劉芳平，周建庭

(1.重慶交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，重慶400074;2.重慶三峽學(xué)院 土木工程學(xué)院，重慶404000)

任何薄壁結(jié)構(gòu)事實(shí)上都是由殼體構(gòu)件組合而成，如果用殼體理論分析薄壁結(jié)構(gòu)，結(jié)果比較精確，但工作量非常大，對于一些由多個(gè)此類結(jié)構(gòu)組成的體系，殼體理論的分析就變得艱難。此時(shí)，就能夠利用薄壁構(gòu)件長度方向比橫截面要大的特點(diǎn)，引入一些適當(dāng)?shù)募俣?，把它作為一根?gòu)件進(jìn)行研究，也能夠得到精確的結(jié)果。假想荷載法(Notional Load Technique)作為推導(dǎo)薄壁構(gòu)件穩(wěn)定理論的一種有效方法，由 Vlasov［1］首先提出，并被廣泛采用［2-3］。但是，目前的假想荷載法不是全面的。存在的問題是:沒有在板件理論的范疇內(nèi)確定假想荷載，因而在薄壁截面的板件內(nèi)存在剪應(yīng)力和橫向正應(yīng)力時(shí)，目前假想荷載法不能得到正確的平衡微分方程。

1 開口薄壁構(gòu)件彎扭分析基本假定

Vlasov［1］提出的開口截面構(gòu)件基本假設(shè)如下:

1)剛周邊假定。在構(gòu)件逐步變形的過程中，其橫截面形狀始終不變。即，各橫截面有可能產(chǎn)生垂直于截面的翹曲，但在自身平面內(nèi)的投影保持固定形狀，只是像剛性盤子一樣轉(zhuǎn)動(dòng)或者是進(jìn)行移動(dòng)。

2)構(gòu)件中面內(nèi)剪應(yīng)變?yōu)?。也就是說，彎曲扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的中面內(nèi)剪應(yīng)變對構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力分布影響非常小。

筆者從薄板理論出發(fā)，用假想荷載法利用單塊板的平衡推導(dǎo)了薄壁構(gòu)件的平衡微分方程。在推導(dǎo)彎扭平衡微分方程時(shí)，除了上面的兩條基本假定之外，補(bǔ)充了以下假定:

3)材料為理想彈性各向同性均質(zhì)材料。

4)小變形分析。

5)假定薄壁構(gòu)件由平板組成。

2 開口薄壁構(gòu)件彎扭平衡微分方程

2.1 薄板單元體的假象荷載

假想荷載實(shí)際上不是真正的外荷載，因?yàn)樗淖饔门c荷載一樣，能夠促使板件的變形發(fā)展。薄板屈曲后中面內(nèi)力在屈曲后的板中面法線方向的分力由式(1)給出［4］:

如果將板單元的x，y和z軸與薄壁構(gòu)件中的n-s-z坐標(biāo)系的z，s和n軸對應(yīng)，則板撓度w即為薄壁構(gòu)件位移 vn，單位寬度膜力 Nx，Ny和 Nxy對應(yīng)于 σzt，σst和τzst。因此，變位后的中面法線方向上的分量為:

由于應(yīng)力狀態(tài)板件發(fā)生切線方向位移 υs［5］，因此沿變位后曲線坐標(biāo)方向的假想面荷載如式(3):

y'方向上的假想的和真正的面荷載之和為:

由式(3)和式(4)，得到變位后s方向的總的荷載分量為:

由式(2)和式(5)可以求得薄壁結(jié)構(gòu)中的基本板件在變形后的坐標(biāo)上的假想荷載。

2.2 假想荷載法的基本方程

假想荷載法是在變形后的截面主軸方向上建立平衡微分方程。這里的假想荷載與以往的說法不一樣，指的是變形后坐標(biāo)軸方向上總力的分量，基本方程如下:

式(6a)～(6c)的方程都是建立在結(jié)構(gòu)變位后的坐標(biāo)系上，假想荷載和外荷載都往變形以后的主坐標(biāo)軸方向上(如圖1的x'，y'方向)分解，扭矩同樣是對截面剪切中心S1取矩得到。

圖1中，截面上任意點(diǎn)P在變形前的位置為P0，變形后的位置為P1點(diǎn)。P0點(diǎn)的坐標(biāo)與變形前的主軸坐標(biāo)系x軸間夾角為α，荷載qs作用在P0點(diǎn)的切線方向上。截面發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，P從P0點(diǎn)移動(dòng)到了P1點(diǎn)，與此同時(shí)，P1點(diǎn)與x軸間的夾角變?yōu)棣?θ，形心主軸的方向變到圖中的x'和y'的方向，S0到S1的位置變化是指截面的剪心位置變化情況。

