徐 勇

（湖北經(jīng)濟學院 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學系，湖北 武漢 430205）

一直以來高等數(shù)學中的定積分教學都是重點也是難點。重點在于從概念上它融合了微分以及平面幾何的理解；從計算上又繼承了一元函數(shù)不定積分的方法，是一個大綜合的知識點；難點在于計算過程中既要注重結(jié)合一元函數(shù)不定積分的計算方法，又要結(jié)合積分區(qū)間的理解，很容易由于對變量取值范圍的理解方式錯誤而計算出錯。我們通常比較注重如何讓學生掌握計算定積分的方法，但實際上，定積分的概念有極其重要的價值，它能讓我們理解很多幾何問題的結(jié)論是如何產(chǎn)生的。本文結(jié)合旋轉(zhuǎn)體的體積以及空間中平行截面已知的立體體積的計算問題談?wù)劧ǚe分定義的妙用。

首先我們簡單回顧一下定積分的定義。描述如下：設(shè)f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干個分點：a=x0＜x1＜……xn-1＜xn=b，把區(qū)間分成 n 個小區(qū)間：[x0，x1]，[x1，x2]，……[xn-1，xn]對應(yīng)可以得到各小區(qū)間的長度值，故依次為：△x1=x1-x0，△x2=x2-x1，……△xn=xn-xn-1，在每個小區(qū)間[xi-1，xi]上任取一點 ζi，作函數(shù)值 f（ζi）與小區(qū)間長度△xi的乘積 f（ζi）△xi作和式：Sn=f（ζi）△xi，記：λ=max（△x1，△x2，……△xn），如果不論對[a，b]采取怎樣的分法，也不論在[xi-1，xi]上點ζi采取怎樣的取法，只要當λ→0時，Sn總趨近于確定的極限I，我們就稱這個極限I是函數(shù) f（x）在區(qū)間[a，b]上的定積分，記為：（ζi）△xi。其中，f（x）稱為被積函數(shù)，[a，b]是積分區(qū)間。我們都知道，從幾何意義上看，它可以不那么嚴格地認為，這就是一個曲邊梯形的面積：即在平面中以曲線y=f（x）叟0為曲邊，與x=a，x=b，x軸三條直邊圍成的曲邊梯形的面積。當然被積函數(shù)若不是非負的，只需將 f（x）作為被積函數(shù)，則得到的曲邊梯形為的相反數(shù)。例如，我們看看這樣一個定積分，求簡單分析我們就能得到，它其實是一個以原點為圓心，半徑為1的上半圓的面積，顯然，這個面積值就是單位圓面積的一半，直接可由圓面積計算公式得到。這樣我們無需復雜的計算方法就得到了結(jié)果。當然這并不表示定積分都可以這樣來求得，事實上，很多定積分所對應(yīng)的曲邊梯形不是規(guī)則圖形，也就很難直接求得它的面積，這也正是為什么有專門針對定積分的計算方法的原因。定積分的定義除了能幫助我們計算一些簡單的積分外，還能做什么呢？下面我們來看看。

一、利用二重積分定義推導旋轉(zhuǎn)體體積計算公式

這里的旋轉(zhuǎn)體是指：函數(shù) y=f（x）與 x=a，x=b，x 軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體。此旋轉(zhuǎn)體的體積公式為怎樣理解此公式呢？譬如為什么有函數(shù)的平方運算，為什么需要乘上π？如果我們結(jié)合二重積分的定義去推導旋轉(zhuǎn)體的體積，上述問題自然迎刃而解。我們把區(qū)間 [a，b]任意地分成 n 個小的區(qū)間，記為：[x0，x1]，[x1，x2]，……[xn-1，xn]，各小區(qū)間長度仍記為△xi（i=1，2……n），這樣，我們將整個大的旋轉(zhuǎn)體分割成了n個小旋轉(zhuǎn)體，其體積不妨記為V△xi（i=1，2……n）。當n比較大時，我們可以認為這n個小旋轉(zhuǎn)體V△xi近似于n個小圓柱體。基于此，我們?nèi)栽诿總€小區(qū)間[xi-1，xi]上任取一點 ζi，則以為半徑，以△xi為高，可以得到第i個小的圓柱體的體積，即：π[f（ζi）]2△xi，以此體積值作為 V△xi的近似值，即：V△xi≈f（ζi）△xi，（i=1，……n），由于每個小旋轉(zhuǎn)體均可以被這樣近似，故我們可以得到（ζi）]2△xi，（i=1，……n）?？紤]到當每個近似的誤差在作了求和運算可能比較大，于是我們可以通過讓區(qū)間被分得更細降低誤差，只需記 λ=max（△x1，△x2，……△xn），當 λ→0 時，區(qū)間被無限細分，且每個小旋轉(zhuǎn)體被近似時產(chǎn)生的誤差也在無限接近于0。這樣我們最終得到整個大的旋轉(zhuǎn)體的體積公式：V=看到這個極限你想到了什么？ 對了，這不就是定積分定義式中將 f（ζi）替換成 π[f（ζi）]2嗎？ 考慮到定義中 f（ζi）是與被積函數(shù) f（x）對應(yīng)的，故旋轉(zhuǎn)體體積對應(yīng)的也是一個定積分，形如這就是旋轉(zhuǎn)體體積公式的由來，這也那么此時為何積分變成了以y為積分變量的形式呢？ 除此之外似乎和繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體差別并不大。這些區(qū)別于相似之處我們?nèi)匀豢梢杂枚ǚe分的定義來加以解釋。我們把區(qū)間 [c，d]任意地分成n個小的區(qū)間，記為：[y0，y1]，[y1，y2]，……[yn-1，yn]各小區(qū)間長度仍記為△yi（i=1，2……n），這樣，我們將整個大的旋轉(zhuǎn)體分割成了n個小旋轉(zhuǎn)體，其體積不妨記為 V△yi（i=1，2……n）。 當 n 比較大時，我們可以認為這n個小旋轉(zhuǎn)體V△yi近似于n個小圓柱體?；诖耍覀?nèi)栽诿總€小區(qū)間[yi-1，yi]上任取一點 ζi，則以就解釋了為什么公式中會出現(xiàn)平方運算和常數(shù)π了。這樣的理解方式在教學中可以更形象地讓學生記住公式，一想到圓柱體就自然不會忘了被積函數(shù)平方的運算。

