羅蓬，劉開(kāi)華，于潔瀟，馬永濤

（天津大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，天津 300072）

1 引言

線(xiàn)性調(diào)頻（LFM, linear frequency modulation）信號(hào)在雷達(dá)、聲納、通信等信息系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用，針對(duì)這類(lèi)信號(hào)的波達(dá)方向（DOA, direction of arrival）估計(jì)問(wèn)題也日益受到人們的重視。由于LFM信號(hào)具有寬帶非平穩(wěn)的特性，其陣列方向矩陣與時(shí)間相關(guān)，因此常規(guī)的子空間算法不再適用于這類(lèi)信號(hào)的DOA估計(jì)。近年來(lái)，將信號(hào)的時(shí)頻特征和空域信息相結(jié)合的時(shí)頻空算法成為該領(lǐng)域一個(gè)研究熱點(diǎn)。沿著這個(gè)方向已經(jīng)出現(xiàn)了一些研究成果[1～3]，其中以國(guó)內(nèi)學(xué)者陶然、齊林等提出的基于分?jǐn)?shù)階Fourier變換（FrFT, fractional Fourier transform）的LFM信號(hào)DOA估計(jì)方法[4～6]最受關(guān)注。由于FrFT是一種線(xiàn)性變換，不受交叉項(xiàng)的干擾，而且可以理解為L(zhǎng)FM基分解[7]，因此在對(duì)LFM信號(hào)的處理上比其他時(shí)頻變換方法更有優(yōu)勢(shì)。

傳統(tǒng)的基于FrFT的估計(jì)方法利用LFM信號(hào)在特定的分?jǐn)?shù)階 Fourier域上達(dá)到能量聚集的特點(diǎn)，提取陣列上各入射信號(hào)的 FrFT峰值組成空間時(shí)頻分布矩陣，然后結(jié)合MUSIC、ESPRIT等信號(hào)子空間算法實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。然而，在相干信號(hào)情況下，由于各LFM信號(hào)的參數(shù)相同，因此在分?jǐn)?shù)階Fourier域峰值提取過(guò)程中很難區(qū)分不同的入射信號(hào)，導(dǎo)致DOA估計(jì)困難。文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]分別將前/后向空間平滑以及矩陣重構(gòu)技術(shù)引入分?jǐn)?shù)階 Fourier域，實(shí)現(xiàn)相干LFM信號(hào)的DOA估計(jì)。但是上述方法僅選取各陣元上的FrFT峰值點(diǎn)數(shù)據(jù)參與DOA估計(jì)的運(yùn)算，數(shù)據(jù)利用率較低，導(dǎo)致算法的穩(wěn)定性和抗噪聲畸變的能力降低。

本文對(duì)LFM信號(hào)在2個(gè)特殊的分?jǐn)?shù)階Fourier域上的時(shí)頻特性進(jìn)行了深入研究，提出了一種相干寬帶LFM信號(hào)的DOA估計(jì)新方法。該方法在相干LFM信號(hào)的解線(xiàn)調(diào)域上建立起新的陣列數(shù)據(jù)模型，并結(jié)合 Toeplitz矩陣重構(gòu)以及 MUSIC算法實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。若同時(shí)存在多組相干LFM信號(hào)入射，則首先在不同的能量聚集域上將各信號(hào)組分離，然后逐一進(jìn)行各組內(nèi)相干信號(hào)的DOA估計(jì)。該方法充分地挖掘了觀(guān)測(cè)信號(hào)所包含的時(shí)頻信息，增加了可檢測(cè)的DOA數(shù)目，提高了算法的分辨性能和抗噪聲性能。另外，由于該方法未采用空間平滑類(lèi)解相干算法，因此不受陣列流型的限制，且無(wú)冗余陣元與孔徑損失。通過(guò)分析可知，當(dāng)存在 G個(gè)相干LFM信號(hào)組時(shí)，使用M陣元的陣列最多可估計(jì)出的DOA數(shù)目多達(dá)G(M-1)個(gè)。文章的最后給出了該方法的實(shí)施步驟，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其良好的估計(jì)性能。

