劉 陽，程宗毛

(杭州電子科技大學 理學院，浙江 杭州 310018)

在傳統(tǒng)能源緊缺的今天，新能源和可再生能源的利用越來越受各國政府的重視.太陽能以其取之不盡、用之不竭、綠色環(huán)保、自由公平的特點成為人們矚目的焦點.太陽是一個巨大、久遠、無盡的能量源.盡管太陽輻射到地球大氣層的能量僅為其總輻射能量(約為3.75×1026W)的二十二億分之一，但已高達17 300 0 TW，也就是說太陽每秒鐘照射到地球上的能量就相當于燃燒500萬噸煤所釋放的能量[1-2].太陽能的利用已成為21世紀重大的研究課題之一.在中國，太陽能資源是比較豐富的，從其地域分布來看，西部地區(qū)的太陽能年輻射總量均在5 400 MJ/m2以上，尤其是西藏地區(qū)，達到6 700 MJ/m2以上[3].開發(fā)好太陽能，對建設(shè)和諧社會有著重要的現(xiàn)實意義.本文主要從太陽能的追蹤和成本優(yōu)化兩個方面進行描述.

1 太陽能跟蹤問題

現(xiàn)有一平面 α.平面 α中心有一垂桿EO，平面 α內(nèi)存在相互垂直的兩根軸AB，CD(其中AB軸位于南北地軸與重力垂線組成的平面內(nèi))，平面 α均可繞AB、CD兩軸自由轉(zhuǎn)動.假定平面 α初始狀態(tài)為水平位置，繞 AB 軸轉(zhuǎn)動角度 θ的范圍為(-150°，150°)，繞 CD 軸轉(zhuǎn)動角度 φ 的范圍為(-150°，150°).假設(shè)保持中桿頂點 E在平面 α的影子與 α平面幾何中心 O始終重合.

這樣，為了對太陽能跟蹤進行比較好的分析，需要解決如下兩個問題:

(1)計算出一年內(nèi)任意一天日出時間和日落時間.

2 太陽能跟蹤模型

為了使問題簡化，現(xiàn)做以下假設(shè):

(1)同一天內(nèi)只考慮地球的自轉(zhuǎn)影響，忽略公轉(zhuǎn);不同天內(nèi)考慮公轉(zhuǎn);

(2)地球為嚴格的球體;

(3)地球公轉(zhuǎn)軌道為嚴格的圓形軌跡，太陽為圓心;

(4)a-黃赤交角為23°26'，b-以杭州為例的地理緯度為北緯30°16'，c-任意時刻光線與水平面的交角;

(5)重力線指向圓心.

2.1 太陽能電池板的跟蹤問題

首先，建立模型求解任意一天日出時間和日落時間.由于當陽光垂直入射面入射時，表面吸收太陽能最多.上述裝置的要求正是基于這一原理[4-7].同時由于黃赤交角(23°26')的存在，地球公轉(zhuǎn)產(chǎn)生四季變化建立在黃赤交角存在的基礎(chǔ)上，地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生晝夜交替，二者在同時進行著.地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)導(dǎo)致地球上同一地點不同時刻以及每天的同一時刻，太陽入射角均不同，這樣，之前所說的任意一天日出時間和日落時間也就不同.

圖2 黃赤交角示意圖

黃赤交角的存在(見圖2)，使太陽直射點到達的最北界線是23°26'N，即北回歸線;最南界線到23°26'S，即南回歸線，也就是太陽直射點在23°26'S～23°26'N范圍內(nèi)做周年往返運動.因此地表獲得熱量隨時間和空間發(fā)生變化.

本文選取杭州進行分析.杭州(北緯30°16'，東經(jīng)120°12')在北回歸線以北，不會產(chǎn)生陽光直射地表現(xiàn)象，但可以通過調(diào)節(jié)傾斜面的傾角使之始終與光線垂直[8].

這樣就得到了計算任意地方在任意一天晝夜長短、日出日落時間的通式:

假設(shè)某天太陽直射點的緯度為 δ1度(δ1在+23.5到-23.5之間)，觀察者所處的緯度為 δ2度(δ2在+90到-90之間)，那么這天 δ2度地點的夜長為:

(說明:如果人在北半球，太陽在南半球，則 δ1應(yīng)該取負值，那么結(jié)果也是負值，該值表示的是北半球那人所看到的晝長.)

