魏 強

（屏山縣中學(xué)校 四川 宜賓 645350）

文獻［1］中就部分教師和學(xué)生對帶電粒子在復(fù)合場中運動這一類問題存在的錯誤理解和認識舉了一例，并做了詳盡的分析.題目如下.

題目：一電荷量為q的小球固定在與水平面平行的足夠大的勻強磁場中，如圖1所示.若勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B，小球的質(zhì)量為m，自由釋放后，試分析小球的運動情況并求出其下落的高度.

圖1

錯解：小球自由釋放，在重力作用下開始運動.在運動過程中，小球受到重力和洛倫茲力作用.在這兩個力的作用下，重力改變物體的速度大小，洛倫茲力不斷改變速度的方向.當(dāng)小球運動到某一位置的時候，重力和洛倫茲力剛好等大反向時，物體開始做勻速直線運動.則有

又因為小球在運動過程中，洛倫茲力不做功，由機械能守恒定律有

解得

文中作者就定性地對小球運動到最低點的受力情況進行了分析，并指出了小球在最低點處不可能做勻速直線運動.但就此得出此題所給條件不足，不能求出小球在最低點運動的速度和下落高度.筆者不敢茍同.

不妨從微分方程入手來研究這一問題，不但可以定量地得出小球的運動情況，還可以求出小球在最低點運動的速度和下落高度.

正解：以小球下落點為坐標原點建立xOy坐標系，如圖2所示.任選小球下落過程中的一點P.根據(jù)牛頓第二定律建立小球的運動微分方程

圖2

式（1）對時間t積分，得

其中C為常量，根據(jù)初始條件，t＝0時

化簡為

將（3）式代入（2）式得

該對應(yīng)齊次方程的通解為

非齊次方程的特解設(shè)為

代入（4）式得

所以

該非齊次方程的通解為

將其對時間求導(dǎo)得

根據(jù)初始條件，t＝0時，x＝0，x·＝0得

式（2）對時間t積分得

由初始條件，t＝0時，x·＝0，y＝0得

代入（5）式得

將（6）式代入（1）式得

該齊次方程通解為

非齊次方程的特解設(shè)為

代入（7）式得

該非齊次方程的通解為

上式求導(dǎo)得

根據(jù)初始條件，t＝0時，y·＝0，y＝0得

最后得到了帶電小球的運動方程

從帶電小球的運動方程中，可以看出小球的運動具有周期性的，由數(shù)學(xué)方法求周期.可從運動方程中得到

將小球的運動方程（8）、（9）式變形可得

討論：（1）由小球在y軸上的運動方程為

可知，只有當(dāng)cosqBt＝－1時，y取最大值，即為m

也?就是小球下落的最大高度.

由＝π得，小球的運動時間為

此時的速度也可用求導(dǎo)的方法求出

速度方向沿x軸方向.

此時的洛倫茲力為f洛＝qv合B＝2mg，方向豎直向上.可見，小球的合力不為零，不可能做勻速直線運動.也可據(jù)此求出小球下落的高度

圖3

從（8）式與（9）式中消去t可得到軌道方程，根據(jù)（8）式與（9）式作t，x，y的數(shù)值表后也可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系，從而可得到小球的運動軌道如圖3所示.

1 胡均宇.關(guān)于帶電粒子在復(fù)合場中運動的題目誤解分析.物理通報，2010（3）：43～44