2 LFM信號(hào)的解線(xiàn)調(diào)域和能量聚集域FrFT分析

一個(gè)單分量LFM信號(hào)可以表示為

其中，a0、φ0、f0和μ0分別代表信號(hào)的幅度、初相、中心頻率以及調(diào)頻率。一個(gè)有限長(zhǎng) LFM 信號(hào)在時(shí)頻平面上呈現(xiàn)斜直線(xiàn)的背鰭形分布[10]，且直線(xiàn)的斜率等于信號(hào)的調(diào)頻率，如圖1所示。

圖1 有限長(zhǎng)LFM信號(hào)的WVD

一個(gè)信號(hào)x(t)的旋轉(zhuǎn)角度為α的FrFT定義為

其中，p為FrFT的階，可以為任意實(shí)數(shù)，α = pπ/2，Kα(t, u)為變換核函數(shù)，有

FrFT可以被解釋為時(shí)頻平面上的旋轉(zhuǎn)算子，即一個(gè)信號(hào)的FrFT的WVD是原信號(hào)WVD的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)形式[7]。

對(duì)于圖 1，隨著坐標(biāo)軸的不斷旋轉(zhuǎn)，存在 2個(gè)特殊的分?jǐn)?shù)階 Fourier域，在這 2個(gè)域中，該LFM 信號(hào)的 WVD分別呈現(xiàn)水平分布和垂直分布。這2個(gè)分?jǐn)?shù)階Fourier域分別定義為該LFM信號(hào)的解線(xiàn)調(diào)域和能量聚集域，相應(yīng)的FrFT變換角度分別為

根據(jù)文獻(xiàn)[11]給出的結(jié)論，式(1)給出的LFM信號(hào)的FrFT為

將LFM信號(hào)的解線(xiàn)調(diào)域FrFT變換角度代入上式并化簡(jiǎn)，得

其中

為一個(gè)常數(shù)。通過(guò)上式可知，對(duì)一個(gè)LFM信號(hào)進(jìn)行解線(xiàn)調(diào)域FrFT，可以將該信號(hào)解調(diào)為一個(gè)單頻信號(hào)，且該信號(hào)的頻率為

將LFM信號(hào)的能量聚集域FrFT變換角度代入式(6)，并根據(jù)極限

化簡(jiǎn)可得

其中

為一個(gè)常數(shù)。通過(guò)上式可知，對(duì)一個(gè)LFM信號(hào)進(jìn)行能量聚集域FrFT，將得到一個(gè)沖擊脈沖，且該脈沖的位置為

另外，由于αd和αe存在關(guān)系

根據(jù)FrFT的旋轉(zhuǎn)可加性，有以下等式成立

即LFM信號(hào)的解線(xiàn)調(diào)域FrFT和能量聚集域FrFT之間存在一個(gè)Fourier變換的關(guān)系。

3 提出的相干LFM信號(hào)DOA估計(jì)方法

3.1 陣列模型和基本假設(shè)

假設(shè)均勻線(xiàn)陣（ULA, uniform linear array）由M個(gè)各向同性陣元組成，陣元間隔為d，將第一個(gè)陣元設(shè)為參考陣元。遠(yuǎn)場(chǎng)有G組相干LFM信號(hào)入射到陣列上，其中，第i個(gè)信號(hào)組包含gi路相干LFM信號(hào)，其波達(dá)方向分別為{θi1, θi2, …, θigi}，該信號(hào)組可以看作是由同一信源經(jīng)過(guò)不同的路徑衰減產(chǎn)生，其表達(dá)式為

其中

可見(jiàn)，相干信號(hào)組內(nèi)的各LFM信號(hào)具有相同的調(diào)頻率和中心頻率，即在時(shí)頻面上的分布相同。于是，第m個(gè)陣元上的觀(guān)測(cè)信號(hào)可以表示為

其中，nm(t)表示第m個(gè)陣元上的噪聲。表示第i組第k個(gè)LFM信號(hào)在第m個(gè)陣元和參考陣元之間的傳播延時(shí)，即

對(duì)式(19)所示的陣列模型做出以下幾點(diǎn)假設(shè)：

1) 各相干LFM信號(hào)組si(t), i=1, 2, …, G之間相互獨(dú)立；

2) 相干LFM信號(hào)組內(nèi)的各路信號(hào)僅有幅度和相位的差別，即路徑衰減量cik為常數(shù)。組內(nèi)的相干LFM信號(hào)個(gè)數(shù)不超過(guò)陣元個(gè)數(shù)，即gi＜M；

