臧嗣鑫，李郝林

ZANG Si-xin, LI Hao-lin

（上海理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海 200093）

0 引言

隨著現(xiàn)代通訊業(yè)的迅速發(fā)展，大型拋物面天線已被廣泛應(yīng)用于通訊中，特別是軍事和航天事業(yè)中。工程中，天線反射面在制造和安裝時往往不能與原設(shè)計拋物面完全吻合，并且在各種外部因素如自重等作用下也會發(fā)生變形，導(dǎo)致天線表面精度大大降低。然而，天線電性能指標在很大程度上依賴于反射面表面精度，所以隨著天線工作環(huán)境越來越復(fù)雜，工作頻段愈來愈高，準確分析其反射面的表面精度就顯得非常重要。但是在眾多的科技文獻中，大部分都是關(guān)注于天線設(shè)計與其計算理論，但較少有人關(guān)注于拋物面天線檢測和輪廓度評價的研究[1,2]。

在實際中，拋物面天線的CAD模型是已知的，本文的重要工作就是在已知CAD模型的前提下，利用測得的數(shù)據(jù)準確評價拋物面天線的輪廓度。在對拋物面天線反射面進行測量時，由于零件本身形狀較大等因素的影響，使得測量坐標系與設(shè)計坐標系之間會產(chǎn)生一定的偏差，這種偏差將會對自由曲面的輪廓度的評價產(chǎn)生不利的影響，因此需要設(shè)計一種測量和數(shù)據(jù)處理方法來適應(yīng)實際生產(chǎn)中對自由曲面的高精度測量要求。面輪廓度誤差評定通常按照最小區(qū)域原則進行，但由于最小二乘法具有計算簡單、易于實現(xiàn)的優(yōu)點，而且精度也能滿足要求，所以本文提出一種基于最小二乘法[3]和遺傳算法的大型拋物面天線輪廓度誤差評定方法。

1 算法涉及的基本概念及預(yù)處理

1.1 理論輪廓與實際輪廓

在面輪廓度評定中有兩類理論輪廓的表達式，即以標準曲面方程表達或給出理論輪廓的有限個節(jié)點坐標值。本文研究的理論輪廓是以標準曲面方程給出的。被測輪廓是用三坐標測得的測頭中心軌跡的坐標值Ei(xi, yi, zi),i=1,2,…,N表示，測頭與被測輪廓接觸點的坐標值為Qi(xi, yi, zi),i=1,2,…,N，令測頭半徑為R，那如何由測得的Qi(xi, yi, zi)評價輪廓度是本文的重要問題，具體的解決辦法將在2.4小節(jié)得到體現(xiàn)[4]。

1.2 測點與測量方法的選取

對曲面面輪廓度誤差評價最關(guān)鍵的就是獲取點位信息的正確性、準確性。同時在采用三坐標測量機（CCM）觸發(fā)式測頭進行測量時，一般按照接觸測量的原則，這樣易于進行測頭半徑補償，而且能有效的防治測量中干涉現(xiàn)象的產(chǎn)生。在測量中，將工件穩(wěn)固的放在工作臺上，目視使其對稱軸平行于機器的Z軸（一般可達3°左右），沿著Z軸的方向依次在垂直于Z軸的平面與拋物面的截線上測數(shù)據(jù)，截面面積越大，測量時測的數(shù)據(jù)點數(shù)要求越多。

1.3 被測輪廓節(jié)點與理論輪廓之間的距離

從輪廓度定義知，用理論輪廓到被測輪廓點的距離來評價面輪廓度誤差。在試驗中，已知實際被測點（即測得的數(shù)據(jù)）和理論輪廓的標準方程，通過計算，就可以得到被測點到理論輪廓的法向距離。

2 輪廓度誤差評價的具體方法

大型拋物面天線反射面輪廓度誤差的評價的核心是移動、旋轉(zhuǎn)測量點群使其與理論輪廓有很好的吻合。本文采用最小二乘法構(gòu)造目標函數(shù)來評價旋轉(zhuǎn)后被測曲面與理論曲面的吻合程度，找到最佳的移動和旋轉(zhuǎn)參數(shù)，進一步求得輪廓度誤差值。

2.1 數(shù)學(xué)模型建立及預(yù)處理

在拋物面天線安裝或檢測中，測量系統(tǒng)給出的離散點三維坐標一般是在測量坐標系下。由于測量點的三位坐標系是在測量坐標系下，因此列方程必須進行坐標變換，將被測曲面的點云移動到與理論曲面極大吻合的地方，需要解決兩個問題，一是平移矩陣，二是旋轉(zhuǎn)矩陣[5]。

則經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的坐標為：

因為在Z方向的旋轉(zhuǎn)不影響被測點云與理論輪廓的吻合程度，需要不計算Z方向的旋轉(zhuǎn)矩陣。所以本文的目的就是通過合適的手段來優(yōu)化Tx, Ty, Tz, Rx, Ry五個參數(shù)，選擇合適目標函數(shù)，達到最大的吻合程度。

2.2 輪廓度誤差評定方法

采用最小二乘法對離散點進行平移和旋轉(zhuǎn)達到一種最適合的吻合程度，因為本文中需要優(yōu)化的參數(shù)有5個，遺傳算法能有效的解決多變量優(yōu)化問題，但是需要一個合適的目標函數(shù)。

