●蔡勇剛 (溫嶺市澤國中學(xué) 浙江溫嶺 317523)

高中數(shù)學(xué)的概念是高度抽象的，因此要使學(xué)生能夠更好地掌握數(shù)學(xué)概念，教師應(yīng)該遵循學(xué)生發(fā)展的認(rèn)知規(guī)律，以學(xué)生已有知識為基礎(chǔ)，以啟發(fā)學(xué)生思維為核心，引導(dǎo)學(xué)生由已知發(fā)現(xiàn)未知，從而建立自己的認(rèn)知體系.從學(xué)生獲得概念的過程和方法而言，筆者認(rèn)為應(yīng)遵循認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，可以從以下幾個方面進(jìn)行突破：

1 提供合適背景，著力意義建構(gòu)

數(shù)學(xué)概念的生成應(yīng)通過學(xué)生的感性認(rèn)識，繼而發(fā)展成理性認(rèn)識，教學(xué)過程中應(yīng)注重由學(xué)生的日常感悟經(jīng)驗出發(fā)，通過學(xué)生熟知的具體實例抽象概括出概念的本質(zhì)屬性.數(shù)學(xué)概念的引入時不得不面臨一個重要的問題：如何借助學(xué)生的已有生活背景，來幫助概念形成的實際背景?因此，教師要想方設(shè)法創(chuàng)設(shè)適合概念引入的問題情境，幫助學(xué)生完成由簡單感知到理性認(rèn)識的過渡，并引導(dǎo)學(xué)生把概念背景材料與自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立起實質(zhì)性聯(lián)系.

1.1 借助實際生活，引入數(shù)學(xué)新概念

從學(xué)生熟知的實際問題出發(fā)實施概念教學(xué)，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中更好地接受概念探究的過程，讓學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)有一個更加感性的認(rèn)識，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，積極參與到教學(xué)活動中來.筆者在隨機(jī)事件的概率教學(xué)中設(shè)計了如下的問題：

某商家廣告：不花1分錢就可中大獎而且每次都可中獎.在摸獎箱內(nèi)有20個小球，其中10個10分，10個5分.摸獎?wù)卟槐靥湾X，只需隨意摸出10個小球，然后按照小球上的分?jǐn)?shù)之和，分?jǐn)?shù)相加為100分者獎筆記本電腦一臺，50分者獎手機(jī)一部.總分為95，90，85，70，65，55 等獎電池、口香糖等小獎品.但是如果摸獎?wù)呙行∏虻姆e分為75或者80，那須掏30元錢買一瓶洗發(fā)水，原價40元!心動不如行動，該出手就出手，電腦、手機(jī)跟你走!

思考：這樣的摸獎活動，你會參加嗎?

學(xué)生接觸到這樣的學(xué)習(xí)場景，表現(xiàn)出了極大的學(xué)習(xí)興趣，紛紛開始討論，課堂氣氛非?；钴S.課堂上出現(xiàn)了2種不同的結(jié)論，學(xué)生都有自己的想法，但是提不出具體的理由，教師適時給出課題，引入課堂教學(xué).

1.2 創(chuàng)設(shè)生動的問題情景，引入數(shù)學(xué)新概念

在進(jìn)行“隨機(jī)事件及其概率”教學(xué)時，筆者進(jìn)行過多次實踐，如何才能讓學(xué)生在一個生動的問題情景中開始隨機(jī)事件的學(xué)習(xí)?后來采用了毛主席《沁園春·雪》中的詩句，借助詩句的意境讓學(xué)生判斷“六月飛雪”是否會發(fā)生.學(xué)生對事件進(jìn)行判斷后，借助多媒體進(jìn)行事件展示(新聞播報)：近20年來，由于氣候異常，出現(xiàn)在6月份并被氣象部門記載的“六月飛雪”有3次.由此，教師適時地引入課題“隨機(jī)事件及其概率”.數(shù)學(xué)教學(xué)借助詩句的意境，可以集中學(xué)生的注意力，同時也讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中接受心靈的熏陶.而新聞播報的形式，讓學(xué)生感受到生活中的數(shù)學(xué)問題，將課本教材中的問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)馗脑?，結(jié)合知識性和趣味性，激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)新概念的積極性，讓數(shù)學(xué)課堂成為學(xué)生探究的場所.