3) 各陣元上的噪聲是加性高斯白噪聲。不同陣元上的噪聲互不相關(guān)，噪聲與信號(hào)也互不相關(guān)。

3.2 相干LFM信號(hào)組內(nèi)的DOA估計(jì)

以第i個(gè)相干LFM信號(hào)組為例，組內(nèi)第k個(gè)LFM信號(hào)在參考陣元上的輸出為

對(duì)sik(t)進(jìn)行角度為αd=arctanμi的解線(xiàn)調(diào)域FrFT將得到

其中

由于 LFM 信號(hào)經(jīng)過(guò)延時(shí)后調(diào)頻率不變，因此延時(shí)信號(hào)的解線(xiàn)調(diào)域變換角度也保持不變。根據(jù)FrFT的時(shí)移性質(zhì)[11]：

因此式(25)可以化簡(jiǎn)為

比較式(22)和式(27)，可得第k個(gè)LFM信號(hào)在參考陣元和第 m個(gè)陣元上的解線(xiàn)調(diào)域輸出之間的關(guān)系：

其中

將整個(gè)陣列的解線(xiàn)調(diào)域時(shí)頻輸出表示為向量形式：

其中

為第i組相干LFM信號(hào)的解線(xiàn)調(diào)域FrFT向量，通過(guò)前面的分析可知，該組相干 LFM 信號(hào)已被解調(diào)為一組相干單頻信號(hào)。Ai為 M ×gi維的解線(xiàn)調(diào)域方向矩陣，具有以下形式：

其中

為了實(shí)現(xiàn)組內(nèi)各條路徑上的DOA估計(jì)，定義如下的相關(guān)函數(shù)：

其中，Ai(m), m=1, 2, …, M為方向矩陣Ai的第m行的所有元素。對(duì)于上式，當(dāng)m由1變到M時(shí)，由這M個(gè)相關(guān)函數(shù)構(gòu)成如下形式的相關(guān)矩陣

可以看出，Ri是MM×階的Hermitian Toeplitz矩陣，包含了信號(hào)組內(nèi)全部gi個(gè)相干信號(hào)的信息。對(duì)Ri進(jìn)行特征值分解，得到噪聲子空間對(duì)應(yīng)的特征向量矩陣 UN，然后構(gòu)造如下的 MUSIC空間譜函數(shù)：

對(duì)上式進(jìn)行一維譜峰搜索，即可實(shí)現(xiàn)第i個(gè)相干LFM信號(hào)組內(nèi)各條路徑上的DOA估計(jì)。

3.3 不同相干LFM信號(hào)組的分離

上一節(jié)給出了相干LFM信號(hào)組內(nèi)的DOA估計(jì)方法，本節(jié)主要討論多個(gè)相干 LFM 信號(hào)組之間的分離方法。根據(jù)式(19)可知，參考陣元上的觀(guān)測(cè)信號(hào)可以表示為

其中

為第i個(gè)相干信號(hào)組在參考陣元上的輸出，顯然該輸出也是一個(gè)LFM信號(hào)。對(duì)式(37)進(jìn)行連續(xù)變化階次的 FrFT，形成觀(guān)測(cè)信號(hào)在參數(shù)(α, u)平面上的二維能量譜，對(duì)該能量譜進(jìn)行譜峰搜索，即可獲得各相干LFM信號(hào)組的能量聚集域變換角度αi以及譜峰坐標(biāo)ui。

記式(37)的關(guān)于角度 αi的 FrFT為 Xαi(u)，根據(jù)前面的分析，在第i組相干LFM信號(hào)的能量聚集域，該信號(hào)組呈現(xiàn)出明顯的尖峰，其他各組信號(hào)的能量分布則較為分散。在此分?jǐn)?shù)階Fourier域上，以尖峰位置ui進(jìn)行遮隔處理，即使Xαi(u)通過(guò)一個(gè)中心頻率為ui的窄帶濾波器，通過(guò)適當(dāng)?shù)剡x擇濾波器的帶寬L，即可實(shí)現(xiàn)參考陣元上第i個(gè)相干LFM信號(hào)組的分離。此過(guò)程如圖2所示。

