☉江蘇高郵市龍虬初中 王麥香

例析“三線”問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想

☉江蘇高郵市龍虬初中 王麥香

“三線”（線段、射線、直線）是最基本的幾何圖形，是學(xué)好幾何知識(shí)的重要基礎(chǔ)，它們的應(yīng)用十分廣泛，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)也是一個(gè)難點(diǎn).因此同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，不僅要理解概念，靈活運(yùn)用，還應(yīng)當(dāng)體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

一、數(shù)形結(jié)合思想

例1 在數(shù)軸上的點(diǎn)A、B位置如圖1所示，則線段AB的長(zhǎng)度為（ ）.

圖1

A.-3 B.5 C.6 D.7

解：線段AB的長(zhǎng)度就是點(diǎn)A與點(diǎn)B分別到原點(diǎn)的距離之和，即2的絕對(duì)值與-5的絕對(duì)值之和，故答案選D.

評(píng)注：這道例題既考查了線段的和、差關(guān)系，又反映數(shù)軸與絕對(duì)值的幾何意義，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

二、分類(lèi)討論思想

例2 已知線段AB=8cm，在直線AB上有一點(diǎn)C，且BC=4cm，M是線段AC的中點(diǎn)，求線段AM的長(zhǎng).

評(píng)注：分類(lèi)討論思想方法是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，漏掉第二解是本題最容易出錯(cuò)的地方，要全面考慮C點(diǎn)是在線段AB上，還是在AB的延長(zhǎng)線上，對(duì)所出現(xiàn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論.同時(shí)要認(rèn)識(shí)到本題最根本的錯(cuò)因是未分清“線段AB”和“直線AB”兩個(gè)概念，因此，同學(xué)們今后要在基本概念的準(zhǔn)確性上下功夫.

三、轉(zhuǎn)化思想

例3 如圖4，是一個(gè)用來(lái)盛爆米花的圓錐形紙杯，在A處有一塊爆米花殘?jiān)恢晃浵亸谋诘狞c(diǎn)E處沿圓錐表面爬行到A點(diǎn).請(qǐng)你結(jié)合圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，設(shè)計(jì)一條最短路線.

解：將圓錐體的側(cè)面的展開(kāi)如圖5所示，點(diǎn)A是弧線的中點(diǎn)，連接EA，那么線段EA就是螞蟻爬行的最短路線.

評(píng)注：在立體圖形中研究?jī)牲c(diǎn)之間的最短路徑時(shí)，通常把立體圖形的表面展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面圖形中的兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題.

四、歸納思想

例4如圖6所示.（1）當(dāng)直線上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，數(shù)一數(shù)共有幾條不同的線段.（2）當(dāng)直線上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，想一想共有幾條不同的線段.

解：（1）圖中有6條線段，按照一定順序依次數(shù)，分別是線段AC、線段AD、線段AB、線段CD、線段CB、線段DB.

圖6

評(píng)注：本題要按照一定的順序進(jìn)行計(jì)數(shù)，要求做到不能重復(fù)和漏數(shù)，找出計(jì)數(shù)的規(guī)律，歸納出計(jì)數(shù)公式，這個(gè)公式同樣適用于數(shù)角、數(shù)交點(diǎn)等等，同學(xué)們不妨試試.

五、方程思想

例5 如圖7，B、C兩點(diǎn)把線段AD分成2∶3∶4三部分，M是線段AD的中點(diǎn)，CD=8，求MC的長(zhǎng).

圖7

評(píng)注：本題在求解線段的長(zhǎng)度時(shí)，通過(guò)設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)已知與未知之間的等量關(guān)系，用方程解決問(wèn)題，體現(xiàn)了方程的思想.使實(shí)際問(wèn)題方程化，這一思想方法是初中數(shù)學(xué)常用方法，同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中將漸漸體會(huì)到.