☉江蘇省泰州市民興實(shí)驗(yàn)中學(xué) 季錦成

高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型問題應(yīng)對策略

☉江蘇省泰州市民興實(shí)驗(yàn)中學(xué) 季錦成

所謂創(chuàng)新型問題，就是在常規(guī)題的基礎(chǔ)上，要么給出新的定義，要么將有關(guān)信息進(jìn)行遷移，甚至針對某一問題開展研究性學(xué)習(xí)，而產(chǎn)生的一些“一反常態(tài)”的新穎問題.其主要特征有：結(jié)構(gòu)形式新、問題情景新、表達(dá)形式新、思想方法新等.以下就談?wù)勛约旱膶?shí)踐與思考.

一、創(chuàng)新型數(shù)學(xué)問題常見題型及解題策略

1.新概念、信息遷移型問題

新概念題型多取材于高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科知識領(lǐng)域，采用定義的形式設(shè)計(jì)閱讀理解型試題.此類試題主要考查同學(xué)們的自學(xué)能力、閱讀理解能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力.此類問題指的是題目中給出一些新信息，解答時，需先理解新信息，然后直接運(yùn)用新信息解決問題，或把問題遷移到已有的知識體系中，利用已掌握的知識和方法去解決問題.

此類題的解答策略為先化“新”為“舊”，再以“舊”攻“新”，即在充分理解新概念的基礎(chǔ)上，尋求它們和現(xiàn)有知識間的聯(lián)系，把新問題從一定程度上轉(zhuǎn)化為舊問題，從舊知識中尋求解答新問題的突破口.

例1 若對n個向量a1，a2，…，an，存在n個不全為0的實(shí)數(shù)λ1，λ2，…，λn，使得λ1a1+λ2a2+…+λnan=0，則稱向量a1，a2，…，an為線性相關(guān)，否則為線性無關(guān).依此規(guī)定，能說明a1=（1，0），a2=（1，-1），a3=（2，2）線性相關(guān)的實(shí)數(shù)λ1，λ2，…，λn依次可以取_______（這樣的值可能有無窮多個，只要寫出一組即可）.

解析：本題實(shí)質(zhì)上是規(guī)定了一種新的概念，可以通過觀察得出，也可通過解不定方程求出，而解方程組是解決此類題目的一般方法.由于平面向量的運(yùn)算是一種二元運(yùn)算，而本題含有三個變量，因此答案不唯一.

由題意可得λ（11，0）+λ（21，-1）+λ（32，2）=0，解得λ1+λ2+2λ3=0，且-λ+2λ=0.解得λ=-2λ且λ=λ（λ 為不為0的實(shí)數(shù)），所

2312322以取λ2=-2，即可得到題中的一組解：λ1=4，λ2=-2，λ3=-1.只要給λ2取一個非零的實(shí)數(shù)，就可以得到符合題意的一個解.因此，本題有無數(shù)個解.

2.“新運(yùn)算”型問題

新定義新運(yùn)算型題是由一些新定義的運(yùn)算符號而導(dǎo)出的一種運(yùn)算.新定義的運(yùn)算符號，如¤、⊕、△、☆、◎等.這些特殊的運(yùn)算符號，表示特定的意義，是人為設(shè)定的.解答此類題目的關(guān)鍵是理解新運(yùn)算的定義，嚴(yán)格按照新定義的式子代入數(shù)值（或數(shù)式），把定義的新運(yùn)算轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的運(yùn)算.

例2 對向量a=（x1，y1）和b=（x2，y2）定義一種新的運(yùn)算“☆”：a☆b=（x1y2，x2y1）仍是一個向量，則對任意的向量a、b、c和任意的實(shí)數(shù)λ、μ有下列命題：①a☆b=b☆a；②（a☆b）☆c=a☆（b☆c）；③（λa）☆（μb）=λμ（a☆b）；④（a+b）☆c=a☆c+b☆c.其中正確的命題序號為__________.

解析：本題以向量為背景，定義了一個向量運(yùn)算的新的運(yùn)算.求解本題的關(guān)鍵是要正確理解新運(yùn)算的實(shí)質(zhì)并且能夠靈活運(yùn)用.

3.探索型問題常見題型

探索性問題是一種具有開放性和發(fā)散性的問題，可分為條件開放型、結(jié)論開放型等.此類題目的條件或結(jié)論不完備，要求學(xué)生自己去探求，結(jié)合已有條件，進(jìn)行觀察、分析、比較和概括.它對同學(xué)們的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的能力提出了較高的要求，因此倍受高考命題者的青睞.

此類題目的特點(diǎn)是在給定的條件下探索結(jié)論或條件的多樣性，它強(qiáng)調(diào)的是探索思路的靈活性，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)是訓(xùn)練思維的體操”的價值.

二、創(chuàng)新型、探索型問題復(fù)習(xí)建議及預(yù)測

創(chuàng)新、探索型問題主要考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行創(chuàng)新和探索的能力，只是新在外表和形式，其實(shí)是外強(qiáng)中干，考查的還是舊知識.鑒于此，在復(fù)習(xí)時，要強(qiáng)化對概念的理解與運(yùn)用、強(qiáng)化公式的變形與活用、強(qiáng)化對定理?xiàng)l件的把握、強(qiáng)化求異思維與創(chuàng)新思維.

要注意對創(chuàng)新能力、探索能力的培養(yǎng)，當(dāng)面對某個知識點(diǎn)或問題時，要經(jīng)常有意識地思考：這個知識點(diǎn)較易和哪些知識點(diǎn)交匯、這個知識點(diǎn)可以怎樣創(chuàng)新考查、這個問題有沒有新穎的呈現(xiàn)方式等.以此為基礎(chǔ)對常規(guī)創(chuàng)新、探索型題要注意總結(jié)，形成對它們的數(shù)學(xué)知覺.

總之，創(chuàng)新題本身并不一定難，而是難在題目的新穎上.“高等數(shù)學(xué)初等化”是命制創(chuàng)新題的常用命題思路.在考前，要求學(xué)生用兩三節(jié)課集中瀏覽近幾年的創(chuàng)新題，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡湫吞骄浚鞒鐾ㄐ院屯ǚ?，則再次遇到此類題時就不再發(fā)怵，考試時就會有成效.