☉江蘇省阜寧縣陳集中學(xué) 吳洪祥

求角度的大小是中考中常見(jiàn)的一類題目，是中考的一個(gè)重點(diǎn).角度問(wèn)題的背景材料各種各樣，需要根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，就能順利求?對(duì)于求角的度數(shù)問(wèn)題，一般不難，只要掌握下面幾種方法，就可迎刃而解.

圖1

一、設(shè)未知數(shù)，構(gòu)造方程

例1如圖1，在△ABC中，∠A=60°，∠B∶∠C=1∶5，求∠B的度數(shù).

解析：本題考查三角形內(nèi)角和定理，由∠B∶∠C=1∶5可設(shè)∠B=x，則∠C=5x.根據(jù)三角形內(nèi)角和180°，可得∠A+∠B+∠C=180°，因?yàn)椤螦=60°，所以60°+x+5x=180°，解得x=20°，即∠B=20°.

點(diǎn)評(píng)：在求角的度數(shù)時(shí)，如果給的條件是幾個(gè)角的比值，通常想到設(shè)未知數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程，解出即可.

二、利用方程組

例2將一個(gè)半徑為6cm，母線長(zhǎng)為15cm的圓錐形紙筒沿一條母線剪開(kāi)并展開(kāi)，求所得的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù).

解析：本題解決的關(guān)鍵是要明確圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是以母線為半徑的扇形，它的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，所以我們可以設(shè)側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為θ，弧長(zhǎng)為l（如圖2），

圖2

三、運(yùn)用勾股定理的逆定理

圖3

例3如圖3，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為（ ）.

A.90° B.60°

C.45° D.30°

解析：本題乍一看，覺(jué)得無(wú)從下手，因?yàn)樵谥苯侨切沃?，找不到特殊角，但通過(guò)作輔助線后，很容易得到特殊三角形，利用特殊三角形性質(zhì)不難求得∠ABC的度數(shù).連接AC，因?yàn)樾≌叫蔚倪呴L(zhǎng)為1，所以由勾股定理可以得到AC=，BC=，AB=，即AC2+BC2=AB2，所以∠ACB=90°.又因?yàn)锳C=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，即∠ABC=45°，故選C.

點(diǎn)評(píng)：在有網(wǎng)格的圖形中要善于運(yùn)用勾股定理，來(lái)求邊的長(zhǎng)度或者是特殊角.本題有一定的難度，解題時(shí)需要善于想象，將題目中分散的條件集中在一起充分利用起來(lái).

四、運(yùn)用特殊函數(shù)值

例4如圖4，在⊙O中，直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，連接OB，CB，已知⊙O的半徑為2，AB=2，則∠BCD=________.

圖4

點(diǎn)評(píng)：這是經(jīng)典的垂徑定理考題，一般來(lái)說(shuō)垂徑定理與直角三角形是緊緊相聯(lián)，運(yùn)用勾股定理可以將其緊密地聯(lián)系在一起，其次值得關(guān)注的是還可以運(yùn)用圓的軸對(duì)稱性得到角度的關(guān)系.

五、利用軸對(duì)稱

例5 如圖5，在五邊形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N，使得△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（ ）

A.100° B.110° C.120° D.130°

圖6

解析：由于要求△AMN的周長(zhǎng)最小，所以想到要用軸對(duì)稱，然后利用三角形外角的性質(zhì)與已知條件求出∠AMN+∠ANM的度數(shù).如圖6，延長(zhǎng)AE至P，使EP=AE，延長(zhǎng)AB至Q，使BQ=AB，連接PQ，交BC于M，交DE于N，此時(shí)M、N即為所求，由對(duì)稱的性質(zhì)知：∠QAC=∠Q，∠PAN=∠P，又因?yàn)椤螦MN、∠ANM分別是△ACQ與△ANP的外角，所以∠AMN+∠ANM=2∠Q+2∠P=2（∠Q+∠P），因?yàn)椤螿AP=120°，所以∠Q+∠P=60°，所以∠AMN+∠ANM=120°.

點(diǎn)評(píng)：在牽扯到求周長(zhǎng)最小、距離和最短或水管最短等問(wèn)題時(shí)，通常是做軸對(duì)稱來(lái)完成，然后利用對(duì)稱的性質(zhì)求出角的大小.

當(dāng)然，求角度的題目還有很多，同時(shí)我們要注意許多題目符合新課改精神，由數(shù)學(xué)活動(dòng)開(kāi)始，讓學(xué)生在活動(dòng)中，運(yùn)用知識(shí)，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，再利用合適的方法，尋找其中隱含的規(guī)律，從而解決問(wèn)題.