上述旋轉(zhuǎn)體實際上是將旋轉(zhuǎn)軸定為x軸時對應(yīng)的計算結(jié)果，那么若旋轉(zhuǎn)軸為y軸是不是也能如此推導呢？下面我們繼續(xù)來探討。 此時旋轉(zhuǎn)體為函數(shù) x=f（y）與 y=c，y=d，y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體。此旋轉(zhuǎn)體的體積公式為為半徑，以△yi為高，可以得到第i個小的圓柱體的體積，即：π[f（ζi）]2△yi，以此體積值作為 V△yi的近似值，即：V△yi≈f（ζi）△yi，（i=1，……n），由于每個小旋轉(zhuǎn)體均可以被這樣近似，故我們可以得到：考慮到當每個近似的誤差在作了求和運算可能比較大，于是我們可以通過讓區(qū)間被分得更細降低誤差，只需記λ=max（△y1，△y2，……△yn），當λ→0時，區(qū)間被無限細分，且每個小旋轉(zhuǎn)體被近似時產(chǎn)生的誤差也在無限接近于0。這樣我們最終得到整個大的旋轉(zhuǎn)體的體積公式看到這個極限你想到了什么？對了，這不還是定積分定義式中將 f（ζi）替換成 π[f（ζi）]2嗎？ 考慮到定義中 f（ζi）是與被積函數(shù) f（y）對應(yīng)的，故旋轉(zhuǎn)體體積對應(yīng)的也是一個定積分，形如所不同的是，現(xiàn)在是以y為積分變量而已。

當然，上述兩種旋轉(zhuǎn)體是兩種最基本的形式，即繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的曲邊梯形其邊界恰好落在旋轉(zhuǎn)軸上，這樣的旋轉(zhuǎn)過程是沒有“縫隙”的，即得到的旋轉(zhuǎn)體是完全實心的。更為復雜的情形有兩種：第一種，讓函數(shù) y=f（x）與 x=a，y=b，x 與軸所圍成的曲邊梯形繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周或函數(shù) x=f（y）與 y=c，y=d，y軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體。這兩種旋轉(zhuǎn)體的共同點是曲邊梯形的邊并沒有落在旋轉(zhuǎn)軸上，這導致旋轉(zhuǎn)一周后得到的旋轉(zhuǎn)體實際上是一個非實心的情形。像這樣的旋轉(zhuǎn)體要采取間接求法，也就是說需要用一個大的旋轉(zhuǎn)體體積減去一個小的空心的旋轉(zhuǎn)體體積來對應(yīng)所求旋轉(zhuǎn)體體積；第二種，旋轉(zhuǎn)軸不是x軸或者y軸，而是平行于坐標軸的直線x=x0或y=y0，處理這種問題同樣不能直接使用公式求解，需要先對曲邊梯形進行平移，將問題轉(zhuǎn)化為繞坐標軸旋轉(zhuǎn)的類型才能使用體積公式。上述兩種復雜情形由于很繁瑣，我們就不一一贅述了。

二、利用定積分定義推導平行截面已知立體的體積

什么是平行截面已知立體的體積呢？如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一個定軸的各個截面面積，那么這樣的立體稱為平行截面面積已知的立體。例如將x軸作為定軸，并設(shè)該立體在過點x=a，x=b且垂直于x軸的兩平面之間，以A（x）表示過點x且垂直于x軸的截面面積。則在每個具體的x=x0處，我們認為截面面積是已知的，即：A（x0）。在x=a，x=b之間顯然有無數(shù)個這樣的平行截面，則這樣的立體體積是多少呢？我們都知道最終的結(jié)果是一個定積分：（x）dx，即恰好為截面面積函數(shù) A（x）在區(qū)間 [a，b]上的積分。那么如何理解這個結(jié)果呢？我們?nèi)匀豢梢岳枚ǚe分的定義來得到它。

