☉浙江省嵊州市教研室 蔡建鋒

隨著新課程標準的修訂和實施，數(shù)學(xué)教育要堅持德育為先、全面發(fā)展、能力為重、以人為本、與時具進.而“新定義”型數(shù)學(xué)試題，是以學(xué)生已學(xué)的數(shù)學(xué)知識和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，給出了一個“新概念”，讓學(xué)生自主閱讀和運用這個“新概念”來解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.這樣的試題能較好地體現(xiàn)新課程標準的基本理念，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)閱讀理解能力、數(shù)學(xué)抽象概括能力和對“新概念”的實際應(yīng)用能力，注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.現(xiàn)以紹興市近六年來的“新定義”型中考題舉例說明如下：

例1（2007年）設(shè)關(guān)于x的一次函數(shù)y=a1x+b1與y=a2x+b2，則稱函數(shù)y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2）（其中m+n=1）為此兩個函數(shù)的生成函數(shù).

（1）當(dāng)x=1時，求函數(shù)y=x+1與y=2x的生成函數(shù)的值；

（2）若函數(shù)y=a1x+b1與y=a2x+b2的圖像的交點為P，判斷點P是否在此兩個函數(shù)的生成函數(shù)的圖像上，并說明理由.

解：（1）當(dāng)x=1時，y=m（x+1）+n（2x）=m（1+1）+n（2×1）=2（m+n）.

因為m+n=1，所以y=2.

（2）點P在兩個函數(shù)的生成函數(shù)的圖像上，設(shè)點P的坐標為（a，b）.

因為a1×a+b1=b，a2×a+b2=b，所以當(dāng)x=a時，

y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2）=m（a1×a+b1）+n（a2×a+b2）=mb+nb=b（m+n）=b.

即點P在此兩個函數(shù)的生成函數(shù)的圖像上.

評注：本試題在學(xué)生已學(xué)一次函數(shù)知識的基礎(chǔ)上，通過對兩個一次函數(shù)解析式的重新組合后，給出了“生成函數(shù)”這一新概念，學(xué)生通過“新概念”的學(xué)習(xí)，并運用這一“新概念”來解決相應(yīng)的問題.第（2）小題有一定的難度，較好地滲透了點的坐標與函數(shù)解析式之間的對應(yīng)關(guān)系，許多考生是先求出直線y=a1x+b1與y=a2x+b2的交點坐標，再代入生成函數(shù)中加以驗證，這樣的解法難而繁，無論從知識上還是能力上都超出了新課程標準的要求，導(dǎo)致考生無法得到最后結(jié)果.

例2（2008年）定義［p，q］為一次函數(shù)y=px+q的特征數(shù).

（1）若特征數(shù)是［2，k-2］的一次函數(shù)為正比例函數(shù)，求k的值；

（2）設(shè)點A，B分別為拋物線y=（x+m）（x-2）與x，y軸的交點，其中m＞0，且△OAB的面積為4，O為原點，求圖像過A，B兩點的一次函數(shù)的特征數(shù).

解：（1）因特征數(shù)為［2，k-2］的一次函數(shù)為y=2x+k-2，

而此函數(shù)為正比例函數(shù)，所以k-2=0，解得k=2.

（2）由題意知拋物線與x軸的交點為A1（-m，0），A2（2，0），與y軸的交點為B（0，-2m）.

因當(dāng)m=2時，滿足題設(shè)條件.

故此時拋物線為y=（x+2）（x-2）.

它與x軸的交點為（-2，0），（2，0），與y軸的交點為（0，-4）.

所以一次函數(shù)為y=-2x-4或y=2x-4，

故特征數(shù)為［-2，-4］或［2，-4］.

評注：本題是以一次函數(shù)的解析式中的兩個待定系數(shù)為知識基礎(chǔ)，把能確定一次函數(shù)解析式的兩個待定系數(shù)定義為這個一次函數(shù)解析式的“特征數(shù)”，揭示了一次函數(shù)解析式的本質(zhì)特征，要求學(xué)生理解新定義“特征數(shù)”的正確意義和正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系，并運用新概念解決新問題，需要學(xué)生具有較好的分析問題和解決問題的能力.

圖1

例3（2009年）若從矩形一邊上的點到對邊的視角是直角，則稱該點為直角點.例如，如圖1所示的矩形ABCD中，點M在CD邊上，連AM，BM，∠AMB=90°，則點M為直角點.

（1）若矩形ABCD一邊CD上的直角點M為中點，問該矩形的鄰邊具有何種數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

（2）若點M，N分別為矩形ABCD邊CD，AB上的直角點，且AB=4，BC=，求MN的長.

解：（1）因直角點M為CD邊的中點，所以MD=MC.

又AD=BC，∠D=∠C=90°，

所以△ADM≌△BCM，∠AMD=∠BMC.

因∠AMB=90°，所以∠AMD+∠BMC=90°.

