☉河北省邱縣第一中學 杜 建

在高考數(shù)學命題“以能力立意”的趨勢下，線性規(guī)劃問題也由單純的知識型考查向知識和能力立意并舉的考查形式轉(zhuǎn)變，尤其是目標函數(shù)與其他知識交匯后，呈現(xiàn)出多樣性和隱蔽性的特點，對學生綜合運用知識分析問題和解決問題的能力提出了更高的要求.本文根據(jù)近幾年出現(xiàn)的精彩問題，闡釋破解隱性目標函數(shù)的幾種策略.

一、利用其他知識，尋求目標函數(shù)

圖1

圖2

例1（2011年湖北理）已知向量a=（x+z，3），向量b=（2，y-z），且a⊥b.若x、y滿足不等式|x|+|y|≤1，則z的取值范圍為___________.

解：由題意得不等式|x|+|y|≤1約束下的可行域如圖1所示（含邊界）.因為a⊥b，所以（x+z，3）·（2，y-z）=0，即z=2x+3y.由“頂點坐標代入法”，得直線z=2x+3y過點（0，-1）時，z=2x+3y取得最小值-3，直線z=2x+3y過點（0，1）時，z=2x+3y取得最大值3.因此z的取值范圍為［-3，3］.

例2 （2011年廣東理）在平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定.若M（x，y）為D上的動點，點A的坐標為的最大值為____________.

解：由題意得在平面直角坐標系內(nèi)不等式組所確定的可行域如圖2陰影部分所示.

點評：上述兩個例題將目標函數(shù)向量化.通過向量的數(shù)量積運算尋求目標函數(shù)，從而使目標函數(shù)的幾何意義“截距化”，利用“頂點坐標代入法”求出目標函數(shù)的最值或取值范圍.雖然題目看似簡單，但命題人巧妙地把向量知識與線性規(guī)劃問題結(jié)合起來，不失為一道考查學生綜合運用知識分析問題和解決問題能力的好題.

二、利用距離公式，改造目標函數(shù)

圖3

例3 （2011年江西理）對于實數(shù)x、y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，則|x-2y+1|的最大值為____________.

解：由題意得點（x，y）在約束條件下的可行域為正方形ABCD（含邊界），如圖3陰影部分所示.由于可以看成可行域內(nèi)的點（x，y）到直線x-2y+1=0的距離的倍，因此，當x=0、y=3時，|z|=|x-2y+1|取得最大值5.

三、利用斜率公式，明確目標函數(shù)

解：由題意得點D由不等式組所確定的可行域如圖4陰影部分所示.令，根據(jù)幾何意義，t的值即為可行域內(nèi)的點與坐標原點連線的斜率，顯然t的取值范圍為

圖4

點評：本例看似毫無頭緒，令人無從下手.但經(jīng)過巧妙“變形換元”，目標函數(shù)的幾何意義“躍然紙上”，然后“分離常數(shù)”，構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得出目標函數(shù)的取值范圍.

解：由題意得不等式組所確定的可行域如圖5陰影部分所示.cos∠POQ的值越小，∠POQ的張角越大.顯然，由圖形可知：∠AOB即是所求角.

點評：本例中的目標為求角的余弦值，幾何意義看似無跡可尋.但根據(jù)斜率公式k=tanα，把角與斜率聯(lián)系起來，所求目標函數(shù)的最值“迎刃而解”.

四、利用二次函數(shù)，變形目標函數(shù)

例6（2008年上海文第11題改編）在平面直角坐標系中，A、B、C點的坐標分別為（0，1）、（4，2）、（2，6）.如果P（x，y）是三角形圍成的區(qū)域（含邊界）上的點，則w=xy的最大值是____________.

解： 由題意得A、B、C三點所確定的可行域如圖6所示.要求w=xy的最大值，實質(zhì)上是求圖6陰影部分所示的矩形面積.易知在同一水平線上，點P越靠右，矩形面積越大；在同一豎直直線上，點越P靠上，矩形面積越大.因此只有當點P在線段BC上時，才能使矩形面積最大，顯然，線段BC的方程為y=-2x+10（2≤x≤4）.所以w=xy=x（-2x+10）=-2x2+10x，故當

點評：本例中目標函數(shù)的幾何意義很明確：求矩形面積的最大值.難在判斷何時點P才能使矩形有最大面積，通過分析只能在可行域的邊界上，這樣求出所在邊界的直線方程，通過換元變形將問題轉(zhuǎn)化成閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問題，從而使問題得到解決.