通常使用的目標函數(shù)有4個：以軸向偏差最小量為目標函數(shù)、以徑向偏差最小量為目標函數(shù)、以法向偏差最小量為目標函數(shù)和以焦距最小量為目標函數(shù)。本文中在測量時使用的就是觸發(fā)式測頭進行測量，測的是法向的數(shù)據(jù)，所以選擇以法向偏差測量最小量為目標函數(shù)，這樣利于數(shù)據(jù)處理和半徑補償[6]。

本文以理論輪廓的標準曲面方程建立坐標系，對測得點的坐標值向標準曲面方程坐標系進行適當?shù)钠D(zhuǎn)，利用數(shù)學(xué)知識求得偏轉(zhuǎn)后的點到理論曲面的方向距離εi，再以法向偏差最小為目標函數(shù)，利用遺傳算法優(yōu)化5個未知參數(shù)，達到最佳的吻合程度。本文中利用RMS均方根值δn最小為目標函數(shù)[2]：

利用遺傳算法，迭代結(jié)束后得到的RMS均方根值δn就作為評價拋物面曲面輪廓度的值。

2.3 利用遺傳算法處理時的簡化

利用遺傳算法優(yōu)化Tx, Ty, Tz, Rx, Ry5個參數(shù)，由于參數(shù)較多，常常會導(dǎo)致不能收斂或者收斂速度很慢，所以需要選擇合適方法來減少優(yōu)化參數(shù)的數(shù)量。

在測量時，選取Z軸較高的位置，選取兩個間隔較大的交線（Z為某一數(shù)值時的XY平面與拋物面的交線），在測量這個交線的數(shù)據(jù)時，需要均勻的測量足夠多的點，保證測量出來的坐標值能精確的反應(yīng)這個交截面的型心。通過計算出來的兩個型心的連線計算出與標準坐標系的夾角作為，這樣就可以簡少優(yōu)化的參數(shù)。

2.4 測頭半徑補償

從2.2小節(jié)中的內(nèi)容可以知道，本文以RMS均方根值δn最小為目標函數(shù)，且就以RMS均方根值δn作為評價拋物面曲面輪廓度的具體數(shù)值。分析圖1可以知道，測頭的圓心與被測點的連線就是被測點的表面法矢，他們之間的距離就是一個測頭半徑。實際試驗采集到的數(shù)據(jù)是測頭中心的坐標，經(jīng)過2.3節(jié)獲得的偏轉(zhuǎn)參數(shù)偏轉(zhuǎn)之后，就能消除被測輪廓的Z軸與實際輪廓的Z軸不平行，只需要通過遺傳算法優(yōu)化得到X、Y、Z方向的平移參數(shù)，就可以使測頭中心軌跡輪廓、被測點輪廓和實際輪廓保持兩兩間距相等的關(guān)系[7]。

在計算目標函數(shù)時，本文采用的是計算法向距離。由于已經(jīng)消除X、Y方向偏轉(zhuǎn)參數(shù)的影響，在計算目標函數(shù)時，假設(shè)偏轉(zhuǎn)和偏移的點在拋物面曲面內(nèi)部的為正，外部的為負值，然后在這個數(shù)值的基礎(chǔ)上減去一個測頭半徑值，以這個數(shù)值來計算均方根值進而優(yōu)化平移參數(shù)和評價拋物面輪廓度。這樣就可以有效的消除測頭半徑的影響，達到測頭半徑補償?shù)男Ч?/p>

圖1 測頭半徑補償

3 拋物面曲面輪廓評價仿真及結(jié)果

為了驗證算法的正確性，仿真時以x2+y2=z為標準拋物面方程，任取曲面上的20個點，先進行平移和旋轉(zhuǎn)，再在這些點的X,Y,Z某一個坐標值上隨機加一個微小變動值，從而得到另外一組數(shù)據(jù)，通過本文提出的方法來驗證計算的結(jié)果是否能達到很好的精度。雖然本例中使用的是很小的一個拋物面，但是只要能在小拋物面上達到良好的效果，可以驗證方法的正確性，就能說明此算法能很好的用到大型拋物面曲面輪廓度的評價上。

試驗中選取20個點的坐標作為分析對象，測頭的半徑補償暫不作考慮，測得的數(shù)據(jù)如表1所示。

通過matlab編寫運算程序，計算得到的輪廓度誤差結(jié)果是0.03，精度已經(jīng)基本符合要求，能很好的實現(xiàn)評價輪廓度誤差的目的。

4 結(jié)論

本文采用遺傳算法和最小二乘法相結(jié)合的方法對大型天線拋物面反射面的輪廓度誤差進行評價，以測點到標準曲面的均方根值作為具體評價標準，可以消除測量基準與標準拋物面曲面基準不一致導(dǎo)致的誤差，得到很好的評價結(jié)果。由于優(yōu)化的參數(shù)較多，計算時間較長而且精度也有可能受到影響，本文中采用一定的處理預(yù)先求到兩個參數(shù)，減少優(yōu)化的變量數(shù)目，大大的節(jié)約計算時間，也能提高計算結(jié)果的精度。最后仿真的結(jié)果驗證了算法的準確性，提高了可行性。

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