于世新 越彩霞 劉國榮

（遼源市第五中學(xué) 吉林 遼源 136200）

1 問題的提出 分析和結(jié)論

文獻(xiàn)［1］是國內(nèi)高校物理專業(yè)主流教材之一，其中關(guān)于剛體的平衡有如下的敘述：

處于靜止的剛體既沒有平動，也沒有轉(zhuǎn)動.因此，剛體平衡的充分必要條件是它所受的合外力為零，對任意一個參考點(diǎn)的合外力矩為零，即

矢量式（1）和（2）各相當(dāng)于3個分量式，后者包含了“必須對任意方向的轉(zhuǎn)軸都成立”的意思.這樣的力系稱為零力系，零力系的條件式（1）和（2）稱為剛體的平衡方程.

文獻(xiàn)［2，3］亦有類似的說法.

文獻(xiàn)［4］關(guān)于剛體的平衡有如下的敘述：

作用在剛體上的力系，總可以化為經(jīng)過質(zhì)心的一個單力及一力偶，而由剛體運(yùn)動微分方程，即質(zhì)心運(yùn)動定理

及對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動定理

知前者將決定剛體的質(zhì)心如何平動，后者決定剛體相對于質(zhì)心如何轉(zhuǎn)動.剛體平衡時，必須滿足下列平衡方程

即諸外力的矢量和為零和諸外力對任意一點(diǎn)力矩的矢量和亦為零.

從以上敘述中能看出，文獻(xiàn)［1～3］均認(rèn)為諸外力的矢量和（主矢）為零和諸外力對任意一點(diǎn)力矩的矢量和（主矩）為零是剛體平衡的充要條件，而文獻(xiàn)［4］中雖未明確指出，但從“剛體平衡時，必須滿足下列平衡方程”的用詞上，應(yīng)該理解為必要條件而非充要條件.

筆者認(rèn)為，文獻(xiàn)［1～3］對剛體平衡條件的敘述是錯誤的，其錯誤在于混淆了力系平衡的充要條件和剛體平衡的充要條件，而沒有注意到剛體平衡除了要求力系平衡，還要滿足一定的初始條件.一個明顯的例子就是，某一剛體不受力，當(dāng)然滿足力系平衡條件，但是可以繞靜止（或勻速運(yùn)動）的質(zhì)心軸做勻角速轉(zhuǎn)動，即不是處在平衡狀態(tài).關(guān)于這一點(diǎn)，早在1949年，文獻(xiàn)［5］中就有明確的論述：

作用在剛體上的空間力系的平衡條件，或者這些平衡條件的特殊情形，一般說來，不能作為物體在這些力系作用下的平衡條件.以后在剛體動力學(xué)中，我們指出，剛體在力系平衡的條件下是可以運(yùn)動的.

可以看出，力系平衡只是剛體平衡的必要條件.如果要使力系的平衡條件同時是剛體的平衡條件，那就必須假定，剛體在受到力系作用以前處于平衡狀態(tài)，即剛體平衡的充分必要條件是，在初始時刻剛體靜止，力系的主矢和對任意點(diǎn)的主矩在某時間段內(nèi)等于零.

2 對剛體平衡充要條件的證明

剛體的平衡包括靜止和做勻速運(yùn)動，對后一種情況，可選一相對于剛體靜止的慣性參考系，這時剛體仍可看作是靜止的.對剛體平衡充要條件的證明主要有以下3種方法.

2.1 矢量力學(xué)方法

必要條件［6］：剛體靜止，則其質(zhì)心加速度為零，剛體對任意點(diǎn)的角速度始終為零，角動量當(dāng)然不變.根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理，外力的矢量和（主矢）為零；根據(jù)對定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動定理，對任意點(diǎn)的主矩為零.故力系的主矢和對任意點(diǎn)的主矩均為零是剛體平衡的必要條件.

充分條件［6］：若原來靜止的剛體受外力的矢量和為零，則質(zhì)心加速度為零；又若外力對質(zhì)心的力矩和為零，根據(jù)對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動定理，對質(zhì)心的角動量不變，且仍為零，導(dǎo)致角速度不變，且仍為零，于是剛體繼續(xù)保持靜止.這是剛體平衡的充分條件.

充要條件：從以上看出，剛體平衡的必要條件是力系的主矢和對任意點(diǎn)的主矩均為零，而原來靜止的剛體平衡的充分條件是外力的矢量和（主矢）以及外力對質(zhì)心的力矩和為零.想把它敘述成充要條件，必須把必要條件和充分條件的表述統(tǒng)一起來.這不但容易做到，而且這樣做會導(dǎo)致對問題的理解更加深刻.因?yàn)槿魧τ谫|(zhì)心，MC＝0，則在F＝0的條件下，對于任意點(diǎn)，合力矩M都等于零.所以，F(xiàn)＝0和對任意點(diǎn)M＝0又是剛體平衡的充分條件.因?yàn)镕＝0和MC＝0是基本方程式，而對任意點(diǎn)的M＝0是由F＝0和MC＝0推導(dǎo)的，這也正是求解剛體平衡問題時最多只能列出6個獨(dú)立方程的原因.

