☉江蘇省贛榆縣塔山中學(xué) 瞿世彩

把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，通常稱為數(shù)學(xué)模型.提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，最重要的是學(xué)生學(xué)到有用的數(shù)學(xué)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的方向.自實(shí)施新課標(biāo)以來，以物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)等學(xué)科知識為背景的跨學(xué)科綜合題頗受關(guān)注.有些問題用常規(guī)方法難以解決，往往需要構(gòu)建一個(gè)與之有關(guān)的數(shù)學(xué)模型.建立數(shù)學(xué)模型的過程稱為數(shù)學(xué)建模.數(shù)學(xué)建模就是要把現(xiàn)實(shí)生活中具體實(shí)體所包含的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)規(guī)律抽象出來，構(gòu)成數(shù)學(xué)模型，根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行推理求解，得出數(shù)學(xué)上的結(jié)論返回解釋驗(yàn)證，以求得實(shí)際問題的合理解決.本文結(jié)合幾道中考題，談?wù)剮追N數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建.

一、構(gòu)建方程模型

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，將生產(chǎn)與生活中的實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過程中體會到數(shù)學(xué)的工具性作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性.

例1讀詩詞解題

大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù).

十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符；哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？

解析：命題者借用蘇軾詩詞《念奴嬌赤壁懷古》的頭兩句，烘托出“面對興盛的江山，追憶古人勛業(yè)”的意境，強(qiáng)調(diào)對古文化的閱讀理解，貫通數(shù)學(xué)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)子的孜孜以求，報(bào)效國家的志氣，在素質(zhì)教育的背景下，不失是一道有所創(chuàng)新的好試題.解答時(shí)，需要透徹地分析實(shí)際問題中已知量與未知量間的關(guān)系，將問題中自然表達(dá)的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號表示的方程，建立方程模型，通過解方程來解決實(shí)際問題.把實(shí)際問題周瑜去世時(shí)的年齡抽象為數(shù)學(xué)問題求兩位數(shù)問題，建立方程的數(shù)學(xué)模型.可設(shè)周瑜去世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x-3，由題意得x2=10（x-3）+x，即x2-11x+30=0，解得x1=5，x2=6.當(dāng)x=5時(shí)，周瑜去世時(shí)的年齡為25歲，而非而立之年，不合題意，舍去.當(dāng)x=6時(shí)，周瑜年齡為36歲，完全符合題意.則周瑜去世時(shí)的年齡為36歲.

二、構(gòu)建函數(shù)模型

函數(shù)反映了事物間的廣泛聯(lián)系，揭示了現(xiàn)實(shí)世界眾多的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律.函數(shù)的最大特點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合，函數(shù)圖像將方程、不等式、幾何等知識融為一體.有些問題可考慮構(gòu)建函數(shù)模型來解，數(shù)形結(jié)合，既直觀又簡單.

例2（2001年山西?。┠成虉鲇?jì)劃投入一筆資金采購一批緊俏商品，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果月初出售，可獲利15%，并可用本和利再投資其他商品，到月末又可獲利10%；如果月末出售可獲利30%，但要付出倉儲費(fèi)用700元.請問：根據(jù)商場的資金狀況，如何購銷獲利較多？

解：設(shè)商場投入的資金為x元，到月末時(shí)的盈利數(shù)為y元.

如果月初出售，那么到月末盈利數(shù)為y1=［（1+15%）（1+10%）-1］x=0.265x；

如果月末出售，那么盈利數(shù)為y2=30%·x-700=0.3x-700.

則y1-y2=-0.035x+700=0.035（20000-x）.

當(dāng)0＜x＜20000時(shí)，y1-y2＞0，即y1＞y2，此時(shí)月初出售獲利較多；

當(dāng)x=20000時(shí)，y1=y2，月初出售和月末出售獲利一樣多；

當(dāng)x＞20000時(shí)，y1＜y2，月末出售獲利較多.

利用一次函數(shù)的單調(diào)性解題，在中考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的新變化中出現(xiàn)最多，它不同于單純的一次函數(shù)，其自變量的取值范圍往往有較多的限制條件.同時(shí)，在運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題時(shí)，還往往涉及到分類思想.這是中考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的熱點(diǎn).

三、構(gòu)建幾何圖形模型

幾何與人類生活經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際需要密切相關(guān).根據(jù)已知條件，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)膸缀螆D形，如直角三角形、全等三角形、正方形、圓、軸對稱圖形等，利用這些特殊圖形的性質(zhì)，解決問題，往往能化難為易，事半功倍.

例3（2006年河北?。﹫D1是某學(xué)校存放學(xué)生自行車的車棚的示意圖（尺寸如圖1所示），車棚頂部是圓柱側(cè)面的一部分，其展開圖是矩形.圖2是車棚頂部截面的示意圖，AB所在圓的圓心為O.車棚頂部是用一種帆布覆蓋的，求覆蓋棚頂?shù)姆嫉拿娣e（不考慮接縫等因素，計(jì)算結(jié)果保留π）.

圖1

圖2

解：連接OB，過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，交弧AB于F，如圖3.

由垂徑定理，可知E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是弧AB的中點(diǎn)，

所以EF是弓形的高.

設(shè)半徑為R米，則OE=（R-2）米.

圖3

在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2=（R-2）2+（2）2，解得R=4.

學(xué)生的建模能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數(shù)學(xué)模型意識貫穿到數(shù)學(xué)的始終，也就是要不斷地引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維的觀點(diǎn)去觀察、分析和表示各種事物關(guān)系、空間關(guān)系和數(shù)學(xué)信息，從紛繁復(fù)雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而達(dá)到用數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題，是數(shù)學(xué)建模意識成為學(xué)生思考問題的方法和習(xí)慣.

1.周南照，等.學(xué)會求知.北京：北京出版社，1999.

2.贊可夫和教師的談話.北京：北京教育科學(xué)出版社.

3.王迎東，張大英.從常見應(yīng)用性問題看數(shù)學(xué)模型.1997.