圖2 相干LFM信號(hào)組的能量聚集域分離

在參考陣元之外的各個(gè)陣元上，由于延時(shí)不改變 LFM信號(hào)的調(diào)頻率，因此各信號(hào)組的能量聚集域變換角度也保持不變，仍可按前述之方法對(duì)各信號(hào)組進(jìn)行分離。需要注意的是，由于組內(nèi)各 LFM信號(hào)的入射角各不相同，因此它們的陣元延時(shí)也不相同，導(dǎo)致它們?cè)谀芰烤奂虻淖V峰位置不再?lài)?yán)格聚集于一點(diǎn)，此時(shí)需要對(duì)濾波器的寬度L進(jìn)行調(diào)整，以保證完整分離出組內(nèi)的所有信號(hào)。

利用上述方法，可以從各陣元上的觀(guān)測(cè)信號(hào)中分離出某一相干 LFM 信號(hào)組，得到該組信號(hào)的能量聚集域陣列輸出。利用式(15)，將該輸出轉(zhuǎn)化到解線(xiàn)調(diào)域，繼而可以通過(guò)3.2節(jié)的方法實(shí)現(xiàn)組內(nèi)各條路徑上的DOA估計(jì)。通過(guò)上述分析可知，當(dāng)存在G個(gè)相干LFM信號(hào)組時(shí)，使用M陣元的陣列最多可估計(jì)出的DOA數(shù)目為G(M-1)個(gè)。

3.4 算法的實(shí)施步驟和細(xì)節(jié)

總結(jié)以上的分析，將算法的主要步驟歸納如下：

1) 對(duì)參考陣元上的接收信號(hào)進(jìn)行連續(xù)變化階次的 FrFT，并對(duì)(α, u)平面做二維搜索，通過(guò)譜峰個(gè)數(shù)估計(jì)出相干信號(hào)組的個(gè)數(shù)，并記錄各信號(hào)組對(duì)應(yīng)的譜峰位置(αi, ui)；

2) 取各個(gè)陣元上接收信號(hào)的關(guān)于αi的FrFT，以譜峰點(diǎn)為中心，利用長(zhǎng)度為L(zhǎng)的帶通濾波器進(jìn)行濾波，并對(duì)濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT，得到陣列上的一組相干單頻信號(hào)數(shù)據(jù)；

3) 構(gòu)造式(35)所示的相關(guān)矩陣，并對(duì)其進(jìn)行特征值分解，利用所得的噪聲子空間特征向量矩陣構(gòu)造MUSIC空間譜函數(shù)Pi(θ)；

4) 對(duì)Pi(θ)進(jìn)行一維譜峰搜索，即可估計(jì)出第i個(gè)相干LFM信號(hào)組內(nèi)各條路徑上的DOA；

5) 重復(fù)步驟2)～步驟4)，直至估計(jì)出所有信號(hào)組所包含的相干LFM信號(hào)的DOA；

6) 若只有一組相干LFM信號(hào)入射，則直接對(duì)各陣元上的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行解線(xiàn)調(diào)域FrFT，然后利用步驟3)～步驟4)實(shí)現(xiàn)各相干信號(hào)的DOA估計(jì)。

另外，在上述譜峰搜索過(guò)程中采用“粗掃描+細(xì)掃描”的二階搜索方法，可以大大減少算法的運(yùn)算復(fù)雜度。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn) 1 對(duì) LFM 信號(hào)的能量聚集域和解線(xiàn)調(diào)域輸出特性進(jìn)行驗(yàn)證。構(gòu)造一個(gè)LFM信號(hào)

其參數(shù)設(shè)置為：f0=15Hz、μ0=30Hz/s、a0=1.5、φ0=0.5π。采樣頻率為500Hz，快拍數(shù)為401。分別對(duì)該信號(hào)進(jìn)行能量聚集域和解線(xiàn)調(diào)域 FrFT，圖3為該信號(hào)在時(shí)域以及上述2個(gè)分?jǐn)?shù)階Fourier域的輸出波形。

從圖3可以看出，該LFM信號(hào)在2個(gè)分?jǐn)?shù)階Fourier域上具有良好的能量聚集特性和解線(xiàn)調(diào)特性。本實(shí)驗(yàn)的結(jié)果驗(yàn)證了前文中的相關(guān)結(jié)論，是整個(gè)DOA估計(jì)方法的前提和基礎(chǔ)。

