☉湖北省當(dāng)陽市河溶高級(jí)中學(xué) 劉 勇

解析幾何中對(duì)稱問題的認(rèn)識(shí)與探索

☉湖北省當(dāng)陽市河溶高級(jí)中學(xué) 劉 勇

對(duì)稱問題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是平時(shí)學(xué)習(xí)的難點(diǎn).它的運(yùn)用非常廣泛，不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)上，有時(shí)還會(huì)滲透到物理應(yīng)用中去.對(duì)稱問題的題型主要體現(xiàn)在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線關(guān)于直線對(duì)稱，曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，曲線關(guān)于直線對(duì)稱幾個(gè)方面.下面我們舉例說明.

一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱是大家比較常見的對(duì)稱問題，也是最簡單的對(duì)稱問題.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可以通過坐標(biāo)系得出，關(guān)于一般點(diǎn)對(duì)稱我們可采用中點(diǎn)公式求出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).

例1 設(shè)點(diǎn)M（2，4），求點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P（-1，2）對(duì)稱的點(diǎn)N的坐標(biāo).

分析：P點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn)，要求出N點(diǎn)坐標(biāo)必須利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.若M（x1，x2），P（x0，y0），則N（2x0-x1，2y0-y1）.

解：點(diǎn)M（2，4），點(diǎn)P（-1，2），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N（-4，0）.

二、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱通常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.在直線上取出兩個(gè)特殊點(diǎn)，然后求出兩對(duì)稱點(diǎn)可確定直線方程.在解題過程中我們發(fā)現(xiàn)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線和原直線是平行的，這樣我們解決此類問題還可設(shè)平行直線系，再將一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出.

例2 求直線2x+5y+6=0關(guān)于點(diǎn)（2，3）對(duì)稱的直線方程.

分析：可設(shè)直線系方程，再代入一個(gè)特殊點(diǎn)，就可以確定直線方程了.

解：設(shè)對(duì)稱直線方程為：2x+5y+c=0.在直線上取任意一點(diǎn)（-3，0），則（-3，0）關(guān)于點(diǎn)（2，3）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，6）.將點(diǎn)（7，6）代入方程2x+5y+c=0，得c=-44.故所求直線方程為：2x+5y-44=0.

三、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

在坐標(biāo)系中我們?nèi)菀子^察出點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于特殊直線y=x的對(duì)稱點(diǎn).但如果面對(duì)一般直線的對(duì)稱問題時(shí)，如假設(shè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)是A（x0，y0），已知直線方程（非坐標(biāo)軸直線）是y=kx+b，求點(diǎn)A關(guān)于已知直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo).解決此類問題就要抓住兩點(diǎn)：①兩點(diǎn)所在直線與已知直線垂直，②兩點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上.只有抓住以上兩點(diǎn)并且能夠熟練運(yùn)用才能解決此類題目.直線y=kx+b必垂直平分線段AB，線段AB的中點(diǎn)在直線y=kx+b上，再根據(jù)兩直線垂直的關(guān)系：斜率的乘積等于-1，即可求出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).

例3 求點(diǎn)P（-1，2）關(guān)于直線l：2x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo).

分析：本題關(guān)鍵是抓住“垂直”、“中點(diǎn)”這兩點(diǎn).

三、直線關(guān)于直線對(duì)稱

直線關(guān)于直線的對(duì)稱是以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱為基礎(chǔ)的，其求解方法和點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱相同.但是直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題中，兩直線的位置關(guān)系有兩種不同的情況：兩直線平行，兩直線相交.當(dāng)兩直線平行時(shí)，通常設(shè)平行直線系方程，然后通過兩組平行線間的距離相等求出直線方程.當(dāng)兩直線相交時(shí)，解決此類問題的方法很多，主要有：特殊值法，交點(diǎn)法，動(dòng)點(diǎn)代入法等.為了方便，我們通常采用取交點(diǎn)的方法.下面我們以相交直線為例.

例4 求直線m：2x+y-4=0關(guān)于直線l：3x+4y-1=0的對(duì)稱直線n的方程.

分析：先求出直線2x+y-4=0和直線3x+4y-1=0的交點(diǎn)，再從直線2x+y-4=0上取一個(gè)特殊點(diǎn)，求出它關(guān)于直線l：3x+4y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)即可.

化簡可得2x+11y+16=0.

四、曲線關(guān)于點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱

對(duì)于曲線關(guān)于直線對(duì)稱，我們通常采用的方法是在曲線上取一個(gè)任意點(diǎn)，用這點(diǎn)來表示直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在曲線上，我們可以求出對(duì)稱曲線的方程.曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，我們也可以采用同樣的方法.這里不加以舉例.

例5 求曲線x2-y2=1關(guān)于直線x-y+2=0的對(duì)稱曲線.

分析：在曲線x2-y2=1上取任意一點(diǎn)P（x0，y0），把點(diǎn)P關(guān)于x-y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)Q用點(diǎn)P表示，再代入曲線方程即可.

解：設(shè)曲線x2-y2=1上任意一點(diǎn)P（x0，y0），P點(diǎn)關(guān)于x-y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)為Q（x，y）.

總之，對(duì)稱問題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，它涉及的知識(shí)領(lǐng)域廣，題型多.我們解決此類問題，首先是要把握對(duì)稱問題的實(shí)質(zhì)，分清題型，選準(zhǔn)方法，這樣才能達(dá)到事半功倍的效果.