王勇 李建清 邱實(shí)

(東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096)

被動(dòng)型氫原子鐘是以氫原子超精細(xì)結(jié)構(gòu)能級(jí)之間的躍遷產(chǎn)生的頻率準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性極高的微波波譜信號(hào)作為參考的頻率和時(shí)間計(jì)量裝置［1-2］，其體積、重量相對(duì)較小，但相對(duì)于其他小型原子鐘具有無(wú)可比擬的中、長(zhǎng)期穩(wěn)定度，所以被廣泛用于衛(wèi)星導(dǎo)航、空間探測(cè)和通信等系統(tǒng)，為其提供標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間、頻率源［3］.磁選態(tài)器是制備產(chǎn)生有效躍遷信號(hào)的高能態(tài)氫原子和產(chǎn)生微波信號(hào)的基礎(chǔ).常用的磁選態(tài)器有六極磁選態(tài)器和四極磁選態(tài)器［4-5］.其中，四極磁選態(tài)器比六極磁選態(tài)器要短?。?］，更適用于星載小型氫原子鐘，它可使束光學(xué)系統(tǒng)縮短，提高效率，減小真空泵負(fù)擔(dān)，延長(zhǎng)氫原子鐘的壽命.文獻(xiàn)［5-7］都給出了四極磁選態(tài)器的計(jì)算、設(shè)計(jì)過程以及氫原子在系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)，但是都僅計(jì)算了特定條件下原子的運(yùn)動(dòng)軌跡和截獲角，而沒有考慮原子從準(zhǔn)直孔出射的角度和速度復(fù)雜的分布情況.本文在給出氫原子在四極磁選態(tài)器中運(yùn)動(dòng)原理的基礎(chǔ)上，結(jié)合原子出射角度和出射速度的分布概率，計(jì)算得到原子在儲(chǔ)存泡口的分布規(guī)律，建立更貼近實(shí)際情況的模型.并應(yīng)用改進(jìn)的泡口分布模型優(yōu)化泡口直徑和聚焦距離，使得高能態(tài)原子被最大程度聚集，而低能態(tài)原子被偏離，為被動(dòng)型氫原子鐘儲(chǔ)存泡口的直徑和聚焦距離的設(shè)計(jì)提供了依據(jù)，有利于提高躍遷信號(hào)的功率.

1 氫原子在四極磁選態(tài)器中的偏轉(zhuǎn)

基態(tài)氫原子在微弱磁場(chǎng)(磁場(chǎng)強(qiáng)度為H)中具有4個(gè)超精細(xì)結(jié)構(gòu)能級(jí)，其能量可表示為［1］

式中，F(xiàn)=1時(shí)，mF=0，±1，取“+”，F(xiàn)=0 時(shí)，mF=0，取“－”；h為普朗克常數(shù)；υ為躍遷信號(hào)的頻率；μB為玻爾磁子；對(duì)于基態(tài)氫原子gJ=2.002284，gI=0.003042，x=H.由式(1)得到各個(gè)能態(tài)氫原子能量隨外磁場(chǎng)強(qiáng)度變化的關(guān)系，如圖1所示.

圖1 氫原子基態(tài)超精細(xì)分裂能級(jí)圖

如圖2所示的四極磁選態(tài)器由4個(gè)磁極組成，當(dāng)沿磁鐵長(zhǎng)度方向上磁勢(shì)是均勻的，且每個(gè)磁極占據(jù)60°時(shí)，其磁勢(shì) V 和磁場(chǎng)強(qiáng)度 H 分別為［1，5］

式中，H0為磁極頂點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度；r0為磁極半徑.由式(3)可知，四極磁選態(tài)器的磁場(chǎng)強(qiáng)度與場(chǎng)點(diǎn)的半徑r成正比，且磁場(chǎng)梯度大小約為常數(shù)［5］，即H≈H0/r0.

圖2 四極磁選態(tài)器示意圖

氫原子核自旋和電子自旋的耦合使氫原子具有磁矩，在磁場(chǎng)中氫原子的有效磁矩μeff和受到磁場(chǎng)的作用力Fm為［6-8］

式中，Em為氫原子在磁場(chǎng)中的附加能量.在磁場(chǎng)中，=1，mF=0〉和=1，mF=1〉兩態(tài)氫原子μeff＜0，故稱為負(fù)磁矩態(tài)氫原子，受到向心力；=1，mF=－1〉和=0，mF=0〉兩態(tài)氫原子 μeff＞0，故稱為正磁矩態(tài)氫原子，受到散射力［6］，產(chǎn)生了如圖3所示的負(fù)磁矩態(tài)氫原子被聚焦和正磁矩態(tài)氫原子被散射的不同運(yùn)動(dòng)軌跡.

