景也不需要太豐富；二，情境舉例要突顯后續(xù)引入的知識(shí)，找好契合點(diǎn)或知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，避免負(fù)情境的舉例；三，從多元表征理論來看，情境舉例亦必須是待引入概念的本質(zhì)的外部表征.

2.核心概念教學(xué)時(shí)要善于舉例

下面是筆者去年參加縣級(jí)青年教師基本功比賽時(shí)上的反比例函數(shù)圖像及性質(zhì)（第1課時(shí)）的片斷：

師：你能發(fā)現(xiàn)它們的共同特征嗎？

師：對(duì)，不同點(diǎn)呢？

生2：當(dāng)系數(shù)k為正數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，圖像所處的象限不一樣.

師：你能分類講全，并對(duì)應(yīng)好嗎？

生3：當(dāng)k>0時(shí)，位于第一、三象限；當(dāng)k<0時(shí)，位于第二、四象限.

師：很好.類比一次函數(shù)的增減性描述，誰來描述反比例函數(shù)的增減性？

生4：當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減少；當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而增大.

師：他回答對(duì)嗎？

眾生齊答：對(duì)！

師：你（生4）再表達(dá)一下這兩點(diǎn)的變化情況.

生4：這時(shí)y隨x增大而增大.

生4及眾生沉默.

師：小組內(nèi)再交流一下.

（老師注意到有一些學(xué)生有表達(dá)的愿望）

師：誰能把“當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減少；當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而增大”這種說法優(yōu)化一下？

生5：當(dāng)k>0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減少；當(dāng)k<0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大.

師：非常好！“在每個(gè)象限內(nèi)”這個(gè)限制條件加得很好！給大家準(zhǔn)備1分鐘，先在小組內(nèi)每個(gè)同學(xué)表述一遍.再請(qǐng)兩個(gè)同學(xué)完整復(fù)述一遍反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì).

過了2分鐘，學(xué)生分組鞏固這個(gè)性質(zhì).

師：老師關(guān)注到一詩(shī)關(guān)于反比例函數(shù)的歌曲《悲傷的雙曲線》，PPT上展示歌詞給同學(xué)們，也作為幫助同學(xué)們理解反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì).

悲傷的雙曲線

如果我是雙曲線，恩——，你就是那漸近線；

如果我是反比例函數(shù)，你就是那坐標(biāo)軸.

雖然我們有緣能夠生在同一個(gè)平面，

然而我們又無緣，恩——，慢慢長(zhǎng)路無交點(diǎn).

為何看不見，等式成立要條件；

難道如書上說的，無限接近不能達(dá)到.

為何看不見，明月也有陰晴圓缺；

此事古難全，但愿千里共嬋娟.

賞析：初中階段的三種初等函數(shù)，在學(xué)習(xí)時(shí)，由于它們之間的相同與不同，初次接觸時(shí)，學(xué)生往往對(duì)反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)的描述與理解不深刻，與之相關(guān)的考題也是層出不窮，足見此處的重要性.從上面的教學(xué)片斷可知，一是在學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)、易混點(diǎn)處，要讓學(xué)生多說，認(rèn)真傾聽學(xué)生的“見解”，即時(shí)“糾錯(cuò)”并“究錯(cuò)”；二是，引導(dǎo)學(xué)生交流、對(duì)話，完備性質(zhì)，這時(shí)討論與對(duì)話的意義是重要的；三是，等大多數(shù)學(xué)同學(xué)接受新的知識(shí)、性質(zhì)后，鏈接一個(gè)精彩的案例（像上面這樣給出一個(gè)跨學(xué)科的“歌曲”）也能起到聚意點(diǎn)睛式的效果.

3.解題教學(xué)中的善于舉例

下面是筆者在一次試卷講評(píng)課時(shí)一個(gè)經(jīng)歷，這份試題涉及了高中一元二次不等式，筆者在組織訂正該試題時(shí)，安排了學(xué)生“講題”［7］活動(dòng)，課后，講題學(xué)生吳佳幸同學(xué)記錄了這一過程，請(qǐng)看：

記一次“二次根式取值范圍問題”的講題經(jīng)歷

九年級(jí) 吳佳幸

今天劉老師讓我講解了一道二次根式的取值范圍問題，請(qǐng)看題目：

等我說過，劉老師追問：你到得到的是一元一次不等式？

我再看了一下，說：不，好像是一元二次不等式？

劉老師：對(duì)！你學(xué)過這種不等式的解法嗎？

我表示：沒有學(xué)過，但我模仿一元一次不等式的解法做的.

劉老師：這種模仿、類比的意識(shí)很好，但是這里涉及的一元二次不等式不屬于初中知識(shí)，我們暫時(shí)不補(bǔ)充它的解法，但我們可以借助從二次函數(shù)的圖像來理解.

接著老師把根號(hào)下的表達(dá)式寫成一個(gè)二次函數(shù)y=2a2-5，老師用幾何畫板作出如圖1.