圖1 坐標(biāo)系隨變形的變化Fig.1 Coordinate system changes with deformation

由圖1可得，變形后x'和y'方向的荷載分量qxt和qyt以及對剪切中心s1的分布扭矩mzt為:

以x方向的假想分布荷載qxt為例，將薄壁構(gòu)件變形后坐標(biāo)方向上的假想面荷載式(2)和式(5)代入(7)式，得:

對式(10)的各個(gè)部分進(jìn)行分步積分得:

同理，對變形后y'方向的荷載分量qyt以及對剪切中心s1的分布扭矩mzt做同樣的變換得到:

將式(11)～式(13)中變形后x'和y'方向的荷載分量qxt和qyt以及對剪切中心s1的分布扭矩mzt代入到式(6a)～(6c)，就可得到薄壁構(gòu)件彎扭平衡微分方程:

在以上假設(shè)下，利用假想荷載法得到的彎扭平衡微分方程組(14a)～(14c)與利用虛功原理［6］得到的結(jié)果是完全一致的。通過引入假想荷載法的推導(dǎo)，直觀的解釋了薄壁構(gòu)件彎扭屈曲問題用能量法［7-8］進(jìn)行分析推導(dǎo)時(shí)為什么不能引入外荷載的非線性功，也對薄壁構(gòu)件彎扭屈曲過程中到底發(fā)生了什么，產(chǎn)生了什么有了更清楚深刻的理解。

3 數(shù)值模擬研究

3.1 研究背景

近幾年國內(nèi)一些橋梁專家在鋼-混凝土組合橋梁的研究過程中，開發(fā)了豎轉(zhuǎn)鋼-混凝土組合拱橋，并成功應(yīng)用在重慶藻渡大橋等4座橋梁當(dāng)中。在此基礎(chǔ)上，又提出了鋼箱-混凝土組合連續(xù)剛構(gòu)橋，其截面主要是U型鋼箱和預(yù)制混凝土橋道板組成，在橋梁施工過程中，首先吊裝好U型鋼箱，然后在安裝預(yù)制混凝土橋道板，截面如圖2。筆者以此為背景，以變截面長懸臂開口鋼箱為研究對象，對變截面開口鋼箱的穩(wěn)定問題進(jìn)行了探討。

圖2 鋼-混凝土組合斷面示意Fig.2 Steel-concrete composite cross-section

3.2 計(jì)算模型

假設(shè)以變截面懸臂長度為L，底板跨度W，根部腹板高度H1，自由端腹板高度H2為影響參數(shù)，模型中不考慮加勁肋的影響，底板線形采用二次拋物線，將混凝土車道板荷載簡化為均布力施加于U型鋼箱腹板上，模型分析示意如圖3。

圖3 模型分析示意Fig.3 Schematic model

有限元分析時(shí)選取懸臂長 L分別為50，75，90 m，底板寬度 W 分別為4，6，8 m，H1為4～15 m，H2為2～15 m，鋼板厚度均為2 cm。利用ANSYS對不同尺寸結(jié)構(gòu)進(jìn)行屈曲分析。腹板和底板采用shell63單元模擬，單元厚度為0.02 m。在L=50 m，W=4 m，H1=4 m，H2=2 m時(shí)進(jìn)行了單元網(wǎng)格劃分的有限元模型如圖4。

圖4 單元網(wǎng)格劃分后的有限元分析模型Fig.4 Finite element analysis model with the unit meshed

3.3 計(jì)算結(jié)果

通過計(jì)算，變截面開口鋼箱在豎向荷載作用下，不同幾何尺寸1階屈曲模態(tài)可歸納為4種形態(tài)，如圖5。

圖5 屈曲模態(tài)Fig.5 Buckling mode

3.4 結(jié)果分析

3.4.1 Ⅰ型屈曲模態(tài)

固定端附近底板形成了凸凹不平的波段，屈曲后豎向腹板和底板間的連接線保持原來的直線，豎向腹板截面的輪廓形狀保持不變，即:固定端附近底板發(fā)生局部屈曲。

3.4.2 Ⅱ型屈曲模態(tài)

固定端附近底板和腹板同時(shí)形成了凸凹不平的波段，屈曲后豎向腹板和底板之間的連接線由原來的直線發(fā)生傾斜，屈曲區(qū)域附近底板和腹板差生位移，原來的截面形狀和輪廓發(fā)生了改變，即:固定端附近底板和腹板發(fā)生了畸變屈曲。

3.4.3 Ⅲ型屈曲模態(tài)

固定端附近腹板形成了凸凹不平的波段，豎向腹板截面的輪廓形狀保持不變，屈曲后豎向腹板和底板之間的連接線沒變，即:固定端附近腹板發(fā)生了局部屈曲。

3.4.4 Ⅳ型屈曲模態(tài)