圖3 LFM信號(hào)在時(shí)域、能量聚集域和解線(xiàn)調(diào)域的輸出

實(shí)驗(yàn)2 相干寬帶LFM信號(hào)的DOA估計(jì)實(shí)驗(yàn)。假設(shè)ULA由10個(gè)陣元組成，陣元間隔d=5。遠(yuǎn)場(chǎng)存在2個(gè)相互獨(dú)立的等幅寬帶LFM信號(hào)源，其參數(shù) 分 別 設(shè) 置 為 ： f1=12MHz 、 μ1=1MHz/μs、f2=-8MHz、μ2=-0.7MHz/μs。2個(gè)信源各產(chǎn)生了 3個(gè)相干信號(hào)，入射角分別為：θ1=[40°,60°,140°]，θ2=[30°,90°,145°]。采樣頻率為 100MHz，快拍數(shù)為 501，陣元噪聲為10dB的高斯白噪聲。圖4為參考陣元上觀(guān)測(cè)信號(hào)的連續(xù)變化階次FrFT的二維掃描譜。

圖4 入射信號(hào)的二維FrFT掃描譜

從圖4中可以看出，在(p, u)平面上有2個(gè)明顯的譜峰，分別對(duì)應(yīng)于2個(gè)LFM信號(hào)組。分別構(gòu)造這 2組相干 LFM 信號(hào)在各自的解線(xiàn)調(diào)域上的MUSIC空間譜，如圖5所示。

圖5 相干LFM信號(hào)的MUSIC空間譜

對(duì)圖5(a)和圖5(b)所示的2個(gè)譜函數(shù)做關(guān)于角度θ的一維譜峰搜索，選擇掃描步長(zhǎng)為0.01°，得到2組入射信號(hào)的DOA估計(jì)為：=[39.46°,59.78°,140.12°]，=[29.16°,89.98°,145.35°]。

實(shí)驗(yàn) 3 本文方法和傳統(tǒng)方法的性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)。采用8陣元ULA，3個(gè)相干LFM信號(hào)入射到該陣列上，入射角設(shè)置為：θ =[50°,90°,140°]。在其他條件均相同的前提下，比較本文方法和文獻(xiàn)[9]提出的基于能量聚集域 FrFT以及矩陣重構(gòu)解相干的寬帶LFM信號(hào)DOA估計(jì)方法的性能。圖6給出了上述2種方法的MUSIC空間譜。

圖7和圖8分別給出了2種方法的DOA估計(jì)成功概率以及均方根誤差（RMSE, root mean square error）隨信噪比變化的曲線(xiàn)。所有仿真結(jié)果均為100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的平均。

由于本文方法利用了解線(xiàn)調(diào)分?jǐn)?shù)階 Fourier域上的全部觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)參與 DOA估計(jì)的運(yùn)算，與傳統(tǒng)的基于FrFT峰值提取的算法相比，該方法對(duì)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的利用更加充分，獲得了一定的性能改善。通過(guò)圖6～圖8可以看出，相比于傳統(tǒng)估計(jì)方法，本文方法具有更好的空間分辨性能和更低的信噪比門(mén)限。在DOA估計(jì)的RMSE相同時(shí)，與傳統(tǒng)方法相比，本文方法可獲得8dB左右的信噪比增益。

圖6 本文方法和傳統(tǒng)方法的估計(jì)結(jié)果

圖7 DOA估計(jì)的成功概率隨信噪比的變化曲線(xiàn)

圖8 DOA估計(jì)的均方根誤差隨信噪比的變化曲線(xiàn)

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于FrFT的相干寬帶LFM信號(hào)DOA估計(jì)新方法。該方法利用陣列信號(hào)在2個(gè)特殊的分?jǐn)?shù)階Fourier域上的時(shí)頻特性，實(shí)現(xiàn)了對(duì)不同的相干 LFM信號(hào)組的分離和各組內(nèi)的DOA估計(jì)。相比于傳統(tǒng)方法，本文方法對(duì)陣列數(shù)據(jù)的利用更加充分，獲得了更好的空間分辨性能和更低的信噪比門(mén)限。另外，該方法無(wú)冗余陣元與孔徑損失，并且可以推廣到任意陣列流型。當(dāng)存在G個(gè)相干LFM信號(hào)組時(shí)，使用M陣元的陣列最多可估計(jì)出的DOA數(shù)目達(dá)G(M-1)個(gè)。最后，仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果證明了本文方法的良好估計(jì)性能。

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