☉廣西南寧市第二十六中 曹 耿

分類解析二項(xiàng)式定理的新穎題型

☉廣西南寧市第二十六中 曹 耿

二項(xiàng)式定理的題型較多，在各省市的高考試題中常常以選擇題和填空題的方式出現(xiàn)，少數(shù)省市將二項(xiàng)式定理切入到其他章節(jié)知識中進(jìn)行綜合考查.本文重點(diǎn)探究二項(xiàng)式定理的各種新穎題型的解題策略.

一、“賦值法”類

1.一個未知數(shù)二項(xiàng)類的賦值

在題目中只有一個未知數(shù)，這類題目只需對表達(dá)式中唯一的未知數(shù)反復(fù)賦值，問題即可獲解.

所以2n+1-3-n=29-n，解得n=4.

2.多個未知數(shù)二項(xiàng)類的賦值

在題目中只有多個未知數(shù)，且其表達(dá)式只含有二項(xiàng)的二項(xiàng)式，這類題目只需對表達(dá)式中的多個未知數(shù)進(jìn)行賦值，問題即可獲解.

解 ：注意到（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0-a1+a2-a3+a4），則這個問題就成了展開式的系數(shù)和的問題，可采用賦值法解決.

故選A.

3.一個未知數(shù)多項(xiàng)類的賦值

在題目中只有一個未知數(shù)，但其表達(dá)式卻是多項(xiàng)式，這類題目只需對表達(dá)式中唯一的未知數(shù)反復(fù)賦值，問題即可獲解.

4.非二項(xiàng)式類的賦值

題目給出的文本形式不具有二項(xiàng)式的直觀特征，其所含未知數(shù)可以是一個或者多個，這類題目只需對表達(dá)式中的未知數(shù)進(jìn)行賦值，問題即可獲解.

故選D.

5.變式應(yīng)用二項(xiàng)式類的賦值

題目文本的直觀特征與二項(xiàng)式類型不相關(guān)，但通過變式后就可以利用二項(xiàng)式的性質(zhì)進(jìn)行賦值的題目.

例5 已知M=1-x+x2-x3+…-x19+x20，y=x+1，將M表示為關(guān)于y的多項(xiàng)式，即M=a0+a1y+a2y2+a3y3+…+a19y19+a20y20，則a0等于______.

二、“逆用”類

1.直接構(gòu)造逆用類

直接構(gòu)造并逆用二項(xiàng)式定理類，就是題目的文本模式不是直接給出的二項(xiàng)式定理的形式，但通過構(gòu)造后就可以直接逆用二項(xiàng)式定理的題型.

2.間接構(gòu)造逆用類

三、“返古”類

1.一個未知數(shù)的多項(xiàng)返古類

題目文本是一個多項(xiàng)式，其中只包含一個未知數(shù)，要展開這個多項(xiàng)式非常麻煩，但我們可以借助二項(xiàng)式定理的形成過程，即返回排列組合的知識去解答問題.

通過觀察，要得到含x的項(xiàng)，則在5個因子中只有一個因子里取3x，余下的4因子必須全部取常數(shù)2.

2.多個未知數(shù)的多項(xiàng)返古類

題目文本是一個多項(xiàng)式，但其中只包含了多個未知數(shù)，要展開這個多項(xiàng)式仍然具有較大的難度，所以我們也可以借助二項(xiàng)式定理的形成過程，即返回排列組合的知識去解答問題.

例9 求（x+3y-z）8展開式中x2y3z3項(xiàng)的系數(shù).

通過觀察，要得到含x2y3z3項(xiàng)，則在8個因子中要取2個因子中的x，余下的3因子中的3y，剩下的3個因子全部取-z.

3.混合式返古類

題目文本不是以未知數(shù)的多少來進(jìn)行呈現(xiàn)，而是一個多因子乘積的混合形式，我們只有返回到分析二項(xiàng)式定理的形成過程，才可以輕松獲解.

四、綜合應(yīng)用類

與函數(shù)不等式的綜合

在函數(shù)與不等式中嵌入二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，這種題綜合性強(qiáng)，難度較大，一些省市也在不同年份的高考命題中，嘗試將這種綜合性問題展示給考生.2