☉江蘇省建湖縣實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán)匯文校區(qū) 曾 琴

全等三角形是初中生必須掌握的三角形兩大知識點(diǎn)之一.三角形全等為解決線段相等、角相等的問題提供了重要工具，也是各省市中考的熱門內(nèi)容.近些年來出現(xiàn)了很多新穎別致的試題以及新編制的練習(xí)題，引起師生的關(guān)注.現(xiàn)舉例解析.

例1如圖1，在△ABC與△DCB中，AC=DB，要使△ABC≌△DCB，則還需增加一個條件是_________.

解析：由AC=DB，BC=CB，要使△ABC≌△DCB，可根據(jù)SSS添加AB=DC，或根據(jù)SAS添加∠ACB=∠DBC等.

點(diǎn)評：本題是一道條件開放題，具有答案不唯一的特點(diǎn)，在添加條件時，要結(jié)合圖形挖掘隱含的公共角、公共邊、對頂角等條件.

例2如圖2，在△ABC與△DEF中，給出下列六個條件：（1）AB=DE；（2）BC=EF；（3）AC=DF；（4）∠A=∠D；（5）∠B=∠E；（6）∠C=∠F，以其中三個條件為已知，不能判斷△ABC與△DEF全等的是（ ）.

圖2

A.（1）（2）（5）B.（1）（2）（3）

C.（1）（4）（6）D.（2）（3）（4）

解析：結(jié)合圖形，運(yùn)用全等三角形識別方法逐一分析：A答案可用SAS判定△ABC與△DEF全等；B答案可用SSS判定△ABC與△DEF全等；C答案可用AAS判定△ABC與△DEF全等.故應(yīng)選D.

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形識別的方法，設(shè)題十分巧妙.必須吃透全等三角形每一個識別方法的含義，以及結(jié)合圖形思考，方能正確解題.此題中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，如本題D答案的條件是兩邊及一角對應(yīng)相等，由圖形可知，并不是這兩邊的夾角對應(yīng)相等，它用的是“邊邊角”，故不能判斷△ABC與△DEF全等.

例3已知點(diǎn)E、F在△BAC的邊AB所在的直線上，且AE=BF，F(xiàn)H∥EG∥AC，F(xiàn)H、EG分別交邊BC所在的直線于點(diǎn)H，G.

（1）如圖3，如果點(diǎn)E、F在邊AB上，那么EG+FH=AC；

（2）如圖4，如果點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在AB的延長線上，那么線段EG、FH、AC的長度關(guān)系是_________；

（3）如圖5，如果點(diǎn)E在AB的反向延長線上，點(diǎn)F在AB的延長線上，那么線段EG、FH、AC的長度關(guān)系是_______.

圖3

圖4

圖5

對圖3～圖5三種情況的結(jié)論，請任選一個給予證明.

解析：這是一道運(yùn)動型探索題，要求同學(xué)們認(rèn)真觀察圖形的變化，并通過類比法進(jìn)行合理地猜想，再通過推理論證的思維方法進(jìn)行論證.（2）應(yīng)填EG+FH=AC；（3）應(yīng)填EG-FH=AC.

證明（2）：如圖6，過點(diǎn)E作EP∥BC交AC于P.因?yàn)镋G∥AC，所以四邊形EPCG為平行四邊形，所以EG=PC.

因?yàn)镕H∥EG∥AC，所以∠A=∠F，∠FBH=∠ABC=∠AEP.

又因?yàn)锳E=BF，所以△BHF≌△EPA，所以HF=AP，

所以AC=PC+AP=EG+HF，即EF+FH=AC.

點(diǎn)評：解答此類問題的策略是：從已知開始，層層演繹推理，后一問可用前一問的結(jié)論，直至結(jié)論的推出.請同學(xué)們探討一下（3）的證明.

例4閱讀下題及證明過程：

已知：如圖7，D是△ABC中BC邊上一點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE.

求證：∠BAE＝∠CAE.

證明：在△AEB和△AEC中，

所以△AEB≌△AEC，（第一步）

所以∠BAE＝∠CAE（.第二步）

圖7

問上面的證明過程是否正確，若正確，請寫出每一步推理的依據(jù)；若不正確，請指出錯在哪一步，并寫出你認(rèn)為正確的證明過程.

解析：上面的證明過程是錯誤的，錯在第一步.正確證明如下：

因?yàn)镋B＝EC，所以∠1＝∠2.

又∠ABE＝∠ACE，所以∠ABC＝∠ACB.

所以AB＝AC.

所以△ABE≌△ACE，所以∠BAE=∠CAE.

點(diǎn)評：這是一道閱讀糾錯題，解答時，應(yīng)認(rèn)真閱讀題目和解題過程的每一步，依據(jù)概念、定理、公式、法則等作出判斷，并按要求寫出正確的解題過程.