圖1

老師追問：同學(xué)們看這里的點(diǎn)A，點(diǎn)B的意義是什么？

我說：對(duì)應(yīng)著方程2a2-5=0的兩根

老師表示了肯定，讓我們討論一下能否結(jié)合這個(gè)圖像分析出2a2-5≥0解集？

很快大家都弄清楚了問題.

老師最后給出的點(diǎn)評(píng)是：數(shù)形結(jié)合往往使我們事半功倍，而且還能更深入理解題意，由此我也明白了做題不在“多”，而在“聯(lián)”的道理.

賞析：從該生的記錄可以看出，她是不會(huì)一元二次不等式的（事實(shí)上，初中階段不作要求），她開始的解法是模仿一元一次不等式解法得具有一定的合理性.筆者曾追問臺(tái)下聽講學(xué)生，他們都沒有表示異議.才有筆者的追問，該同學(xué)認(rèn)為忽視a的指數(shù)為2，是這樣嗎？那她怎么會(huì)有呢？這時(shí)是給學(xué)生補(bǔ)充一元二次不等式的知識(shí)？還是選擇其他的引導(dǎo)方式？筆者的選擇是溝通二次函數(shù)，從拋物線“形”的角度引導(dǎo)學(xué)生分析此類問題，可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生悟出了做題“不求‘多’而求‘聯(lián)’”的道理（筆者在這道問題講完后，點(diǎn)評(píng)時(shí)引用鄭毓信教授關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)不求“多”而應(yīng)求“聯(lián)”的觀點(diǎn)，上面是該生書寫有筆誤）.這樣的收獲是否已超越了講評(píng)一道錯(cuò)題的意義了？

四、善于舉例的幾點(diǎn)思考

1.“善于舉例”功夫在教學(xué)預(yù)設(shè)

“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢.”教學(xué)預(yù)設(shè)的意義也在于此.誠(chéng)如上文3.1，3.2我們給出的教學(xué)片斷，教者舉出的案例幫助了學(xué)生的“學(xué)”，其功夫全在上課之前.這也說明，我們需要精心備課，結(jié)合所授內(nèi)容的特點(diǎn)，鏈接例子，做好課堂教學(xué)的儲(chǔ)備.特別是，很多帶有數(shù)學(xué)欣賞方向的舉例，又不是在準(zhǔn)備某一堂課時(shí)所能“信手拈來”，更多的卻來自教者長(zhǎng)期的積累，這里既有對(duì)所授數(shù)學(xué)的精深理解，還需要跨學(xué)科的知識(shí)積淀.順便提及，張奠宙先生在文［8］中提及的關(guān)于一個(gè)“圓”的教學(xué)案例，大意是，在“圓”的第一課時(shí)，學(xué)生在回答什么是“圓”時(shí)，答道：“地球是圓的”，“籃球是圓的”，“月亮是圓的”……看來，生活中，或者語文課上的“圓”，乃是“圓形”和“圓盤”的意思，而數(shù)學(xué)上的圓，僅指圓周，二者相互干擾，造成認(rèn)知沖突.張先生指出教師需要跨學(xué)科地備課，仔細(xì)區(qū)分詞匯的學(xué)科含義.張先生又進(jìn)一步指出，在數(shù)學(xué)課上要適當(dāng)?shù)刂v點(diǎn)語文知識(shí).從這個(gè)意義上來看，上文3.1教學(xué)片斷中，教者在情境導(dǎo)入里提供的案例也就是在課前經(jīng)過精心準(zhǔn)備，有效規(guī)避了認(rèn)知沖突，也是我們提倡的“善于舉例”.

2.“善于舉例”宜舉例在知識(shí)的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”

張奠宙先生在文［9］中指出，數(shù)學(xué)教師的責(zé)任是返璞歸真，運(yùn)用適度的非形式化的方法，將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力，激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.文中建議：幫助學(xué)生提示數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系.這是很有見地的！我們認(rèn)為，評(píng)價(jià)教者在課堂上的“善于舉例”的一個(gè)重要指標(biāo)即可看成：該教師在講授、追問、點(diǎn)評(píng)時(shí)所舉的例子是否與所授知識(shí)處于一個(gè)思維網(wǎng)絡(luò)的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”.這樣，學(xué)生在紛繁復(fù)雜的干擾中才可尋找本質(zhì)、感性的信息，從而幫助學(xué)生達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)在本質(zhì)的認(rèn)識(shí).一個(gè)經(jīng)典的例子是，很多老師在進(jìn)入平面直角坐標(biāo)初學(xué)“有序數(shù)對(duì)”時(shí)，將教學(xué)中課桌并攏，拉2根相互垂直的長(zhǎng)繩，一人為原點(diǎn)，于是每個(gè)人都有坐標(biāo).象限、直線、坐標(biāo)軸都可通過學(xué)生的活動(dòng)加以演示.坐標(biāo)原點(diǎn)可以移動(dòng)，正是坐標(biāo)變換的影子.并可以在變換坐標(biāo)軸的背景下讓學(xué)生說出自己的坐標(biāo)，在筆者的教學(xué)與聽課經(jīng)歷中，曾多次經(jīng)歷這樣的場(chǎng)景，一些基礎(chǔ)不好的學(xué)生被要求匯報(bào)自己的坐標(biāo)時(shí)，雖然滿臉脹得通紅，其他同學(xué)著急得幫助他，直至最終他的問題解決后，才如釋重負(fù).整個(gè)過程比起抽象地講數(shù)軸、坐標(biāo)系，要生動(dòng)、實(shí)際多了.特別是有效的調(diào)動(dòng)了全體學(xué)生的課堂參與.