需要補(bǔ)充的是，當(dāng)剛體做定軸轉(zhuǎn)動時，如果對軸的外力矩為零，則剛體做勻速轉(zhuǎn)動，這叫做轉(zhuǎn)動平衡.但轉(zhuǎn)動平衡并不是真正的平衡，因?yàn)槭紫人粷M足平衡的定義（剛體是一個質(zhì)點(diǎn)系，剛體平衡時其中每一個質(zhì)點(diǎn)也必須平衡，勻速轉(zhuǎn)動時除轉(zhuǎn)軸外，其他的質(zhì)點(diǎn)并不平衡）；其次，還可能不滿足F＝0的條件（很多工科教材正是據(jù)此討論定軸轉(zhuǎn)動時軸的動反力）.只有當(dāng)轉(zhuǎn)軸為慣量主軸時，才能滿足F＝0的條件，叫做動平衡，動平衡也不是真正的平衡.當(dāng)剛體做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，如果無外力矩，當(dāng)剛體繞慣量主軸轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)動是動平衡的，不存在驅(qū)使轉(zhuǎn)動軸改變方向的趨勢，角速度大小也不變.當(dāng)剛體并不是繞慣量主軸轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)動不是動平衡的，存在著驅(qū)使轉(zhuǎn)動軸改變方向的趨勢，并且因?yàn)闆]有軸承加以抵制，這趨勢實(shí)際上也就實(shí)現(xiàn)了，從而剛體的轉(zhuǎn)動軸是變的，這正是歐勒－潘索情況.因此，無外力矩剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動狀態(tài)也不是平衡狀態(tài).

以上證明是在剛體已靜止的初始條件下作出的，沒有從動力學(xué)普遍方程加以演繹，證明是略顯單薄的.

2.2 分析力學(xué)方法之一［5］

2.2.1 對虛位移原理的證明

文獻(xiàn)［5］給出了對虛位移原理的證明，不再贅述.文獻(xiàn)［7，8］亦有類似證法.

2.2.2 自由剛體平衡的充要條件

文獻(xiàn)［5］對此寫道：

現(xiàn)在討論一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系，就是剛體.在這里，拉格朗日平衡條件最好寫成

其中Fν是主動力，而δrν是剛體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的虛位移.由運(yùn)動學(xué)可知，自由剛體的任何位移可以分解成兩部分，一部分是等于剛體中某點(diǎn)（基點(diǎn)）位移的平動，另一部分是繞一條通過基點(diǎn)瞬時軸的轉(zhuǎn)動，就是說δrν＝δr0＋δφ×rν（7）

在式（7）中，δr0是平動矢，而δφ是剛體無限小轉(zhuǎn)角的矢量.把式（7）代入式（6），得到

因?yàn)棣膔0和δφ是和累加的指數(shù)無關(guān)的，而且在混合積中可以把乘子輪換，即

虛位移δr0和δφ是彼此無關(guān)的，因此，由式（8）可得

這就是在第五章中用初等方法導(dǎo)出的，自由剛體平衡的充要條件……

這種證法是先從質(zhì)點(diǎn)的平衡條件出發(fā)，證明理想雙面約束下的虛位移原理（即靜力學(xué)普遍方程或拉格朗日原理），再從理想雙面約束下的虛位移原理出發(fā)，對自由剛體平衡的充要條件加以證明.這種證法的優(yōu)點(diǎn)是比較簡潔，缺點(diǎn)是沒有從動力學(xué)普遍方程加以演繹，自然也不夠豐滿.

2.3 分析力學(xué)方法之二［9］

1 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程·力學(xué)（第二版）.北京：高等教育出版社，2004.189

2 李心宏，等.理論力學(xué)（第三版）.大連：大連理工大學(xué)出版社 ，2004.59

3 肖士珣.理論力學(xué)簡明教程.北京：人民教育出版社，1979.134～135

4 周衍柏.理論力學(xué)教程（第二版）.北京：高等教育出版社，1986.171

5 （蘇）A·A·柯斯莫節(jié)米揚(yáng)斯基著.鐘佐華，等譯.理論力學(xué)（上冊）.北京：高等教育出版社，1955.266，274～276，281～282

6 漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程·力學(xué)（第二版）.北京：高等教育出版社，2005.244

7 蕭龍翔，賈啟芬，鄧惠和，等.理論力學(xué).天津：天津大學(xué)出版社，1995.366～367

8 南京工學(xué)院，西安交通大學(xué).理論力學(xué)（下冊）.北京：人民教育出版社，1979.212～214

9 （俄）A·Π·馬爾契夫著.李俊峰譯.理論力學(xué)（第三版）.北京：高等教育出版社，2006.73～74，75～76，214～216，80