彭高豐， 馬振中， 夏明霞， 劉紅平

(長沙師范高等?？茖W校，長沙 410100)

0 引言

網(wǎng)絡控制系統(tǒng)是面向復雜分布式控制應用或控制對象，采用計算機和網(wǎng)絡通訊技術，在傳感器、執(zhí)行器件和控制器等智能節(jié)點或子系統(tǒng)間傳遞控制和管理信息，完成復雜的整體控制功能，從而形成的數(shù)字通信網(wǎng)絡。網(wǎng)絡控制系統(tǒng)擺脫了傳統(tǒng)點對點連接的束縛，打破了系統(tǒng)在空間位置上的限制，拓寬了控制活動的場所，降低了系統(tǒng)連接的復雜性、運行成本和維護費用，應用范圍越來越廣泛。網(wǎng)絡控制系統(tǒng)已經(jīng)引起了學術界的廣泛關注［1－10］。

隨著網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的日益復雜，無法避免網(wǎng)絡傳輸中的時延、丟包以及網(wǎng)絡調度等問題，同時系統(tǒng)中的傳感器等節(jié)點發(fā)生失效故障，也會導致系統(tǒng)失去所期望的動靜態(tài)特性乃至失穩(wěn)，因而研究傳感器出現(xiàn)故障的時延網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的魯棒容錯控制具有較強的現(xiàn)實背景。

目前網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的魯棒容錯控制研究中所采用的傳感器故障模型都為開關矩陣這種極端模型(正常為 1，失效為 0)［1－2，6－7，10］，而在實際網(wǎng)絡控制系統(tǒng)中的故障更多的是部分失效情形。

本文研究了有界控制輸入下閉環(huán)網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的H∞容錯控制問題。針對網(wǎng)絡控制系統(tǒng)存在傳感器等節(jié)點部分失效和外部擾動的情況，研究了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性問題，給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件，并研究了閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定下H∞控制器存在的充分條件及設計方法。

1 問題的描述

式中:x(k)∈Rn，uf(k)∈Rm，w(k)∈Rl，z(k)∈Rq分別為系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入、有限能量的外部干擾和量測輸出;A，B，C，D，E是具有相應維數(shù)的常數(shù)矩陣。傳感器失效控制輸入表示為

式中，R為傳感器失效的系數(shù)矩陣，且R=diag［r1，r2，…，rm］。其中:ri'，為所給定的常數(shù)，第 i個傳感器完全失效時ri=0，完全正常則ri=1。

因此矩陣R可表示為

具有外部擾動和時延的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 網(wǎng)絡控制系統(tǒng)結構Fig.1 Construction of networked control system

假設網(wǎng)絡造成的前向通道(傳感器到控制器)時延為 τ1，反饋通道(控制器到執(zhí)行器)時延為 τ2，τ1和τ2均為正整數(shù)。對于網(wǎng)絡控制系統(tǒng)(1)，如果不考慮數(shù)據(jù)包的丟失，則在k時刻系統(tǒng)控制器得到的反饋信息為系統(tǒng)對象在k－τ1時刻的狀態(tài);控制器根據(jù)得到的信息計算控制量，并通過網(wǎng)絡傳輸?shù)綀?zhí)行器，執(zhí)行器獲得這個控制量的時刻為k+τ2，并在該時刻將控制量作用到控制對象。因此，從傳感器到執(zhí)行器，整個網(wǎng)絡的時延為 τ1+ τ2，即系統(tǒng)(1)可寫成

將系統(tǒng)狀態(tài)和系統(tǒng)輸入組成增廣狀態(tài)，則可轉換為

H∞容錯控制就是把H∞控制方法運用到網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)的容錯控制，采用固定的控制器來確保閉環(huán)系統(tǒng)對特定的故障和外部干擾不敏感，并能使系統(tǒng)保持穩(wěn)定和具有適當?shù)男阅苤笜恕＿@種控制方法屬于網(wǎng)絡控制系統(tǒng)中的被動控制。

2 主要結果

定理1對于網(wǎng)絡控制系統(tǒng)(6)，假設外部擾動w(k)=0，并存在正定矩陣P和正定矩陣Q，滿足如下條件

則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

證明:考慮系統(tǒng)(6)，構造Lyapunov函數(shù)V(k)=由于 P，Q 都是正定矩陣，可知ΔV(k)是正定矩陣。假設w(k)=0，，則 ΔV(k)的前向差分

因此，由Schur補定理知Ω＜0與不等式(8)等價，定理1得證。

定理2考慮具有控制約束和時延為τ1+τ2的網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)(6)，給定常數(shù)γ＞0，ε＞0，如果存在正定對稱矩陣P和正定矩陣Q，使得以下矩陣不等式成立。

則具有容錯控制器u(k)=Kx(k)的閉環(huán)系統(tǒng)(6)是漸近穩(wěn)定的，且具有H∞性能指標γ。

3 仿真結果分析

考慮網(wǎng)絡控制系統(tǒng)(6)具有如下參數(shù)

把以上參數(shù)代入不等式(10)，利用Matlab toolbox LMI可以驗證線性矩陣不等式成立，因此網(wǎng)絡控制系統(tǒng)(6)是漸近穩(wěn)定的。

從圖2可以看出，系統(tǒng)的5個零輸入狀態(tài) x1，x2，x3，x4，x5在有外部干擾的情況下呈遞減趨勢，經(jīng)過一定時間都能趨近零，說明系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。由此證明了本文所給結論的正確性。

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)的零輸入響應Fig.2 Zero－input response of system status

4 結束語

本文研究了一類存在傳感器部分失效、固定時延和外部擾動的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)H∞容錯問題，給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定下H∞控制器存在的條件及設計方法。仿真結果分析說明了方法的有效性。

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