3.“善于舉例”應(yīng)包括舉正例和反例

我們?cè)谡n堂教學(xué)中，常常在一些數(shù)學(xué)概念所展現(xiàn)的多元表征上充分舉例，在“標(biāo)準(zhǔn)變式”的基礎(chǔ)上引入“非標(biāo)準(zhǔn)變式”，以達(dá)到讓學(xué)生理解某概念的內(nèi)涵.如關(guān)于對(duì)頂角的學(xué)習(xí)，除了讓學(xué)生分析在“標(biāo)準(zhǔn)變式”兩條直線相交得到的對(duì)頂角外，給出下面的一組“反例”圖形（圖2），對(duì)于幫助學(xué)生加深對(duì)頂角的理解無疑是有好處的.

圖2

圖3圖4圖5

新授課時(shí)，適時(shí)將學(xué)生出現(xiàn)的上述錯(cuò)誤（是一種生成的“反例”）例舉給所有學(xué)生，讓大家“糾錯(cuò)”并剖析，不但能給出錯(cuò)誤同學(xué)以較深的印象，對(duì)其他同學(xué)亦是一種很好的教育資源.

4.“善于舉例”應(yīng)關(guān)注課堂“后半段”

張奠宙、趙小平先生在文［10］指出，“很多課堂，非常注重認(rèn)識(shí)過程的前半段：創(chuàng)設(shè)情境、提出問題、分組探究、匯報(bào)歸納……但是，眾所周知，認(rèn)識(shí)過程還有理性認(rèn)識(shí)的加深，并反作用于實(shí)踐的后半段過程.這表現(xiàn)為練習(xí)鞏固、反思總結(jié)、欣賞體驗(yàn)、變式應(yīng)用、提煉成數(shù)學(xué)思想方法……”我們認(rèn)為，關(guān)注“后半段”，通過恰當(dāng)?shù)呐e例，在課堂上促進(jìn)目標(biāo)達(dá)成，氣氛推向高潮，問題的探究引向深入是完全有可能的.而在“后半段”的舉例，主要包括以下形式：精心設(shè)計(jì)好鞏固概念或性質(zhì)的練習(xí)，來一次精彩的解題后解法賞析（可有效避免“進(jìn)寶山而空返”），對(duì)問題嘗試變式拓展、引向深入，或是師生一起品味、感悟本課中的數(shù)學(xué)思想方法等.

五、結(jié)束語

作為數(shù)學(xué)教師的一項(xiàng)基本功——“善于舉例”，討論雖至文末，但我們深知“善于舉例”的話題是伴隨課堂教學(xué)始終的話題，只要登上講臺(tái)，舉例必然會(huì)“隨堂而行”，它不應(yīng)有一個(gè)所謂的“終結(jié)性答案”.永遠(yuǎn)在追尋，永遠(yuǎn)在路上.這就是我們對(duì)“善于舉例”的一種基本取向，但它應(yīng)有一個(gè)追求，這個(gè)追求就是：一切為了幫助學(xué)生更好的“學(xué)”！

1.鄭毓信.從三項(xiàng)基本功到數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長(zhǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2010（3）：1～4.

2.鄭毓信.從三項(xiàng)基本功到數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長(zhǎng)（續(xù)）［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2010（4）：1～4.

3.成尚榮.教學(xué)改革絕不能止于“有效教學(xué)”——有效教學(xué)的批判性思考［J］.人民教育，2010（23）：38～39.

4.鄭毓信.教師專業(yè)成長(zhǎng)：背景、內(nèi)涵與基本途徑［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考·上旬刊，2011（1～2）.

5. 鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（18）：42～44.

6.唐劍嵐.數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)的認(rèn)知模型及教學(xué)研究［D］.南京師范大學(xué)，2008，5.

7.劉東升.讓學(xué)生在“講題”中提高數(shù)學(xué)能力［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考·中旬刊，2011（7）：7～9.

8.張奠宙.語、數(shù)、外三科都是一種語言教學(xué)——從“籃球是圓的”說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2011（6）：1～2.

9.張奠宙，王振輝.關(guān)于數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形礦教育形態(tài)——談“火熱的思考”與“冰冷的美麗”［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002（5）：1～4.

10.張奠宙，趙小平.教學(xué)中多多關(guān)注“后半段”——怎樣上好復(fù)習(xí)課［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2011（4）：封底.