☉江蘇省姜堰第二中學(xué) 陳余根

張奠宙教授認為：重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法，都反映了某個哲學(xué)范疇或基本矛盾的數(shù)量方面的特征.矛盾性是重要數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵之一.研究高中數(shù)學(xué)教科書（蘇教版）新增內(nèi)容，剖析其中涉及的數(shù)學(xué)思想方法，不難發(fā)現(xiàn)，它們都體現(xiàn)出了矛盾論的觀點.例如，函數(shù)、坐標方法中的運動與靜止的矛盾關(guān)系；概率統(tǒng)計中的偶然與必然、有限與無窮的矛盾關(guān)系；而微積分又體現(xiàn)了局部與整體的矛盾關(guān)系，等等.下面我們以“矛盾論”的觀點來研究這些新增內(nèi)容，揭示其中的矛盾規(guī)律，探索其中蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法.

一、新增內(nèi)容

為了拓展中學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和文化價值的認識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，高中數(shù)學(xué)教科書（蘇教版）新增如下內(nèi)容：必修1中有冪函數(shù)、函數(shù)與方程和函數(shù)模型及其應(yīng)用；必修2中有三視圖、空間直角坐標系；必修3中有算法初步、統(tǒng)計、概率；選修1-1中有常見邏輯用語、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用；選修1-2中有統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入、框圖；選修2-1中有空間向量與立體幾何；選修2-2中有定積分；選修3-1中有數(shù)學(xué)史選講；選修3-2中有信息安全與密碼；選修3-3中有球面上的幾何；選修3-4中有對稱與群；選修3-5中有歐拉公式與閉曲面分類；選修3-6中有三等分角與數(shù)域擴充；選修4-1中有幾何證明選講；選修4-2中有矩陣與變換；選修4-4中有坐標系與參數(shù)方程；選修4-5中有不等式選講.這些新增內(nèi)容大都蘊涵著基本的矛盾規(guī)律.

二、矛盾內(nèi)涵

1.運動與靜止.

運動與靜止是基本的矛盾現(xiàn)象，它在數(shù)學(xué)中的反映比比皆是.如函數(shù)方法、坐標方法等.新教材中增加了參數(shù)方程的內(nèi)容，進一步強化了函數(shù)的思想，而函數(shù)是數(shù)學(xué)中刻畫運動的主要方法.設(shè)在某個變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某種對應(yīng)關(guān)系，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么我們就可以用等式y(tǒng)=f（x）來表示這種對應(yīng)關(guān)系，或者可以把函數(shù)看成是建立在兩個非空的數(shù)集上的單值對應(yīng).它刻畫了事物的運動變化；若要刻畫事物在運動過程中的靜止狀態(tài)，則可以用y=f（x0）來表示.

新教材中增加了空間向量、空間直角坐標系的內(nèi)容，這樣就進一步深化了坐標法，可借助坐標系將點與有序?qū)崝?shù)對（x，y，z）聯(lián)系起來.當點運動時，實數(shù)對（x，y，x）隨之變化；反之，當實數(shù)對變化時，點也隨之運動并形成軌跡.當點靜止時，實數(shù)對中的變量則為定值.

在新增的導(dǎo)數(shù)這一部分內(nèi)容中，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)時，當函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)f′（x）>0；當函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)f′（x）<0；當函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)既不增加也不減少時，f′（x）=0，這樣一來，f′（x）≠0就刻畫了運動，f′（x）=0就刻畫了靜止.

2.局部與整體.

局部與整體的矛盾首先反映在初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的矛盾對立上，初等數(shù)學(xué)是從整體著眼的，高等數(shù)學(xué)則是從局部分析入手的.由于局部分析較之整體著眼更能深入揭示數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，因此高等數(shù)學(xué)要比初等數(shù)學(xué)更深刻、更能解決問題.這也是高中數(shù)學(xué)教科書（蘇教版）新增內(nèi)容中大量出現(xiàn)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的原因.

