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        對近幾年中考『新定義』型試題的賞析

        2012-07-25 07:25:04浙江省嵊州市教研室蔡建鋒
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年20期
        關(guān)鍵詞:直角矩形本題

        ☉浙江省嵊州市教研室 蔡建鋒

        隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂和實(shí)施,數(shù)學(xué)教育要堅(jiān)持德育為先、全面發(fā)展、能力為重、以人為本、與時具進(jìn).而“新定義”型數(shù)學(xué)試題,是以學(xué)生已學(xué)的數(shù)學(xué)知識和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),給出了一個“新概念”,讓學(xué)生自主閱讀和運(yùn)用這個“新概念”來解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.這樣的試題能較好地體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念,注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)閱讀理解能力、數(shù)學(xué)抽象概括能力和對“新概念”的實(shí)際應(yīng)用能力,注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.現(xiàn)以紹興市近六年來的“新定義”型中考題舉例說明如下:

        例1(2007年)設(shè)關(guān)于x的一次函數(shù)y=a1x+b1與y=a2x+b2,則稱函數(shù)y=m(a1x+b1)+n(a2x+b2)(其中m+n=1)為此兩個函數(shù)的生成函數(shù).

        (1)當(dāng)x=1時,求函數(shù)y=x+1與y=2x的生成函數(shù)的值;

        (2)若函數(shù)y=a1x+b1與y=a2x+b2的圖像的交點(diǎn)為P,判斷點(diǎn)P是否在此兩個函數(shù)的生成函數(shù)的圖像上,并說明理由.

        解:(1)當(dāng)x=1時,y=m(x+1)+n(2x)=m(1+1)+n(2×1)=2(m+n).

        因?yàn)閙+n=1,所以y=2.

        (2)點(diǎn)P在兩個函數(shù)的生成函數(shù)的圖像上,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b).

        因?yàn)閍1×a+b1=b,a2×a+b2=b,所以當(dāng)x=a時,

        y=m(a1x+b1)+n(a2x+b2)=m(a1×a+b1)+n(a2×a+b2)=mb+nb=b(m+n)=b.

        即點(diǎn)P在此兩個函數(shù)的生成函數(shù)的圖像上.

        評注:本試題在學(xué)生已學(xué)一次函數(shù)知識的基礎(chǔ)上,通過對兩個一次函數(shù)解析式的重新組合后,給出了“生成函數(shù)”這一新概念,學(xué)生通過“新概念”的學(xué)習(xí),并運(yùn)用這一“新概念”來解決相應(yīng)的問題.第(2)小題有一定的難度,較好地滲透了點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式之間的對應(yīng)關(guān)系,許多考生是先求出直線y=a1x+b1與y=a2x+b2的交點(diǎn)坐標(biāo),再代入生成函數(shù)中加以驗(yàn)證,這樣的解法難而繁,無論從知識上還是能力上都超出了新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,導(dǎo)致考生無法得到最后結(jié)果.

        例2(2008年)定義[p,q]為一次函數(shù)y=px+q的特征數(shù).

        (1)若特征數(shù)是[2,k-2]的一次函數(shù)為正比例函數(shù),求k的值;

        (2)設(shè)點(diǎn)A,B分別為拋物線y=(x+m)(x-2)與x,y軸的交點(diǎn),其中m>0,且△OAB的面積為4,O為原點(diǎn),求圖像過A,B兩點(diǎn)的一次函數(shù)的特征數(shù).

        解:(1)因特征數(shù)為[2,k-2]的一次函數(shù)為y=2x+k-2,

        而此函數(shù)為正比例函數(shù),所以k-2=0,解得k=2.

        (2)由題意知拋物線與x軸的交點(diǎn)為A1(-m,0),A2(2,0),與y軸的交點(diǎn)為B(0,-2m).

        因當(dāng)m=2時,滿足題設(shè)條件.

        故此時拋物線為y=(x+2)(x-2).

        它與x軸的交點(diǎn)為(-2,0),(2,0),與y軸的交點(diǎn)為(0,-4).

        所以一次函數(shù)為y=-2x-4或y=2x-4,

        故特征數(shù)為[-2,-4]或[2,-4].

        評注:本題是以一次函數(shù)的解析式中的兩個待定系數(shù)為知識基礎(chǔ),把能確定一次函數(shù)解析式的兩個待定系數(shù)定義為這個一次函數(shù)解析式的“特征數(shù)”,揭示了一次函數(shù)解析式的本質(zhì)特征,要求學(xué)生理解新定義“特征數(shù)”的正確意義和正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系,并運(yùn)用新概念解決新問題,需要學(xué)生具有較好的分析問題和解決問題的能力.

        圖1

        例3(2009年)若從矩形一邊上的點(diǎn)到對邊的視角是直角,則稱該點(diǎn)為直角點(diǎn).例如,如圖1所示的矩形ABCD中,點(diǎn)M在CD邊上,連AM,BM,∠AMB=90°,則點(diǎn)M為直角點(diǎn).

        (1)若矩形ABCD一邊CD上的直角點(diǎn)M為中點(diǎn),問該矩形的鄰邊具有何種數(shù)量關(guān)系?并說明理由;

        (2)若點(diǎn)M,N分別為矩形ABCD邊CD,AB上的直角點(diǎn),且AB=4,BC=,求MN的長.

        解:(1)因直角點(diǎn)M為CD邊的中點(diǎn),所以MD=MC.

        又AD=BC,∠D=∠C=90°,

        所以△ADM≌△BCM,∠AMD=∠BMC.

        因∠AMB=90°,所以∠AMD+∠BMC=90°.

        所以∠AMD=∠BMC=45°,所以AD=DM,所以AB=2AD.

