☉江蘇省海安縣丁所初級中學(xué) 濮建平

中考復(fù)習(xí)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，也是提高學(xué)生綜合探究能力的重要一環(huán)，它沒有固定的教材，也沒有固定的模式，因此，教學(xué)的許多實際問題值得我們實踐與思考.

課堂教學(xué)是一種有目標、求效率的活動，中考“專題復(fù)習(xí)課”更是如此.我們常常用效率和質(zhì)量去評判和鑒賞一堂數(shù)學(xué)課，與此同時我們或許還要用“成本”的眼光去思考我們的學(xué)生學(xué)習(xí)，特別是初三最后的緊張復(fù)習(xí)階段.這個成本是指學(xué)生上課達到的效果與所花的時間及投入的比.

近幾年各地市的中考綜合題中，基本圖形改編的試題出現(xiàn)的概率較大，由于方法不當(dāng)或思路不明，使解題難度加大.本人以2012年5月30日，筆者向同行展示的一節(jié)面向初三學(xué)生的中考專題復(fù)習(xí)課：“一個基本圖形”改編的中考題為例，談?wù)勚锌肌皩ｎ}復(fù)習(xí)課”的一些實踐與思考，以期在初三最后的專題復(fù)習(xí)中取得較好的效果.

圖1

一、教學(xué)設(shè)計簡案

上課前動畫演示基本圖形（圖1）.

1.考題引入，感受基本圖形的變化

教師出示幻燈片.

例1（2011年永州市）探究問題：如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證：DE+BF=EF（. 依次出示1—3小題）

（1）感悟解題方法，并完成下列填空：

如圖2，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，G

圖2

此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：

AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，

所以∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°.

因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上.

因此∠EAF=45°，所以∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°.

又∠1=∠2，所以∠1+∠3=45°.

即∠GAF=______.

又AG=AE，AF=AF，

所以△GAF≌______.

所以______=EF，故DE+BF=EF.

（2）方法遷移：

（3）問題拓展：

選題意圖：這是一道經(jīng)典的初中幾何證明題，每年各個地方的中考試題均會出現(xiàn)以此圖形為基礎(chǔ)的變式考題，本課正是圍繞本圖形展開的.

2.嘗試應(yīng)用，鞏固提高

教師出示幻燈片，學(xué)生練習(xí).

例2（2008年大興安嶺市）已知在正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N.當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時（如圖5），易證BM+DN=MN.

圖5

圖6

圖7

（1）當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時（如圖6），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明.

（2）當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖7的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想.

選題意圖：這是一道思路和方法同上的中考題，用來檢查前面知識的掌握情況.

3.問題拓展，再探新知

教師出示幻燈片，學(xué)生探究（先只出示問題，不出示后面的解題提示）.

例3（2009年益陽市）如圖8，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的長.

小萍同學(xué)靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題.

圖8

請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：

（1）分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，證明四邊形AEGF是正方形.

（2）設(shè)AD=x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值.

選題意圖：這道題與前面兩題在思路和方法上有革命性的改變，但卻是基本圖形的另一種變化，讓學(xué)生了解圖形的多變和內(nèi)在的聯(lián)系.

4.反饋練習(xí)，學(xué)以致用

教師出示幻燈片，學(xué)生練習(xí).

圖9

（1）求∠BAC的度數(shù).

（2）將△ACD沿AC折疊為△ACF，將△ABD沿AB折疊為△ABG，延長FC和GB相交于點H.求證：四邊形AFHG是正方形.

（3）若BD=6，CD=4，求AD的長.

選題意圖：這道題在基本圖形的基礎(chǔ)上，滲入了較簡單的圓的知識，進一步說明利用基本圖形改編試題是中考的常見形式.

5.小結(jié)提煉，知識建構(gòu)

教師出示本課的圖1，學(xué)生討論，歸納小結(jié)，教師總結(jié)提升.

小結(jié)：（1）在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，則下列命題等價：①∠EAF=45°；②DE+BF=EF；③△CEF的周長等于正方形ABCD周長的一半.

（2）如AH⊥EF，已知EH和FH，則可求AH的長.