2 抓住知識本質(zhì)，同化精致概念

數(shù)學(xué)概念的形成過程比單純掌握概念本身重要，僅僅讓學(xué)生簡單應(yīng)用、機(jī)械記憶數(shù)學(xué)概念是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.通過了解概念的本質(zhì)，讓學(xué)生形成具體到一般的概念應(yīng)用過程是概念教學(xué)中至關(guān)重要的一步.對于數(shù)學(xué)概念和定理，它們的產(chǎn)生過程往往蘊(yùn)涵著許多數(shù)學(xué)思想方法和解題思路，利用合理的概念探究學(xué)習(xí)，同化精致概念.因此，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中，應(yīng)留給學(xué)生一定的時間和空間，引導(dǎo)學(xué)生動手去探索、發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷一個從具體到一般、由表到里的過程，并在這個過程中，使學(xué)生的直接性經(jīng)驗獲得抽象和提升，創(chuàng)立合理的概念體系.以下是筆者“線面垂直的判定定理”的課例，頗有回味，與讀者分享.

在日常生活中，對線面垂直的感性認(rèn)識是很多的，如旗桿與地面、屋梁與墻面等，如何來判定呢?筆者拿出課前準(zhǔn)備好的一張三角形紙片，過頂點A翻折該紙片得到折痕AD，將翻折后的紙片放置在水平桌面上(如圖1)，并請學(xué)生觀察：折痕AD與桌面垂直嗎?

圖1

如何翻折才能使AD與桌面垂直?在動手操作過程中，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)折痕是BC邊上的高時，翻折之后的折痕不偏不倚地站立著，即AD與桌面垂直(如圖2).這是為什么呢?教學(xué)自然而然地進(jìn)入到對該實際問題的研究中：因為AD⊥BC，翻折后這一垂直關(guān)系是一個不變的關(guān)系，即在圖2中有AD⊥CD且AD⊥BD.似乎應(yīng)有以下的結(jié)論：AD與平面α的2條相交直線垂直，則AD⊥α，這正是線面垂直的判定定理.如果折痕AD與桌面上的一條直線垂直，是否足以保證AD⊥α?讓學(xué)生自己動手試一試.盡管AD垂直于一邊，但紙張并不能穩(wěn)穩(wěn)地豎立在桌面上，讓學(xué)生在操作中體驗，一個抽象的數(shù)學(xué)定理直觀地展現(xiàn)在面前.

圖2

3 精選例題練習(xí)，加速概念內(nèi)化

學(xué)生對新知識的獲得和掌握，需要及時地應(yīng)用鞏固，一般在講完概念定義之后要及時進(jìn)行課內(nèi)訓(xùn)練，如精心設(shè)計能鞏固概念的填空、判斷、選擇等難易結(jié)合的例題，提高學(xué)生對新概念的認(rèn)識和理解，加速學(xué)生的概念內(nèi)化.通常選擇一些容易讓學(xué)生出現(xiàn)概念“盲點”的題目，讓學(xué)生辨認(rèn)，加深對所學(xué)概念的內(nèi)涵及外延的認(rèn)識.例如在“隨機(jī)事件的概率”的教學(xué)中，筆者結(jié)合課本習(xí)題設(shè)計了以下問題：

例1 一個袋子中裝有大小相同、質(zhì)地均勻的3個紅球和6個白球，每次從袋中摸出一個球.

(1)一共摸出5個球，求事件Ai：“剛好有i個紅球”與事件B：“至少有1個紅球”的概率;

(2)一共摸出5個球，求紅球個數(shù)ζ的分布列，并回答摸出紅球個數(shù)的最大可能性是多少?

在課堂教學(xué)中，教師引入了相關(guān)概念后，應(yīng)成為學(xué)生的引導(dǎo)者，看看學(xué)生在面臨問題時，如何展現(xiàn)概念的應(yīng)用、反思和內(nèi)化.

學(xué)生甲：第(1)小題先求P(B)再求P(Ai)，因為P(B)“至少1個紅球”等價于求對立事件“沒有紅球”的概率.雖然算法不同，但結(jié)果相同：

而求P(A1)時，結(jié)果卻出現(xiàn)了不同，不知哪個對哪個錯：

學(xué)生乙：第(2)小題，當(dāng) ζ取值為 0，1，2，3，4，5時，相應(yīng)的概率即為第(1)小題中對應(yīng)的P(Ai)值.因此，計算P(A1)時，用排列的方法計算是錯誤的.Ai的含義指的是一共5個球中紅球的個數(shù)，在“每次取1個”的過程中，所摸的5個球與“次序無關(guān)”，這就是錯誤的根源.

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既能鍛煉學(xué)生的形象思維能力，又能鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力.在優(yōu)化概念的教學(xué)中，例題習(xí)題的選擇能夠優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，在解決問題的過程中加速概念的內(nèi)化.

