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        淺析高考集合熱點

        2012-08-27 02:41:52河南省鞏義二中東校區(qū)
        中學數(shù)學雜志 2012年3期
        關鍵詞:整數(shù)實數(shù)個數(shù)

        ☉河南省鞏義二中東校區(qū) 王 婧

        集合是高中數(shù)學中最基本的概念,亦是歷年高考必考的知識點之一,??疾榧系幕靖拍詈瓦\算及集合語言和集合思想的應用,考題多為較容易的選擇題、填空題.盤點2011年高考試卷中有關集合的問題,認真分析研究,發(fā)現(xiàn)考查熱點體現(xiàn)在下列六個方面.

        一、基本型

        這類題型主要考查集合的基本概念和基本運算,常用解法是定義法、列舉法、性質法、韋恩圖法及語言轉化法等.

        例1(安徽卷)集合U={1,2,3,4,5,6},S={1,4,5},T={2,3,4},則于( ).

        A.{1,4,5,6} B.{1,5}

        C.{4} D.{1,2,3,4,5}

        解:U={1,2,3,4,5,6},S={1,4,5},T{2,3,4},

        評注:本題主要考查集合的交、補運算,因為題設給出的集合是具體的,可采用觀察法得到相應的計算結果,也可利用韋恩圖輔助求得答案.

        二、交匯型

        這類題型主要是將集合與不等式、三角函數(shù)、解析幾何、簡易邏輯等知識進行交匯,形成多知識點的綜合問題,解題的關鍵在于靈活運用有關知識.

        例2 (湖南卷)設M={1,2},N={a2},則“a=1”是“N?M”的( ).

        A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

        C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

        解:當a=1時,N={1},滿足N?M.

        反之,若N?M,則N={a2}={1}或N={a2}={2},不一定有a=1.

        故“a=1”是“N?M”的充分不必要條件.故選A.

        評注:本題主要考查集合之間的關系,采用充要條件等基礎知識,考查學生分析問題和解決問題的能力,屬于創(chuàng)新題型.

        三、計數(shù)型

        這類題型是指以集合為背景,求子集的個數(shù)、集合中元素的個數(shù)等.常用解法是子集的個數(shù)公式法、圖表法、組合數(shù)公式法等.

        例3(廣東卷)已知集合A={(x,y)|x、y為實數(shù),且x2+y2=1},B={(x,y)|x、y為實數(shù),且y=x},則A∩B的元素個數(shù)為().

        A.0 B.1 C.2 D.3

        解:集合A={(x,y)|x、y為實數(shù),且x2+y2=1}表示圓x2+y2=1上所有點組成的集合,B={(x,y)|x、y為實數(shù),且y=x}表示直線y=x上所有點組成的集合.

        故A∩B中有兩個元素.故選C.

        評注:本題考查集合的表示及集合的基本運算.解題時要注意集合A與集合B中的元素均為點(x,y),A∩B的元素個數(shù)即為圓與直線的交點個數(shù).

        四、逆向型

        逆向型是指已知集合的運算結果,寫出集合運算的可能表達式,這類問題往往具有一定的開放性.

        A.(-∞,-1]B.[1,+∞)

        C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

        解:由P∪M=P,得M?P,即a∈P,則a2≤1,故-1≤a≤1.故選C.

        評注:本題主要考查集合的運算、簡單的二次不等式的解法.

        五、判斷型

        此類問題是判斷兩個或兩個以上集合之間的關系.要正確判斷兩個集合間的關系,必須對集合的相關概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,認清集合的特征,準確地進行轉化,通過觀察元素的構成結構,借助圖形關系尋求集合間的關系,使問題直觀準確地得到解決,因此,要重視數(shù)形結合思想、轉化思想的運用.

        例5 (江西卷)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},則集合{5,6}等于( ).

        解:由U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},得M∪N={1,2,

        六、閱讀理解型

        以集合內容為背景,即時設計一個陌生的問題情景,要求學生在理解的基礎上作答.

        例6(福建卷)在整數(shù)集Z中,被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”,記為[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0、1、2、3、4.給出如下四個結論:

        ①2011∈[1];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整數(shù)a、b屬于同一‘類’”的充要條件是“a-b∈[0]”.

        其中,正確結論的個數(shù)是( ).

        A.1 B.2 C.3 D.4

        解:2011=402×5+1,[1]={5n+1|n∈Z},則2011∈[1],故命題①正確.

        -3=5×(-1)+2,則-3∈[2],故命題②不正確.

        因為所有整數(shù)Z除以5可得余數(shù)的結果為:0、1、2、3、4,故命題③正確.

        若a-b屬于同一類,則有a=5n1+k,b=5n2+k,a-b=5(n1-n2)∈[0];反之,若a-b∈[0],也可以得到a-b屬于同一類.

        有三個命題成立.故選C.

        評注:本題是一道比較典型的新定義題,根據(jù)給出的定義綜合考查了元素與集合之間的關系、集合間的基本運算,同時考查對充要條件的理解.

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