6.布置作業(yè)，內(nèi)化提高

例5（2011年咸寧市）（1）如圖10，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數(shù).

（2）如 圖 11，在 Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，點M，N是BD邊上的任意兩點，且∠MAN=45°，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADH位置，連接NH，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）在圖10中，連接BD分別交AE，AF于點M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的長.

選題意圖：這道中考題的內(nèi)容緊扣本課的基本圖形，思路和方法有一定的類比性，但又有一定的新穎性，作為課后作業(yè)，比較到位.

圖10

圖11

二、精彩課堂生成片段展示

片段1：（完成1.1（1）后）

教師：同學(xué)們都能根據(jù)提示完成此題，在完成此題的過程中，大家用到了正方形的什么知識？

學(xué)生1：正方形的兩條邊AB=AD.

學(xué)生2：兩個角∠B=∠D=90°.

教師：很好，誰能把基本圖形中正方形的條件簡化嗎？

學(xué)生3：老師，可不可以把正方形改為四邊形，且AB=AD？

教師：不錯！大家說行不行呢？

學(xué)生4：不行，因為旋轉(zhuǎn)后點G，B，F(xiàn)不在同一條直線上！

教師：你總結(jié)得很好，你認為還需要什么呢？

學(xué)生4：∠B=∠D=90°.

教師：真聰明，現(xiàn)在大家能不能幫出卷老師出好第（2）小題，試試？

學(xué)生5：老師，∠EAF=45°不改嗎？

教師：你怎么想到的，（裝糊涂）我怎么沒想到呢！大家說呢？

學(xué)生4：老師，要改！

教師：怎么改！

教師：你們真正了不起，大家看看出卷老師的第（2）小題.

片段2：（完成 1.2嘗試應(yīng)用，鞏固提高后）

教師：同學(xué)們，剛才個個表現(xiàn)出色！這一課，我們是圍繞基本圖形展開的，現(xiàn)在老師出示另一道題，大家看看能不能解！（例2的題干，圖12）

學(xué)生思考后，百思不得其解.

教師：這個圖形和基本圖形有關(guān)系嗎？

學(xué)生目瞪口呆

教師：對比基本圖形，大家看看有沒有相似的地方！

圖12

學(xué)生1：有角都等于45°.

教師：前面兩題是通過旋轉(zhuǎn)思想來解決問題，那么這一題大家能不能通過其他的全等變換把此圖變?yōu)榛緢D形呢？

學(xué)生3：老師，不可能嗎？相差太多啦！

學(xué)生4：老師，旋轉(zhuǎn)是基本方法，軸對稱也是，可是軸對稱后的圖形不是基本圖形呀！

教師：（老師畫出軸對稱后的圖形）你怎么想到軸對稱的？

學(xué)生4：剛才第一題如果過點A作EF邊上的高就和現(xiàn)在的圖形差不多.

教師：老師為你的發(fā)現(xiàn)而高興，你對初中的全等變換掌握得很到位，課后大家討論看例1能不能這樣做，現(xiàn)在其他同學(xué)幫助他想一想，與基本圖形還差什么？

學(xué)生6：延長EB和FC交于點G，就變成基本圖形.

教師：對呀！那么四邊形AEGF是正方形嗎？

學(xué)生5：老師，是正方形呀！

教師：真的嗎？你怎么證明的呢？

學(xué)生5：（ 略）（其他同學(xué)恍然大悟，頻頻點頭）.

教師：這說明這一道題確實與基本圖形有關(guān)，且同學(xué)們想到了軸對稱，了不起！可是與我們解決這一題還相差很遠呢.再來，我們看誰先解出來！

學(xué)生4：（說出解法）（其他同學(xué)鼓掌）.

教師：我們的學(xué)生真是天才，我為我有這樣的學(xué)生而高興，剛才同學(xué)們解決問題的數(shù)學(xué)方法是什么？

全體同學(xué)：勾股定理列方程.

教師：同學(xué)們，初中數(shù)學(xué)代數(shù)是重點，方程是代數(shù)的核心，同學(xué)們可千萬不要忘記！

下面請大家完成2009年益陽市中考題.