設(shè)氫原子從四極磁選態(tài)器前面中心軸上距離磁選態(tài)器l1的準(zhǔn)直孔中瀉流出來(lái)，初速為v0，并與中心軸有一小角度δ0，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，氫原子在四極選態(tài)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程為［1，6］

圖3 氫原子在四極磁選態(tài)器中的運(yùn)動(dòng)軌跡圖

式中，m為氫原子的質(zhì)量；r為氫原子的橫向(垂直于圖3中 Z軸方向)位移；負(fù)磁矩態(tài)氫原子取“+”，正磁矩態(tài)氫原子取“－”，且原子在四極選態(tài)磁場(chǎng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的初始條件為

所以，氫原子在四極選態(tài)磁場(chǎng)中的橫向速度和位移可表示為

式中，負(fù)磁矩態(tài)氫原子取“－”，正磁矩態(tài)氫原子取“+”.在四極選態(tài)磁場(chǎng)出口C處橫向速度和位移為［6］

式中，l2為四極磁選態(tài)器長(zhǎng)度.各個(gè)能態(tài)氫原子經(jīng)過聚焦距離l3到達(dá)儲(chǔ)存泡口所在的D處，在D處產(chǎn)生有效微波信號(hào)(1.420405751768 GHz)躍遷的高能態(tài)和相應(yīng)的低能態(tài)氫原子的橫向位移分別為

令式(8)中 vr(t)=0，r(t)=r0，且取“－”，可得高能態(tài)氫原子最大截獲角為［1，6］

將系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)l1=9 mm，r0=1.2 mm，H0=0.9 T代入式(10)，并且v0取T=300 K時(shí)的最可幾速率，可得 δmax≈3°.

2 氫原子在儲(chǔ)存泡口分布規(guī)律計(jì)算

以上計(jì)算了在一定出射速度v0和出射角δ0下產(chǎn)生有效微波信號(hào)躍遷的高能態(tài)和低能態(tài)氫原子在四極磁選態(tài)器中的偏轉(zhuǎn).但是，在一定溫度下氫原子的出射速度v服從麥克斯韋速度分布［9］

式中，K為玻爾茲曼常數(shù)；T為氫原子的溫度.該分布如圖4所示，且在最可幾速率vp=處概率最大.

圖4 氫原子的麥克斯韋分布(T=300 K)

除了氫原子出射速率服從麥克斯韋分布以外，文獻(xiàn)［5］還給出了氫原子從不同的深徑比L/a(L為準(zhǔn)直孔深度，a為準(zhǔn)直孔直徑)準(zhǔn)直孔瀉流的出射角分布，如圖5所示.可以看出，在深徑比足夠大(L/a＞20)情況下氫原子從準(zhǔn)直孔中瀉流的出射角分布近似為均勻分布，所以本文將到達(dá)儲(chǔ)存泡口平面D處的氫原子的出射速度近似處理為服從(0，δmax］均勻分布，計(jì)算中取 δmax=3°.

圖5 出射角度分布［5］

氫原子出射速度服從麥克斯韋分布，出射角度服從均勻分布，將2個(gè)分布代入式(10)，高能態(tài)和低能態(tài)氫原子在儲(chǔ)存泡口D的橫向位移rDH和rDL的分布規(guī)律將會(huì)變得較為復(fù)雜.本文采用一種數(shù)值計(jì)算方法得到其分布規(guī)律，計(jì)算過程如下.

1)研究出射原子的速度分布對(duì)原子在儲(chǔ)存泡口分布概率的影響.將一定數(shù)目的氫原子按照速度的麥克斯韋分布進(jìn)行分配，根據(jù)相應(yīng)的速度分別計(jì)算式(10)中的橫向位移以及相對(duì)應(yīng)的速度［v，v+dv］的分布概率，由此得到一定出射角度下橫向位移取值的分布規(guī)律.圖6是氫原子在出射角為δ→0°和δ=3°時(shí)高能態(tài)和低能態(tài)氫原子橫向位移取值分布.

圖6 一定出射角度下橫向位移分布

2)研究出射原子的出射角度分布對(duì)原子在儲(chǔ)存泡口分布概率的影響.因?yàn)槌錾浣嵌确?0°，3°］均勻分布，所以將一定數(shù)量的高能態(tài)或低能態(tài)氫原子按0.03°出射角步距分配成100份，每一份原子再按上述速度的麥克斯韋分布進(jìn)行分配，并按步驟1)的計(jì)算過程得到每一個(gè)出射角度下橫向位移取值的分布規(guī)律，并將均勻分布的各個(gè)出射角度下的分布概率進(jìn)行疊加處理，最終得到高能態(tài)和低能態(tài)氫原子在泡口D處橫向位移取值的總體分布規(guī)律，如圖7所示.由式(2)和(3)可知，四極磁選態(tài)器中的磁場(chǎng)具有橫向?qū)ΨQ性，故高、低能態(tài)氫原子在每個(gè)縱向(平行于Z軸方向)截面上的運(yùn)動(dòng)軌跡和分布規(guī)律具有一致性.因此，可以由圖7所示的一維分布規(guī)律旋轉(zhuǎn)得到在儲(chǔ)存泡口D平面內(nèi)高能態(tài)和低能態(tài)氫原子的三維分布規(guī)律，圖8為D平面內(nèi)高能態(tài)和低能態(tài)氫原子的三維分布規(guī)律.圖中，rx和ry分別為D平面內(nèi)2個(gè)垂直方向上的橫向位移.