在新增的微積分中，微分是將整體分為局部，而積分是將局部積為整體，所以微積分也反映了局部與整體的矛盾.再如定積分，它本身就是從整體到局部，再由局部到整體的矛盾的產(chǎn)物.在新增的復(fù)數(shù)這部分內(nèi)容中，也能體現(xiàn)出局部與整體矛盾的對立和統(tǒng)一.當初，復(fù)數(shù)是人們在研究求解一元二次方程、一元三次方程時引入的，是一個局部的解決問題的手段，現(xiàn)在，復(fù)數(shù)已形成完整的一套理論.在數(shù)學(xué)、力學(xué)、電學(xué)以及其他科學(xué)中有了廣泛應(yīng)用，成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中普遍使用的一種工具.同時復(fù)數(shù)的研究多數(shù)是借助于實數(shù)化的方法，這是局部與整體的矛盾的統(tǒng)一.

3.偶然與必然.

在新增的概率論部分，充分地體現(xiàn)了必然性與偶然性的矛盾關(guān)系.概率論是從數(shù)量上研究必然性與偶然性的學(xué)科，它從所研究的偶然性的問題中尋找出必然的數(shù)量規(guī)律，并對這些偶然性的因素給以數(shù)量的刻畫與分析，揭示了隨機事件發(fā)生的不確定性和它的頻率的穩(wěn)定性之間的矛盾（如“中獎率為的彩票，買1000張并不一定中獎”）.

必然性與偶然性，在數(shù)學(xué)中稱之為確定性與隨機性，從而就有相應(yīng)的確定數(shù)學(xué)與隨機數(shù)學(xué)之分.舊教材基本上都是確定數(shù)學(xué)，在對學(xué)生的世界觀的培養(yǎng)上有一定的局限性.現(xiàn)在新教材中增加了許多隨機數(shù)學(xué)的內(nèi)容，比如概率論中的古典概型、幾何概型等.而在研究隨機現(xiàn)象時，卻使用確定數(shù)學(xué)的手段，如排列、組合等，從而得出確定的結(jié)論.反過來，隨機數(shù)學(xué)又推動了確定數(shù)學(xué)的發(fā)展.

分析：這原本是個確定的問題，可用定積分方法求解，但我們卻可以采用隨機方法來研究.在直角坐標系中畫出正方形（x=1、x=2、y=0、y=1所圍成的部分）.用隨機模擬的方法可以得到它的面積.

解：（1）利用計算器或計算機產(chǎn)生兩組0到1區(qū)間上的隨機數(shù)，a1=RAND，b=RAND；

（2）進行平移變換：a=a1+1；（其中a、b分別為隨機點的橫坐標和縱坐標）

（3）數(shù)出落在陰影內(nèi)的點數(shù)N1，用幾何概型公式計算陰影部分的面積.

圖1

有興趣的讀者可做以下練習(xí)：（2007年全國高考海南卷第20題）如圖1，面積為S的正方形ABCD中有一個不規(guī)則的圖形M，可按下面方法估計M的面積：在正方形ABCD中隨機投擲n個點，若n個點中有m個點落入M中，則M的面積的估計值為，假設(shè)正方形ABCD的邊長為2，M的面積為1，并向正方形ABCD中隨機投擲10000個點，以X表示落入M中的點的數(shù)目.

（1）求X的均值EX；

（2）求用以上方法估計M的面積時，M的面積的估計值與實際值之差在區(qū)間（-0.03，0.03）內(nèi)的概率.

k 2424 2425 2574 2575 P（k） 0.0403 0.0423 0.9570 0.9590

答案：（1）EX=2500；（2）P=0.9147.

確定性數(shù)學(xué)正在隨機化，許多原來是確定數(shù)學(xué)的范疇，現(xiàn)在都和隨機數(shù)學(xué)有機地結(jié)合起來，成為新興的學(xué)科.確定數(shù)學(xué)和隨機數(shù)學(xué)正在相互滲透，兩者已到了密不可分的地步.這也是矛盾相互依存的一個方面.中學(xué)階段滲透這種思維方式對傳統(tǒng)觀念是一種挑戰(zhàn)，對學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)是一個升華.

4.近似與精確.

近似與精確也是數(shù)學(xué)所研究的一對矛盾，這對矛盾的轉(zhuǎn)化推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展.

首先，舊教材過分追求精確，嚴重地束縛了學(xué)生的思維的發(fā)展，對數(shù)學(xué)的應(yīng)用功能得不到充分的認識.新教材增加了許多近似計算方面的內(nèi)容，使學(xué)生真切地感受到什么是真正的數(shù)學(xué).