我們?nèi)匀粚^(qū)間[a，b]任意地分為n個小區(qū)間，即插入多個分點，區(qū)間記為：[x0，x1]，[x1，x2]，……[xn-1，xn]，各小區(qū)間長度仍記為△xi（i=1，2……n）。我們將整個大的立體分割成了n個小立體，體積不妨記為 V△xi（i=1，2……n）。 當 n 比較大時，我們可以認為這n個小立體V△xi近似于n個小柱體。我們?nèi)匀辉诘趇個小區(qū)間△xi中任取一點ζi，該點對應(yīng)的截面面積顯然為 A（ζi）。 于是對于這個小的立體，我們以為 A（ζi）底面積，以該區(qū)間的長度△xi為高，用柱體的體積來近似 V△xi，即：V△xi≈f（ζi）△xi，（i=1，……n），由于像這樣的小立體有 n 個，故從而必然有考慮到每個小的立體都被近似過，那么這些近似產(chǎn)生的誤差經(jīng)求和后可能比較大，只有通過將區(qū)間 [a，b]無限細分實現(xiàn)誤差的無限減?。蹿吔?）。于是我們又可以記λ=max（△x1，△x2，……△xn），當 λ→0時，區(qū)間被無限細分，且每個小立體被近似時產(chǎn)生的誤差也在無限接近于0。這樣我們最終得到整個大的立體的體積公式看到這個極限你想到了什么？對了，這不就是定積分定義式中將 f（ζi）替換成 A（ζi）嗎？ 考慮到定義中 f（ζi）是與被積函數(shù) f（x）對應(yīng)的，故旋轉(zhuǎn)體體積對應(yīng)的也是一個定積分，形如：這就是旋轉(zhuǎn)體體積公式的由來。

當然，若將 y軸作為定軸，垂直于y軸的截面A（y）已知的立體，我們也可以類似地推導。但是要注意，我們此時要將截面視為是隨著y的變化而變化的，因此截面面積應(yīng)是以y為自變量的函數(shù)形式。將y軸作為定軸，并設(shè)該立體在過點y=c，y=d且垂直于y軸的兩平面之間，以A（y）表示過點y且垂直于y軸的截面面積。則在每個具體的y=y0處，我們認為截面面積是已知的，即：A（y0）。在y=c，y=d之間顯然有無數(shù)個這樣的平行截面，則這樣的立體體積是多少呢？我們都知道最終的結(jié)果是一個定積分：，即恰好為截面面積函數(shù)A（y）在區(qū)間 [c，d]上的積分。那么如何理解這個結(jié)果呢？我們?nèi)匀豢梢岳枚ǚe分的定義來得到它。

我們?nèi)匀粚^(qū)間[c，d]任意地分為n個小區(qū)間，即插入多個分點，區(qū)間記為：[y0，y1]，[y1，y2]，……[yn-1，yn]，各小區(qū)間長度仍記為△yi（i=1，2……n）。我們將整個大的立體分割成了n個小立體，體積不妨記為 V△yi（i=1，2……n）。 當 n 比較大時，我們可以認為這n個小立體V△yi近似于n個小柱體。我們?nèi)匀辉诘趇個小區(qū)間△yi中任取一點ζi，該點對應(yīng)的截面面積顯然為 A（ζi）。 于是對于這個小的立體，我們以 A（ζi）為底面積，以該區(qū)間的長度△yi為高，用柱體的體積來近似 V△yi，即：V△yi≈A（ζi）△yi，（i=1，……n），由于像這樣的小立體有 n 個，故從而必然有 Vyi?？紤]到每個小的立體都被近似過，那么這些近似產(chǎn)生的誤差經(jīng)求和后可能比較大，只有通過將區(qū)間[c，d]無限細分實現(xiàn)誤差的無限減小 （即趨近于0）。 于是我們又可以記 λ=max（△y1，△y2，……△yn），當λ→0時，區(qū)間被無限細分，且每個小立體被近似時產(chǎn)生的誤差也在無限接近于0。這樣我們最終得到整個大的立體的體積公式看到這個極限你想到了什么？對了，這不就是定積分定義式中中將 f（ζi）替換成 A（ζi）嗎？ 考慮到定義中 f（ζi）是與被積函數(shù) f（y）對應(yīng)的，故旋轉(zhuǎn)體體積對應(yīng)的也是一個定積分，形如?？梢?，這與以x軸為定軸的情形是很相似的，只是把截面的形式變化了而已。

以上就是結(jié)合本人的高等數(shù)學定積分教學時的一些感受。通過以上分析充分說明，很多知識之間不是孤立的，如果能深入探究它們之間的關(guān)聯(lián)，通過追根溯源可能會發(fā)現(xiàn)很多知識其實都是一個系統(tǒng)的不同分支，這樣既便于教師的備課又有利于學生對于不同知識點的系統(tǒng)理解。

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