由以上的計(jì)算與分析可得到如下結(jié)論:

1)高能態(tài)氫原子聚焦于儲(chǔ)存泡口中心位置附近，且中心處分布概率最高，而低能態(tài)氫原子分布在高能態(tài)氫原子外圍，且有部分疊加.

2) 在系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù) H0，l1，l2，r0確定的情況下，聚焦距離l3越小，高能態(tài)和低能態(tài)原子的分布越向中心位置靠近，且分布概率模型的方差越小.

3)在中心軸處一個(gè)很小的范圍內(nèi)(見圖7中rc)，低能態(tài)原子分布概率為0，高能態(tài)原子概率最大.

圖7 高、低能態(tài)氫原子D處橫向位移總體分布

圖8 高、低能態(tài)氫原子D平面內(nèi)三維分布

3 聚焦距離和儲(chǔ)存泡口直徑的優(yōu)化

儲(chǔ)存泡是被動(dòng)型氫原子鐘的重要部件，它收集高能態(tài)氫原子，并使其較長(zhǎng)時(shí)間停留在諧振腔內(nèi)，與輻射場(chǎng)相互作用，有利于增加原子受激輻射的能量，提高諧振腔內(nèi)躍遷信號(hào)強(qiáng)度［10］.

聚焦距離l3和儲(chǔ)存泡口的直徑是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的2個(gè)重要參數(shù)，其設(shè)計(jì)的原則是使更多產(chǎn)生有效信號(hào)躍遷所需要的高能態(tài)原子聚焦，而通過儲(chǔ)存泡口進(jìn)入泡內(nèi)，使低能態(tài)氫原子盡量不進(jìn)入儲(chǔ)存泡而被真空系統(tǒng)抽走，從而優(yōu)化系統(tǒng)性能，提高信號(hào)譜線的功率，優(yōu)化弛豫時(shí)間.本節(jié)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，應(yīng)用上一節(jié)計(jì)算得到的高、低能態(tài)氫原子經(jīng)過四極磁選態(tài)器偏轉(zhuǎn)后在泡口的數(shù)學(xué)分布模型來(lái)優(yōu)化聚焦距離和泡口直徑這2個(gè)參數(shù).

由第2節(jié)中的結(jié)論3)可知，在半徑rc范圍內(nèi)低能態(tài)氫原子分布概率為0，高能態(tài)氫原子分布概率最高，高、低能態(tài)原子分布無(wú)疊加，將高能態(tài)原子聚焦在半徑rc以內(nèi)，則高能態(tài)原子的利用率最高，而低能態(tài)原子不進(jìn)入泡內(nèi)，可使系統(tǒng)性能得到優(yōu)化，故將此半徑rc定義為泡口的優(yōu)化半徑.由第2節(jié)中的結(jié)論2)可知，泡口的優(yōu)化半徑隨著聚焦距離的增大而增大.利用數(shù)值計(jì)算的方法，計(jì)算l3不同取值下的rc，可以得到圖9所示聚焦距離和泡口優(yōu)化半徑之間的數(shù)量關(guān)系.

按圖9所示的聚焦距離和儲(chǔ)存泡口優(yōu)化半徑之間的數(shù)量關(guān)系曲線設(shè)計(jì)系統(tǒng)的聚焦距離和泡口直徑，可使被動(dòng)型氫原子鐘的束光系統(tǒng)的性能得到優(yōu)化，提高了儲(chǔ)存泡對(duì)高能態(tài)氫原子的收集效率.

圖9 聚焦距離和儲(chǔ)存泡口優(yōu)化半徑的數(shù)量關(guān)系曲線

4 結(jié)論

1)經(jīng)過四極磁選態(tài)器的偏轉(zhuǎn)，高、低能態(tài)氫原子的橫向偏移r的分布不僅和磁選態(tài)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)有關(guān)，還和出射速度v和出射角δ的分布有關(guān).

2)在一定溫度且最大截獲角δmax很小(小于5°)的情況下，氫原子的出射速度分布可以采用麥克斯韋分布模型，而出射角度分布可近似采用(0，δmax］均勻分布模型進(jìn)行處理，采用數(shù)值計(jì)算的方法可得到高、低能態(tài)氫原子的橫向偏移r的分布模型.

3)在距泡口中心處一個(gè)很小的范圍rc內(nèi)，低能態(tài)原子分布概率為0，而高能態(tài)原子概率最大，該半徑是設(shè)計(jì)儲(chǔ)存泡口的重要參數(shù)，即泡口優(yōu)化半徑.

4)聚焦距離l3越小，泡口優(yōu)化半徑rc越小，且優(yōu)化半徑和聚焦距離之間近似呈線性關(guān)系.

5)實(shí)際設(shè)計(jì)的聚焦距離越小，越有利于被動(dòng)型氫原子鐘的小型化.但是泡口加工的尺寸精度要求越高，增加了加工難度，所以應(yīng)綜合考慮聚焦距離和泡口直徑，以及其對(duì)系統(tǒng)弛豫時(shí)間的影響，圖9中的數(shù)量關(guān)系為設(shè)計(jì)提供了依據(jù).

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