杜爭(zhēng)光

（隴南師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系，成縣742500）

1 主要引理

在微分中值定理和積分中值定理中，“中間點(diǎn)”漸進(jìn)性的研究，引起了廣大數(shù)學(xué)工作者的廣泛興趣和積極研究，并取得了一些重要結(jié)果（見文獻(xiàn)［1］－［8］）.

文獻(xiàn)［1］對(duì)微分中值定理和積分中值定理進(jìn)行了統(tǒng)一和推廣，本文討論統(tǒng)一后的微積分中值定理“中間點(diǎn)”的漸進(jìn)性，并對(duì)已有的“中間點(diǎn)”漸進(jìn)性結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)一和推廣.

為敘述和討論方便，現(xiàn)將統(tǒng)一后的微積分中值定理及文中需要的一些中值定理引述如下：

引理1［1］若函數(shù)f（x）和g（x）在a的某一鄰域U（a）內(nèi)滿足條件：

（1）n階導(dǎo)數(shù)連續(xù)；

（2）n＋1階導(dǎo)數(shù)存在；

（3）?x∈U（a），g（n＋1）（x）≠0.

則對(duì)?b∈U0（a），至少存在一點(diǎn)ξ在a與b之間，使得

（Cauchy中值定理）若函數(shù)f（x）和g（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且?x∈（a，b），g′（x）≠0.則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得

（積分型Cauchy中值定理）若函數(shù)f（x）和g（x）滿足在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且 ?x∈ （a，b），g（x）≠0.則至少存在一點(diǎn)ξ∈ （a，b），使得（Lagrange中值定理）若函數(shù)f（x）滿足下列條件：

（1）在閉區(qū)間［a，b］連續(xù)；

（2）在開區(qū)間（a，b）可導(dǎo).

（Taylor中值定理）若函數(shù)f（x）在a的某一鄰域U（a）內(nèi)存在n＋1階導(dǎo)數(shù)，則?x∈（a），在a與x之間至少存在一點(diǎn)ξ，使

（積分第一中值定理）若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈ ［a，b］，使得

（推廣的積分第一中值定理）若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，g（x）在閉區(qū)間［a，b］上可積，且不變 號(hào)，則 至 少 存 在 一 點(diǎn) ξ ∈ ［a，b］，使 得

（積分第二中值定理）設(shè)函數(shù)g（x）在［a，b］可積，函數(shù)f（x）單調(diào)，且f（x）≥0，則 ?η∈ ［a，b］，使得

2 主要結(jié)果

即（2）式成立，同理可證（3）式成立.

，ξ是由（1）式所確定的“中間點(diǎn)”，則

基于以上的定理，就有以下的推論：

證明 在（11）式中，令β＝0，m ＝1即得.

證明 在（11）中，令β＝0，m ＝1即得.

證明 在（11）中，令m ＝1即得.

證明 在（11）式中，令β＝0，m ＝1，α ＝n即得.

證明 在（11）式中，令β＝0，α＝p ，m＝n即得.

證明 在（11）中，令m＝1，β＝0即得.

證明 在（11）中，令m＝0，β＝p＋1，α＝p＋q＋1即得.

推論8［8］，［9］設(shè)函數(shù)f（t）在［a，x］可導(dǎo)，單調(diào)，且f（t）不是常數(shù)，g（t）在［a，x］連續(xù)且不變號(hào)，η是由積分第二中值定理（8）所確定的“中間點(diǎn)”，則

證明 在（11）中，令m＝1，β＝0，α＝1即得（1），令m＝n，β＝0，α＝1即得（2）.

從以上的推論可以看出，（11）式不僅將微分中值定理和積分中值定理“中間點(diǎn)”的漸進(jìn)性進(jìn)行了很好的統(tǒng)一，而且將微分中值定理和積分中值定理“中間點(diǎn)”的漸進(jìn)性已有的結(jié)果進(jìn)行了推廣.

［1］ 杜爭(zhēng)光.微積分中值定理的統(tǒng)一與推廣［J］.荊楚理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，26（2）：34－36.

［2］ 程希旺.微分中值定理中值點(diǎn)漸進(jìn)性研究的新進(jìn)展［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，39（14）：229－233.

［3］ 劉文武，嚴(yán)中權(quán).積分型Cauchy中值定理中間點(diǎn)的漸進(jìn)性［J］.數(shù)學(xué)的實(shí) 踐與認(rèn)識(shí)，2010，40（11）：228－231..

［4］ 戴立輝.微積分中值定理的變化趨勢(shì)［J］.工科數(shù)學(xué)，1994，10（4）：178－181.

［5］ 孫千高.Taylor展開式在“中值點(diǎn)”漸進(jìn)性中的應(yīng)用［J］.寶雞文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，25（3）：176－177.

［6］ 張素玲.積分第一中值定理中間點(diǎn)漸進(jìn)性定理及等價(jià)性定理的證明［J］.焦作大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，（3）：60－61.

［7］ 宋文青，劉紹慶.積分中值定理的“中值點(diǎn)”漸進(jìn)性中分析［J］.山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，20（1）：90－91.

［8］ 杜爭(zhēng)光.積分第二中值定理“中間點(diǎn)”的分析性質(zhì)［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26（3）：155－160.

［9］ 杜爭(zhēng)光.積分第二中值定理“中點(diǎn)函數(shù)”的解析式［J］.湖南工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，21（4）：44－45，62.