        (2)如圖2,作MH⊥AB于點(diǎn)H,連接MN.

        圖2

        因∠AMB=90°,所以∠AMD+∠BMC=90°.

        因∠AMD+∠DAM=90°,所以∠DAM=∠BMC.

        又∠D=∠C,所以△ADM∽△MCB.

        當(dāng)MC=1時,AN=1,NH=2.

        所以MN2=MH2+NH2=()2+22=7,解得MN=

        當(dāng)MC=3時,MN=BC=.綜上所述,MN=或.

        評注:本題是在學(xué)生已學(xué)直角三角形、矩形、和相似三角形等有關(guān)知識的基礎(chǔ)上,給出了一個矩形的“直角點(diǎn)”的新概念.解決本題的關(guān)鍵是正確理解新概念“直角點(diǎn)”的含義,結(jié)合直角三角形全等、相似、勾股定理和矩形的有關(guān)性質(zhì)來解決問題,關(guān)注了學(xué)生的閱讀理解能力和應(yīng)用已學(xué)知識的能力,滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

        例4(2010年)在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形,叫做此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形.如圖3中的一次函數(shù)的圖像與x,y軸分別交于點(diǎn)A,B,則△OAB為此函數(shù)的坐標(biāo)三角形.

        圖3

        評注:本題是以一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸為知識背景,把直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形定義為此函數(shù)的“坐標(biāo)三角形”,較好地滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.要求學(xué)生理解新定義“此函數(shù)的坐標(biāo)三角形”的正確意義,確定“坐標(biāo)三角形”的關(guān)鍵是先要確定一次函數(shù)的解析式,所以解決(2)首先要對b進(jìn)行分類討論來確定函數(shù)的解析式,再用新概念來解決問題.

        例5(2011年)在平面直角坐標(biāo)系中,過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線,若與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長與面積相等,則這個點(diǎn)叫做和諧點(diǎn).

        圖4

        例如,圖4中過點(diǎn)P分別作x軸,y軸的垂線,與坐標(biāo)軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等,則點(diǎn)P是和諧點(diǎn).

        (1)判斷點(diǎn)M(1,2),N(4,4)是否為和諧點(diǎn),并說明理由;

        (2)若和諧點(diǎn)P(a,3)在直線y=-x+b(b為常數(shù))上,求a,b的值.

        解:(1)因1×2≠2×(1+2),4×4=2×(4+4),

        所以點(diǎn)M不是和諧點(diǎn),點(diǎn)N是和諧點(diǎn).

        (2)由題意得:

        當(dāng)a>0時,(a+3)×2=3a,所以a=6.

        點(diǎn)P(a,3)在直線y=-x+b上,代入得b=9;

        當(dāng)a<0時,(-a+3)×2=-3a,所以a=-6.

        點(diǎn)P(a,3)在直線y=-x+b上,代入得b=-3.

        所以a=6,b=9或a=-6,b=-3.

        評注:本題是以直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的幾何意義和矩形的周長、面積為知識基礎(chǔ),對滿足條件的特殊點(diǎn)定義為“和諧點(diǎn)”.要求學(xué)生理解新定義“和諧點(diǎn)”的正確意義和點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義,結(jié)合一次函數(shù)的解析式,運(yùn)用圖像上的點(diǎn)與函數(shù)解析式之間的對應(yīng)關(guān)系,并運(yùn)用新概念解決新問題,需要學(xué)生具有較好的分析問題和解決問題的能力.

        例6(2012年)聯(lián)想三角形外心的概念,我們可引入如下概念.

        定義:到三角形的兩個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn),叫做此三角形的準(zhǔn)外心.

        舉例:如圖5,若PA=PB,則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心.

        探究:已知△ABC為直角三角形,斜邊BC=5,AB=3,準(zhǔn)外心P在AC邊上,試探究PA的長.

        圖5

        圖6

        解:應(yīng)用:①若PB=PC,連接PB,則∠PCB=∠PBC.

        因CD為等邊三角形的高,所以AD=BD,∠PCB=30°,所以∠PBD=∠PBC=30°.

        ②若PA=PC,連接PA,同理可得PA≠PC.

        ②若PA=PC,則PA=2.

        圖7

        評注:本題是在學(xué)生已學(xué)三角形外心概念的基礎(chǔ)上,給出了三角形“準(zhǔn)外心”的定義,通過閱讀和理解“到三角形的兩個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn),叫做此三角形的準(zhǔn)外心”的定義,讓學(xué)生經(jīng)歷舉例、應(yīng)用和探究三個不同層次的問題,從簡單的閱讀理解到特殊性問題,最后要求學(xué)生開放性地分類探究,這道題不同于常規(guī)幾何題,要求學(xué)生具有閱讀理解、思考分析、類比猜想和分類討論的能力,這樣的試題有利于學(xué)生理性思維能力和創(chuàng)新精神的培養(yǎng).

        新定義的試題中所給出的情景是考生所不熟知的,具有背景的新穎而公平的特點(diǎn).這類問題在設(shè)置上充分體現(xiàn)了層次性和基礎(chǔ)性,考慮不同層次學(xué)生的需求,并為優(yōu)秀生提供更大的發(fā)揮空間.解答“新定義”試題,考生需要通過閱讀題目,明白題意,運(yùn)用知識的類比和遷移,才能解決問題.這類試題較好地考查了學(xué)生的知識基礎(chǔ),考查了學(xué)生的能力,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)直覺、合情推理能力和類比思想,以及數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).這類問題具有探究價值,對應(yīng)用新知識解決問題的能力提出了較高的要求,具有良好的效度和區(qū)分度.

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