自由端腹板受到荷載后向內(nèi)和向下發(fā)生位移，但其自身截面形狀并未出現(xiàn)凸凹不平的波段，即自由端腹板發(fā)生了彎扭屈曲。

分析可知，受豎向均布荷載作用下變截面懸臂開口薄壁構(gòu)件有3種基本屈曲形態(tài)，即板件的局部屈曲、截面的畸變屈曲和構(gòu)件的整體屈曲。在理想狀態(tài)，這3種屈曲均屬于穩(wěn)定分岔失穩(wěn)問題［9］。

懸臂長度依次是50，75，90 m，底板寬度依次是4，6，8 m，在懸臂長度和底板寬度一定的條件下，豎向數(shù)值H1變化范圍4～15 m，水平數(shù)值H2為2～15 m的各種尺寸模型所對應(yīng)的屈曲模態(tài)的計(jì)算統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖6。

圖6 不同尺寸屈曲模態(tài)統(tǒng)計(jì)Fig.6 Buckling mode statistics of different sizes

從圖6可以得出以下規(guī)律:

1)懸臂長度對懸臂開口鋼箱屈曲影響較大，當(dāng)懸臂長度L從50 m增大到90 m時(shí)，發(fā)生Ⅰ型屈曲的概率顯著增多，發(fā)生Ⅳ型屈曲的概率顯著減少。Ⅱ型屈曲和Ⅲ型屈曲變化不顯著，尤其是Ⅱ型屈曲只有在某幾中尺寸下才發(fā)生。

2)懸臂長度L＜75 m時(shí)，底板寬度變化對屈曲影響較小，當(dāng)跨徑增大到90 m時(shí)，底板寬度變化對屈曲影響較大，不能忽略。具體來說，發(fā)生Ⅰ型屈曲的概率增多，發(fā)生Ⅳ型屈曲的概率減少。

3)從 L=50 m，W=4 m，H1=4 m，H2=2 m 最小模型開始，首先發(fā)生Ⅰ型屈曲;Ⅱ型和Ⅲ型作為Ⅰ型與Ⅳ型的過渡型態(tài)，出現(xiàn)頻率很小。H2/L＞0.12左右時(shí)屈曲型態(tài)均為Ⅳ型。

4 結(jié)語

1)目前的假想荷載法由于沒有在板件理論的范疇內(nèi)確定假想荷載，不能得到正確的平衡微分方程。筆者在板件理論的范疇內(nèi)確定假想荷載，將基本方程建立在變形后的結(jié)構(gòu)上，利用假想荷載法得到的彎扭平衡微分方程，直觀地解釋了薄壁構(gòu)件彎扭屈曲問題用能量法進(jìn)行分析推導(dǎo)時(shí)，不能引入外荷載的非線性功的原因，對薄壁構(gòu)件彎扭屈曲的過程作了更清楚地解釋。

2)大量數(shù)值模擬分析發(fā)現(xiàn)，受豎向均布荷載作用的變截面懸臂開口薄壁構(gòu)件有3種基本屈曲形態(tài)，即板件的局部屈曲、截面的畸變屈曲和構(gòu)件的整體屈曲，這3種屈曲均屬于穩(wěn)定分岔失穩(wěn)問題。

3)懸臂長度對懸臂開口鋼箱一階屈曲影響較大，而且當(dāng)懸臂曾長時(shí)，固定端底板屈曲增多，自由端腹板屈曲減少。固定端底板和腹板同時(shí)發(fā)生屈曲以及固定端腹板發(fā)生屈曲為過渡型態(tài)，出現(xiàn)較少。當(dāng)懸臂端高度與懸臂長度H2/L＞0.12左右時(shí)均為自由端腹板屈曲。

［1］ Vlasov V Z.Thin-Walled Elastic Beam［R］.Washington，D.C.:National Science Foundation，1961.

［2］ 呂烈武，沈世釗，沈祖炎，等.鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件穩(wěn)定理論［M］.北京:中國建筑工業(yè)出版社，1983.

［3］ 郭耀杰.懸臂構(gòu)件穩(wěn)定性理論及其應(yīng)用［M］.武漢:華中理工大學(xué)出版社，1997.

［4］ 童根樹.鋼結(jié)構(gòu)的平面外穩(wěn)定［M］.北京:中國建筑工業(yè)出版社，2007.

［5］ 徐芝綸.彈性力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2008.

［6］ Trahair N S，Papangelis J P.Flexural-torsional buckling of monosymmetric arches［J］.Structural Engineering，ASCE 1987，113(10):2271-2288.

［7］ Papangelis T P，Trahair N S.Flexural-torsional buckling test on arche［J］.Structural Engineering，ASCE，1987，113(7):1433-1443.

［8］ Papangelis T P，Trahair N S.Flexural-torsional stability of arch［J］.Structural Engineering，ASCE，1987，113(4):889-906.

［9］ 陳驥.鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論與設(shè)計(jì)［M］.北京:科學(xué)出版社，2006.