我們知道，精確是相對的，近似是絕對的，因此，為了解決實際問題，必須采用近似計算，并借助近似計算求得相對精確的結(jié)果.計算機數(shù)學(xué)正是本著這個精神發(fā)展起來的.下面以基本算法為例來說明人們是如何利用計算機，將精確問題化為近似計算求得相對精確的結(jié)果.

例2 （必修3第22頁例4）拋擲一枚硬幣時，既可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面，預(yù)先作出確定的判斷是不可能的，但是假如硬幣質(zhì)量均勻，那么當拋擲次數(shù)很多時，出現(xiàn)正面的頻率應(yīng)接近于50%.試設(shè)計一個循環(huán)語句模擬拋擲中出現(xiàn)正面的頻率.

分析：在程序語言中，有一個隨機函數(shù)“Rnd”，它能產(chǎn)生0與1之間的隨機數(shù).這樣我們可用大于0.5的隨機數(shù)表示出現(xiàn)正面，不大于0.5的隨機數(shù)表示出現(xiàn)反面.

解：本題算法的偽代碼如下：

利用上述程序，即可指令計算機進行計算，且可做到要多精確就多精確，從而又化近似為精確.

在新增的定積分中，也充分反映了近似與精確的矛盾轉(zhuǎn)化，首先是在分割的基礎(chǔ)上近似求和，然后再對近似和取極限，并最終求得定積分的精確值.

讓中學(xué)生初步接觸這些近似與精確的相互轉(zhuǎn)化，有助于他們既能宏觀地認識世界，又能微觀地研究世界.

5.同一與差異.

同一與差異是數(shù)學(xué)中最普遍的一對矛盾.所謂“差異”，是指特殊性與不同點；所謂“同一”，是指一般性與相同點.同一性寓于差異性，同時，同一其實乃是差異間的內(nèi)在聯(lián)系.

在必修4中，新增的所謂“萬能置換公式”：

6.有限與無窮.

有限與無窮的矛盾曾經(jīng)在數(shù)學(xué)發(fā)展史上起到無法估量的推動作用，最為典型的是著名的是“第二次數(shù)學(xué)危機”.在必修3中，新增了古典概型和幾何概型，雖然研究的是數(shù)學(xué)確定性和隨機性的科學(xué)，但是，它們的思維過程卻是從有限到無限的升華.下面從幾何概型第一課時的引入分析其矛盾內(nèi)涵.

6.1 創(chuàng)設(shè)情境.

問題1：一根長度為3m的繩子上，有A1、A2、A3、A4、A5五個點將繩子均分成六段，從A1、A2、A3、A4、A5中任選一點將繩子剪斷，那么剪得的兩段均不小于1m的概率是多少？

6.2 學(xué)生活動.

問題2：取一根長度為3m的繩子，如果拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大？

請同學(xué)們先思考如下三個問題：

（1）試驗中的基本事件是什么？

（2）每個基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？

（3）符合古典概型的特點嗎？

這個問題的基本事件有無限多個，雖然類似于古典概型，還存在著“等可能性”，但是顯然不能像古典概型那樣用“有限的”、可以“數(shù)”的方法來求解，這就要引入具有“無窮個點構(gòu)成線、面、體”來度量作為主要特征的“測度”來求解.這里體現(xiàn)了有限與無窮這對矛盾的對立與統(tǒng)一.

不僅如此，我們還可以在形形色色、內(nèi)容千差萬別的數(shù)學(xué)分支中找到內(nèi)在聯(lián)系，這就是結(jié)構(gòu)和變換，這些內(nèi)容在新增的選修內(nèi)容中都有所涉獵.

其實，客觀世界本身就是由矛盾構(gòu)成的，而矛盾又是事物發(fā)展的源泉和動力，只有認識矛盾，才能利用矛盾和解決矛盾.用哲學(xué)上矛盾的觀點審視高中數(shù)學(xué)教科書（蘇教版）新增內(nèi)容，剖析其中涉及的數(shù)學(xué)思想方法，能讓我們從更高的層面上認識數(shù)學(xué)、認識世界，對幫助學(xué)生進一步樹立起辯證唯物主義的世界觀和方法論也是非常有益的.

張奠宙.《數(shù)學(xué)方法論稿》.上海教育出版社，1996年.