所以∠AMD=∠BMC=45°，所以AD=DM，所以AB=2AD.

（2）如圖2，作MH⊥AB于點H，連接MN.

圖2

因∠AMB=90°，所以∠AMD+∠BMC=90°.

因∠AMD+∠DAM=90°，所以∠DAM=∠BMC.

又∠D=∠C，所以△ADM∽△MCB.

當(dāng)MC=1時，AN=1，NH=2.

所以MN2=MH2+NH2=（）2+22=7，解得MN=

當(dāng)MC=3時，MN=BC=.綜上所述，MN=或.

評注：本題是在學(xué)生已學(xué)直角三角形、矩形、和相似三角形等有關(guān)知識的基礎(chǔ)上，給出了一個矩形的“直角點”的新概念.解決本題的關(guān)鍵是正確理解新概念“直角點”的含義，結(jié)合直角三角形全等、相似、勾股定理和矩形的有關(guān)性質(zhì)來解決問題，關(guān)注了學(xué)生的閱讀理解能力和應(yīng)用已學(xué)知識的能力，滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

例4（2010年）在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像與坐標軸圍成的三角形，叫做此一次函數(shù)的坐標三角形.如圖3中的一次函數(shù)的圖像與x，y軸分別交于點A，B，則△OAB為此函數(shù)的坐標三角形.

圖3

評注：本題是以一次函數(shù)的圖像與坐標軸為知識背景，把直線與坐標軸圍成的三角形定義為此函數(shù)的“坐標三角形”，較好地滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.要求學(xué)生理解新定義“此函數(shù)的坐標三角形”的正確意義，確定“坐標三角形”的關(guān)鍵是先要確定一次函數(shù)的解析式，所以解決（2）首先要對b進行分類討論來確定函數(shù)的解析式，再用新概念來解決問題.

例5（2011年）在平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，若與坐標軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個點叫做和諧點.

圖4

例如，圖4中過點P分別作x軸，y軸的垂線，與坐標軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等，則點P是和諧點.

（1）判斷點M（1，2），N（4，4）是否為和諧點，并說明理由；

（2）若和諧點P（a，3）在直線y=-x+b（b為常數(shù)）上，求a，b的值.

解：（1）因1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4），

所以點M不是和諧點，點N是和諧點.

（2）由題意得：

當(dāng)a＞0時，（a+3）×2=3a，所以a=6.

點P（a，3）在直線y=-x+b上，代入得b=9；

當(dāng)a＜0時，（-a+3）×2=-3a，所以a=-6.

點P（a，3）在直線y=-x+b上，代入得b=-3.

所以a=6，b=9或a=-6，b=-3.

評注：本題是以直角坐標系中點的幾何意義和矩形的周長、面積為知識基礎(chǔ)，對滿足條件的特殊點定義為“和諧點”.要求學(xué)生理解新定義“和諧點”的正確意義和點的坐標的幾何意義，結(jié)合一次函數(shù)的解析式，運用圖像上的點與函數(shù)解析式之間的對應(yīng)關(guān)系，并運用新概念解決新問題，需要學(xué)生具有較好的分析問題和解決問題的能力.

例6（2012年）聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念.

定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心.

舉例：如圖5，若PA=PB，則點P為△ABC的準外心.

探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準外心P在AC邊上，試探究PA的長.

圖5

圖6

解：應(yīng)用：①若PB=PC，連接PB，則∠PCB=∠PBC.

因CD為等邊三角形的高，所以AD=BD，∠PCB=30°，所以∠PBD=∠PBC=30°.

②若PA=PC，連接PA，同理可得PA≠PC.

②若PA=PC，則PA=2.

圖7

評注：本題是在學(xué)生已學(xué)三角形外心概念的基礎(chǔ)上，給出了三角形“準外心”的定義，通過閱讀和理解“到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心”的定義，讓學(xué)生經(jīng)歷舉例、應(yīng)用和探究三個不同層次的問題，從簡單的閱讀理解到特殊性問題，最后要求學(xué)生開放性地分類探究，這道題不同于常規(guī)幾何題，要求學(xué)生具有閱讀理解、思考分析、類比猜想和分類討論的能力，這樣的試題有利于學(xué)生理性思維能力和創(chuàng)新精神的培養(yǎng).

新定義的試題中所給出的情景是考生所不熟知的，具有背景的新穎而公平的特點.這類問題在設(shè)置上充分體現(xiàn)了層次性和基礎(chǔ)性，考慮不同層次學(xué)生的需求，并為優(yōu)秀生提供更大的發(fā)揮空間.解答“新定義”試題，考生需要通過閱讀題目，明白題意，運用知識的類比和遷移，才能解決問題.這類試題較好地考查了學(xué)生的知識基礎(chǔ)，考查了學(xué)生的能力，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)直覺、合情推理能力和類比思想，以及數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).這類問題具有探究價值，對應(yīng)用新知識解決問題的能力提出了較高的要求，具有良好的效度和區(qū)分度.