4 概念變式鞏固，強(qiáng)化概念順應(yīng)

通過相關(guān)練習(xí)的安排，學(xué)生對相關(guān)概念有了初步的認(rèn)識，但是這樣的認(rèn)識是不全面的，甚至是有偏差的，這就需要教師及時引導(dǎo)學(xué)生對新概念進(jìn)行再認(rèn)知，明確概念的內(nèi)涵與外延.在教師教學(xué)的過程中，應(yīng)從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行教學(xué)，恰當(dāng)?shù)匕才抛兪骄毩?xí)，使學(xué)生從不同的角度去認(rèn)識概念的本質(zhì)，通過條件的變化讓學(xué)生在認(rèn)知過程中進(jìn)行“錯”與“對”的反復(fù)推敲，通過錯題來糾正學(xué)生的思維偏差.筆者在例1中設(shè)計以下問題，對學(xué)生進(jìn)行新知識的強(qiáng)化：

(3)若有放回的摸球，共有5次摸球的機(jī)會，并規(guī)定：若有3次摸到紅球則游戲停止.記游戲停止時，已摸到紅球的次數(shù)為ζ，求ζ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.

學(xué)生丙：第(3)小題中 ζ取值為 0，1，2，3，其中事件“ζ=0”表示5次摸球中，0次摸到紅球，5次摸到白球，概率為可是按此方法算下來，分布列的“概率和≠1”，但不知錯在哪里，為什么會錯?

通過前面的概念教學(xué)，學(xué)生掌握了初步的概率計算，在計算變量分布列的取值時犯了遺漏的錯誤.

5 構(gòu)建知識體系，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要留給學(xué)生足夠的時間和空間，引導(dǎo)學(xué)生通過合理的自我評價與反思，找到問題所在，并在這個過程中構(gòu)建起知識體系，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)超越自我.從學(xué)習(xí)情感的角度出發(fā)，讓學(xué)生對課堂概念學(xué)習(xí)進(jìn)行評價和反思.

對于例1的第(2)小題，學(xué)生可以排除“0紅5白、1紅4白、2紅3白、3紅2白”等抽取情況，其中概率的計算正是隨機(jī)事件概率模型中的“超幾何分布”模型.通過教師的分析以及學(xué)生的練習(xí)，學(xué)生已學(xué)會了用“超幾何分布”模型解決此類隨機(jī)事件的概率問題，即學(xué)生已構(gòu)建了相關(guān)的知識體系.接著，可以通過“學(xué)生自我評價表”(見表1)對掌握程度進(jìn)行自我評價，進(jìn)而優(yōu)化知識結(jié)構(gòu).

表1 學(xué)生自我評價：“超幾何分布”模型學(xué)習(xí)

概念的形成與應(yīng)用是教學(xué)過程中必不可少的環(huán)節(jié)，重視概念教學(xué)，挖掘數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，充分利用課堂教學(xué)中概念性質(zhì)的形成規(guī)律是后續(xù)概念、性質(zhì)生成之源.教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一系列的有效反思，常常會起到事半而功倍的效果.反思是學(xué)生對于概念的再認(rèn)識和再創(chuàng)造的過程，鼓勵學(xué)生用已學(xué)的概念去發(fā)現(xiàn)和解決實際生活中的問題，更好地鞏固對概念的認(rèn)知.

概念學(xué)習(xí)不可能一蹴而就，它是一個循環(huán)反復(fù)的過程，需要教師從多維度、在多場合進(jìn)行思考和創(chuàng)造.因此，數(shù)學(xué)課堂中的概念教學(xué)，應(yīng)更加尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在合適的教學(xué)點教給學(xué)生合適的概念知識，只有這樣，概念教學(xué)才是自然的、順應(yīng)規(guī)律的.

［1］ 劉智強(qiáng)，朱哲.數(shù)學(xué)教學(xué)要在“再創(chuàng)造”上下工夫——圓錐曲線概念教學(xué)的一種創(chuàng)新設(shè)計與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2003(9)：13-15.

［2］ 張良強(qiáng).數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)原則［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2002(7)：12-14.

［3］ 趙曉雄.中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的若干思考［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2003(12)：7-9.

［4］ 林偉民.引導(dǎo)學(xué)生探究 培養(yǎng)思維能力——兼評《空間幾何體的表面積》［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2009(1)：36-37.

［5］ 夏炎.談?wù)動行дn堂的構(gòu)建——倪紅老師一節(jié)課的教學(xué)特色與學(xué)習(xí)體會［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2009(1)：32-33.