三、課后反思

1.問題呈現(xiàn)

例1的呈現(xiàn)不是一步到位，而是分步給出，克服以往的整體出示，讓學(xué)生在老師的引導(dǎo)下步步深入，學(xué)會思考問題的方法，有利于學(xué)生弄清問題的實質(zhì).

例3的呈現(xiàn)更為大膽，學(xué)生看到問題后，根本沒有思路.可學(xué)生卻在老師的引導(dǎo)和自己的大膽猜想下，分層推進，漸漸深入，直至“廬山真面目 ”.

這種問題的呈現(xiàn)形式，向?qū)W生提出了挑戰(zhàn)，他們在老師的引導(dǎo)過程中經(jīng)歷思考、合作和探究，使得學(xué)生思維的活躍度、參與度達到了一個新的高度.

2.問題安排

例2是一道思路和方法同例1的中考題，這樣前后題有一定的聯(lián)系，學(xué)生不需要理解考題的背景，降低審題成本，讓學(xué)生在已建構(gòu)的知識基礎(chǔ)上，在同一個問題背景下思考，進行探究，抓住問題慣性，大大降低了學(xué)生在課堂上的審題成本.

例4也是一道思路和方法同例3的中考題，只是增加了圓的知識，而考查的內(nèi)容和上一題幾乎一樣，讓學(xué)生通過練習(xí)，達到做一題，會一類，通一片的效果，使學(xué)生更好地認清問題的本質(zhì)，提高學(xué)生獨立探究和解題能力.同時由于這道題學(xué)生認清問題的本質(zhì)后，可以類比上一題的解法，抓住方法慣性，降低學(xué)生解題的時間成本.

3.課后鞏固

這道中考題作為課后作業(yè)，能有效提高課堂教學(xué)效果，及時鞏固課內(nèi)所學(xué)知識.同時第（1）、（3）小題與基本圖形息息相關(guān)，學(xué)生能抓住問題慣性降低審題成本；第（3）小題求AG的長與課堂方法一致，學(xué)生能抓住方法慣性降低時間成本.

另外中考專題復(fù)習(xí)階段，學(xué)生時間緊、任務(wù)重.此題作為這節(jié)課的課后作業(yè)，學(xué)生的思維要遠遠低于其他時間布置，有效降低了學(xué)生的思維成本，卻達到了較好的效果.

4.課堂結(jié)構(gòu)

整堂課思路清晰，環(huán)環(huán)相扣，重難點突出，設(shè)計合理.學(xué)生既有類比學(xué)習(xí)的過程，又有大膽猜想的過程；既有學(xué)為所用的練習(xí)，又有知識內(nèi)化的提煉；既有學(xué)生的靈感爆發(fā)，又有老師的點睛點撥.

5.課堂內(nèi)容

在實施有效課堂教學(xué)，構(gòu)建高效課堂的今天，中考專題復(fù)習(xí)課怎么辦，是“老調(diào)重彈”，還是“老歌新唱”，答案是肯定的.只有我們老師樹立全心全意為學(xué)生服務(wù)的思想，肯吃苦、肯鉆研，一定能“老歌新唱”，唱出學(xué)生新的好奇心、新的發(fā)現(xiàn)、新的數(shù)學(xué)能力.本節(jié)課利用一個基本圖形，唱出了初中數(shù)學(xué)的部分核心內(nèi)容：旋轉(zhuǎn)、軸對稱、正方形、圓、勾股定理、方程；唱出了學(xué)生以簡馭繁、審?fù)娈?、同中觀異的好思維.

四、結(jié)束語

中考專題復(fù)習(xí)課中，我們要牢固樹立“成本意識”，抓住問題慣性、方法慣性和思維慣性，真正把學(xué)生當(dāng)作學(xué)習(xí)的主體，改變教師的角色意識，全心全意為學(xué)生服務(wù)，充分利用課堂教學(xué)時間，尤其是課堂中學(xué)生的實用學(xué)習(xí)時間，既達到提高教學(xué)質(zhì)量的目的，又達到真正“減負”的目的.當(dāng)然，只有老師的“大成本”，才會有學(xué)生的“小成本”.

1.陸志強.換個角度看課堂教學(xué)成本.中學(xué)數(shù)學(xué)，2012，10.