肖海燕

(湖北第二師范學院數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院，湖北武漢430205)

拍賣理論的研究在國外已經(jīng)發(fā)展到成熟階段。MILGROM和 WEBER［1］在競買者信息相互影響下得出一定的序關(guān)系，并對保留價和入場費的引入進行了討論。進而許多學者在有效性［2］、非對稱［3］、共謀環(huán)［4］、多物品拍賣［5－6］、多屬性拍賣［7－8］和序貫拍賣［9］領(lǐng)域做了許多工作。

而在實際拍賣操作中賣方往往需要委托第三方(拍賣行)對物品進行拍賣，拍賣行對成交的拍賣品收取傭金，一般由中標者支付。王彥［10］考慮了在風險中性下，傭金收取對拍賣結(jié)果的影響。文獻［11］在投標者是風險規(guī)避型的情況下將傭金提成引入拍賣理論中，在對稱獨立私有價值情況下進行討論，得出以下結(jié)論:傭金比例k越高，投標者報價越低，賣方的期望收益越低，拍賣行的期望收益越大，投標者的期望效用與k無關(guān)。因此在實際拍賣中，投標者不用為傭金比例的高低擔心，傭金比例越高，投標人對物品的評價會降低，最后付給賣方的價格也會降低。

這里就文獻［12］未研究完的問題繼續(xù)進行探討:在投標者為風險規(guī)避型下，①在獨立私有價值(SIPV)傭金收取模型下，一價、二價拍賣期望收益比較;②在關(guān)聯(lián)價值模型下傭金收取對拍賣的影響。

1 SIPV模型下一價拍賣和二價拍賣時拍賣方收益比較

設拍賣方拍賣一個不可分割的物品，有N個買方對該物品感興趣，并假設每個投標者都是風險規(guī)避型的，具有相同的效用函數(shù)u(x)，滿足u(0)=0，u'＞0，u″＜0，且對該物品的估值為 Xi，i=1，2，…，N，只有買方自己知道 Xi的大小，賣方及其他買方都不知道，但他們會認為Xi是［0，ω］上的概率分布函數(shù)為Fi(xi)，密度函數(shù)為fi(xi)的隨機變量。現(xiàn)假設所有投標者是對稱的，即?x∈［0，ω］，F(xiàn)i(x)=Fj(x)=F(x)，i=1，2，…，N，j=1，2，…，N，拍賣行按成交價的比例k收取傭金。以上所有假設對于買方和賣方及拍賣行來說是共識。由對稱性，考慮投標者1，記為 Y1=maxj≠1Xj為除第1個投標者以外其余N－1個投標者估值中的最大者。于是隨機變量Y1的分布函數(shù)為G(x)=F(x)N－1，密度函數(shù)為 g(x)=G'(x)。

下面證明在一價拍賣下，賣方期望收益在投標者是風險規(guī)避型時比投標者是風險中性時高。由文獻［11］可知，在風險規(guī)避情況下，密封一價拍賣的報價α(x)滿足:

由式(1)可知當投標者為風險中性時(u(x)=x)，式(1)可變?yōu)?

其中，γ(x)為在SIPV模型下風險中性投標者的均衡策略。

由于效用函數(shù) u(x)滿足 u(0)=0，u'＞0，u″＜0，因此，，則由式(1)，可得以下不等式:

由式(2)和式(3)可知:

又因為:

令H(x)=α(x) －γ(x)，由式(4)和式(5)知:

H(0)=0，且?x＞0，H'(x) ＞0

從而?x＞0，H(x) ＞0，即:

α(x) ＞ γ(x)

因此在一價拍賣下，風險規(guī)避者的均衡報價更高，當然賣方的期望收益也高。由文獻［11］可知，當投標者為風險中性時，在二價拍賣下也有，即在二價拍賣下風險規(guī)避型投標者和風險中性投標者的均衡出價相同，因而賣方的期望收益相同。再由文獻［12］可知，在投標者為風險中性時，一價拍賣和二價拍賣產(chǎn)生相同的期望收益。由以上分析可得出如下關(guān)系:風險規(guī)避下一價拍賣的期望收益＞風險中性下一價拍賣的期望收益=風險中性下二價拍賣的期望收益=風險規(guī)避下二價拍賣的期望收益。

結(jié)論1 投標者是風險規(guī)避型的并且具有相同效用函數(shù)，在引入傭金的SIPV模型中，賣方的期望收益在一價拍賣機制下比在二價拍賣機制下要高。

2 關(guān)聯(lián)價值模型下傭金的影響

設有N個投標者，并假設每個投標者都是風險規(guī)避型的，具有相同的效用函數(shù)u(x)，滿足u(0)=0，u'＞0，u″＜0，Xi(i=1，2，…，N)為投標者i對物品的私人信息，是一個在［0，ω］上的隨機變量，令 Vi=vi(X1，X2，…，XN)為投標者 i關(guān)于物品的估值，并且關(guān)于其所有變量是非降、連續(xù)二次可微的，特別地，關(guān)于Xi是嚴格遞增的，f(x)為X=(X1，X2，…，XN)的密度函數(shù)，且 f關(guān)于 X=(X1，X2，…，XN) 對稱，記 為 Y1=maxj≠1Xj，設為在X1=x條件下Y1的條件概率分布，為其條件密度函數(shù)。

2.1 密封二價拍賣

由對稱性，考慮投標者1，若投標者1的私人信息為X1=x，其報價為βII(z)，則期望效用為:

由式(6)可推出:

由于效用函數(shù)u(x)滿足u(0)=0，u'＞0，則:

可得:

(1)賣方的期望收益為:

其中，eII(X)為關(guān)聯(lián)價值模型二價拍賣機制下的期望支付。

(2)拍賣行的期望收益為:

(3)投標者的期望效用為:

2.2 密封一價拍賣

由對稱性，考慮投標者1，若投標者1的私人信息為X1=x，其報價為α1(z)，則期望效用為:

可以看出式(8)的解M(x)與k無關(guān)，并且容易證明M(x)正好是關(guān)聯(lián)價值模型下無傭金提成時風險規(guī)避型投標者的均衡出價。

(1)賣方的期望收益為:

(2)拍賣行的期望收益為:

(3)投標者的期望效用為:

結(jié)論2 在關(guān)聯(lián)價值模型下，投標者為風險規(guī)避型且有傭金提成時，投標者的出價為無傭金提成時投標者出價的，并且容易得到:投標者的期望效用與k無關(guān)，而賣方的期望收益隨k的增加而減少。

3 結(jié)論

在投標者是風險規(guī)避型的情況下將傭金提成引入拍賣理論中，可以得出以下結(jié)論:

(1)在獨立私有價值、有傭金提成且投標者是風險規(guī)避型的環(huán)境中，賣方的期望收益在一價拍賣機制下比在二價拍賣機制下要高;

(2)在關(guān)聯(lián)價值模型下，傭金比例k越高，投標者報價越低，賣方的期望收益越低，拍賣行的期望收益越大，投標者的期望效用與k無關(guān)。

因此，在實際拍賣中，投標者不用為傭金比例的高低擔心，傭金比例越高，投標人對物品的評價會降低，最后付給賣方的價格也會降低。有待進一步研究的問題是:在關(guān)聯(lián)價值模型下，投標者為風險規(guī)避型，考慮一價和二價拍賣的收益比較。

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［12］肖海燕.投標者為風險規(guī)避型引入傭金的分析(一)［J］.武漢理工大學學報:信息與管理工程版，2012，34(2):250 －252.