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        解三角函數(shù)題常見的幾種錯誤

        2012-08-27 03:38:16謝黎靜杭州師范大學(xué)附屬中學(xué)浙江杭州310030
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)

        ●謝黎靜 (杭州師范大學(xué)附屬中學(xué) 浙江杭州 310030)

        三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要知識點(diǎn),也是高考考查的熱點(diǎn).高考的考查分值為20分左右,題目難度適中,學(xué)生易得分,但也易失分.究其失分原因,不是三角公式應(yīng)用不夠熟練,不是三角函數(shù)性質(zhì)掌握不全;不是題目入手太難,而是“亂花漸欲迷人眼”,即沒有注意三角函數(shù)題中的隱含條件.那么,怎樣挖掘隱含條件避免失分呢?筆者在完成三角函數(shù)這一教學(xué)內(nèi)容后,布置了幾道有關(guān)三角函數(shù)的題目,現(xiàn)把學(xué)生中常見的錯誤解法歸類分析如下:

        1 根據(jù)條件不能正確落實(shí)角的范圍

        表明∠B是鈍角,從而∠A是銳角,cosA>0.

        分析錯解應(yīng)用了正弦定理把邊AC,BC與∠B建立了函數(shù)關(guān)系,然后運(yùn)用三角公式建立y與x的函數(shù)關(guān)系.由于對銳角三角形內(nèi)角范圍這一隱含條件挖掘不夠,導(dǎo)致結(jié)果錯誤.事實(shí)上,已知條件“銳角三角形”不僅直接表明∠B的范圍,也隱含表明∠A的范圍.

        與例2類似,數(shù)學(xué)高考中出現(xiàn)過的題目還有:1.在銳角△ABC 中,BC=1,∠B=2∠A,則 AC的取值范圍是_______.

        (2009年湖南省數(shù)學(xué)高考文科試題)

        2.設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,其中 a=2bsinA,求 cosA+sinC 的取值范圍.

        (2007年全國數(shù)學(xué)高考理科試題)

        (2011年全國數(shù)學(xué)高考理科試題)

        2 根據(jù)條件不能適當(dāng)縮小角的范圍

        (2009年四川省數(shù)學(xué)高考文科試題)

        因?yàn)棣?,β都是銳角,所以0<α+β<π,從而

        因?yàn)檎?、余弦、正切函?shù)有各自的函數(shù)性質(zhì),所以要縮小α,β的范圍,從而確定α+β的值.正解2利用正、余弦在不同象限上對應(yīng)的符號或值來判別角的大小.數(shù)學(xué)高考中出現(xiàn)過的與例3類似的題目有:

        (2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

        例4 已知 2sin2α +3sin2β =sinα,求 sin2α +sin2β的取值范圍.

        3 對三角形邊關(guān)系認(rèn)識不清

        (2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

        因?yàn)閤>0且128-(x2-12)≥0,所以

        分析運(yùn)用面積公式和余弦定理,建立面積與邊之間的函數(shù)關(guān)系,這個解題思路是正確的.由于沒有注意三角形邊之間大小關(guān)系這個隱含條件,導(dǎo)致結(jié)果錯誤.事實(shí)上,設(shè)BC=x,AC=x,直接表明這兩條邊的關(guān)系以及x>0,且隱含表明三角形中兩邊之和要大于第三邊,即

        正解 由分析得

        由三角形三邊關(guān)系得

        數(shù)學(xué)高考中出現(xiàn)過的與例5類似的題目還有:

        (1)求△ABC的周長;

        (2)求cos(A-C)的值.

        (2011年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

        綜上所述,要提高學(xué)生解題的正確率,除了要注意題中的隱含條件外,教師在選擇例題講解時要引導(dǎo)學(xué)生挖掘隱含條件,避免各種錯誤.通過課堂例題和課后作業(yè)進(jìn)行對比歸類,以期不再“物是人非眼迷離”.

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