所以，當?shù)貢r間的日出時間為:

當?shù)貢r間的日落時間為:

因為杭州位于東8區(qū)，與北京同一個時區(qū)，所以無需進行時間轉(zhuǎn)換.

根據(jù)上述公式，例如，要計算杭州在夏至這一天的日出時間，已知杭州在北緯30°16'，即 δ2=30.27，夏至這天太陽直射北緯23.5°，即 δ1=23.5，把 δ1和 δ2的值代入(1)式，可計算出這天杭州的日出時間為5.02時，即5:01:12.查全國各地日出時間表得，杭州在夏至(6月22日)這一天的日出時間為4:58，誤差約為3 min，誤差較少.

接下來，建立模型求解一年內(nèi)任意一天太陽直射點的緯度.設(shè)任意一天的日期為月日，當日期在夏至(6月22日)和冬至(12月22日)之間，即6月22日≤X，Y≤12月22日時:

當日期在夏至(6月22日)之前，即時:

當日期在冬至(12月22日)之后，即時:

至此，杭州在一年內(nèi)任意一天的最早和日落時間的計算模型已經(jīng)建立.計算過程如下:假設(shè)任意一天為 X月Y日，先由(4)-(6)式計算該日太陽直射點緯度 δ1，然后將 δ1的值和 δ2的值(此處 δ2=30.27)代入(2)-(3)式即可求出 t1、t2.

2.2 太陽能最大獲取模型

為盡可能多的在一年內(nèi)獲取太陽能，需要建立模型分析，通過求出機構(gòu)的數(shù)目 n，選定合理的排列方式，從而給出一年內(nèi)太陽總能量與總成本的關(guān)系.顯然，要想最大限度的獲取太陽能，只有將整個區(qū)域都布滿 α平面機構(gòu)，即當陽光直射該區(qū)域時，α平面機構(gòu)平鋪于該區(qū)域的各個角落且布滿.但是這樣布置，在其余大部分時刻(非直射時)將造成平面的相互遮擋，造成資源的浪費和總成本的增加.

設(shè)每個機構(gòu)支撐面的邊長為 b，則0≤b≤l，借助取下整函數(shù)來構(gòu)造總成本關(guān)于每個機構(gòu)支撐面邊長的函數(shù):

于是，得到了在有限區(qū)域 L×L內(nèi)第 i天內(nèi)獲取的太陽總能量函數(shù)為:

所以，區(qū)域 L×L內(nèi)平面 α的排列方式為均勻平鋪，每個機構(gòu)的面積為 l×l.因此，求得機構(gòu)總數(shù)目n=k2.這樣，最小總成本就可以按照如下公式給出:

因為區(qū)域 L×L內(nèi)平面 α的排列方式為均勻平鋪，按這樣的排列，由于遮擋因素的影響，平面上的不同位置雖然起始照射時間和最終照射時間不同，但是它們總的照射時間是大體相同的，約為當日日落時間與日出時間差值的一半(考慮 k＞＞1的情況，這樣可忽略區(qū)域邊緣兩列特殊機構(gòu)的情況).

上述論斷可以通過演示加以粗略證明，這里不再詳述.所以，第 i天內(nèi)該區(qū)域 L×L內(nèi)接受的總太陽能約為:

結(jié)合公式(7)和(8)，可以推出總成本 Q與第 i天內(nèi)獲取的總能量EiAll滿足下列公式:

需要求的是一年內(nèi)獲取的總能量，所以，對 i求和即可，得到以下公式:

編寫Matlab程序求解，得到了一年內(nèi)太陽總能量與總成本關(guān)系的圖像，如圖 3所示:

圖3 太陽總能量與總成本關(guān)系

3 展望

本文提出一種自動跟蹤太陽能裝置的成本優(yōu)化，得到在成本一定的情況下一年內(nèi)太陽總能量與總成本的關(guān)系.但是，并沒有分析研究獲取的總能量與成本的關(guān)系，這些是可以進一步分析討論的.

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