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        三角函數(shù)探索題的類型及其解法

        2012-08-27 02:41:56江蘇省宿遷青華中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年3期
        關(guān)鍵詞:分析數(shù)學(xué)

        ☉江蘇省宿遷青華中學(xué) 楊 兵

        三角函數(shù)問題中的探索題,是指命題中缺少一定的條件或未給出明確的結(jié)論,需要經(jīng)過推斷、補(bǔ)充并加以證明的問題.由于這類問題的知識(shí)覆蓋面大,綜合性強(qiáng),方法靈活,再加上題意新穎,要求學(xué)生具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較高的數(shù)學(xué)能力,從而使三角函數(shù)探索題成為各種考試的一種常見題型.

        一、條件探索題

        條件探索題,即給出問題的結(jié)論,但沒有給出題目的條件,要求給出或補(bǔ)充使問題結(jié)論成立的條件.解這類題采取的策略是執(zhí)果索因,首先要從結(jié)論出發(fā),考慮結(jié)論成立時(shí)所要滿足的條件,再結(jié)合圖形及其性質(zhì)逆向推導(dǎo),尋找出所求條件.

        分析:把條件①變形,判斷是否成立,然后根據(jù)化簡的結(jié)果,修改條件.

        解:先判斷條件①是否成立.

        說明:條件探索題涉及的知識(shí)較多,綜合性強(qiáng),且是“逆向思維”,解此類問題需要有扎實(shí)的基本功及靈活處理問題的能力.

        二、結(jié)論探索型

        結(jié)論探索題的基本特征是給出條件而無結(jié)論或結(jié)論的正確與否需要確定.解此類題通常先假設(shè)其結(jié)論存在,再進(jìn)行計(jì)算、推理,如果推導(dǎo)出符合條件的結(jié)論,則表示結(jié)論存在;若推出矛盾的結(jié)果,則結(jié)論不存在.

        說明:本題要求找到三個(gè)數(shù)的關(guān)系,并說明理由,對(duì)思維能力要求較高,突出了對(duì)探索、歸納、推理能力的考查.

        三、規(guī)律探索型

        規(guī)律探索題的基本特征是給出若干圖形及圖形的變化規(guī)律等,需探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性的結(jié)論.通過觀察、歸納、類比、分析等思維方法,概括出一般規(guī)律或結(jié)論,然后再給出證明.

        例3 設(shè)n∈N*,且sin x+cos x=-1,能否求出sinnx+cosnx的值?

        分析:本題是與正整數(shù)有關(guān)的命題,可以先用不完全歸納法探索結(jié)果,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.

        由此可以猜想當(dāng)n∈N*時(shí),sinnx+cosnx=(-1)n.

        下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

        (1)當(dāng)n=1時(shí),有sin x+cos x=-1成立.

        (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),猜想成立,即sinkx+coskx=(-1)k.當(dāng)n=k+1時(shí),有sink+1x+cosk+1x=(sin x+cos x)(sinkx+coskx)-sin xcoskx-cos xsinkx=(-1)(-1)k-sin x·cos x(sink-1x+cosk-1x)=(-1)k+1.猜想成立.

        由(1)(2)可知,當(dāng)n∈N*時(shí),sinnx+cosnx=(-1)n.

        說明:對(duì)于解規(guī)律探索題,要合理利用題目中提供的信息,正確審題、分析、歸納,然后探索出結(jié)果.

        四、存在探索型

        存在探索題一般是在確定的條件下判斷某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在.解決這類問題的策略是先假設(shè)需要探索的對(duì)象存在,從條件和假設(shè)出發(fā)進(jìn)行運(yùn)算、推理,若出現(xiàn)矛盾,則否定存在;如果不出現(xiàn)矛盾,則肯定存在.

        分析:可以將函數(shù)化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù),再利用條件列出方程組求a、b的值.

        所以存在a、b∈R,使本題結(jié)果成立.

        說明:此題采用的方法是:觀察函數(shù)表達(dá)式的特征——假設(shè)存在——演繹推理——得出結(jié)論.

        三角函數(shù)問題的探索題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)較多,解題過程較復(fù)雜,技巧性強(qiáng),沒有現(xiàn)成的解題套路,因此 ,要求我們合情合理地分析,把直覺發(fā)現(xiàn)與邏輯推理相結(jié)合,更應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用.

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