張學忱， 曹國華， 聶鳳鳴， 吳慶堂

（1. 長春理工大學機電工程學院，吉林 長春 130022；2. 長春工藝技術(shù)研究所，吉林 長春 130012）

軸對稱非球面特別是其二次曲面在光學系統(tǒng)中的應(yīng)用越來越多，其根本原因在于其面型結(jié)構(gòu)簡單，容易加工和檢驗且能有效地校正各種相差、改善像質(zhì)。光學專家指出：若用一個二次非球面取代球面透鏡，可使像差已成百倍的數(shù)量級減少[1]。因此，研究軸對稱非球面的二次曲面模型方程及其相應(yīng)參數(shù)對其加工工藝的提高有很大指導作用。

1 軸對稱非球面幾何模型

1.1 軸對稱非球面方程

軸對稱非球面的結(jié)構(gòu)特點是一條母線繞一個回轉(zhuǎn)軸線旋轉(zhuǎn)而成為回轉(zhuǎn)面、其回轉(zhuǎn)面上每一點的曲率半徑皆不相同。

軸對稱非球面的三維圖如圖1所示，軸對稱非球面方程一般表達形式為

圖1 軸對稱非球面三維圖

式中

c——曲面頂點處曲率， c = 1 R0；

R0——曲面頂點處曲率半徑；

k——二次曲面偏心率函數(shù)， k =-e2,e為偏心率；

d、f、g…——方程高次項的系數(shù)；

z——為軸對稱非球面的回轉(zhuǎn)軸。

回轉(zhuǎn)面的研究可通過回轉(zhuǎn)母線的研究使問題簡化，軸對稱非球面中的回轉(zhuǎn)母線是其子午截線，方程為

式（2）取右邊第一項時表示二次曲線，且當k取不同值時代表不同的二次曲線。通過變換可以求出二次曲線方程的表達形式為

1.2 起始球面與非球面度

在加工非球面之前，首先要計算出一個起始球面，這個起始球面與欲加工的非球面最為接近，所以有時又被稱為比較球面。非球面度是指某一非球面和起始球面在沿旋轉(zhuǎn)軸（光軸）方向的偏差。非球面度的大小反應(yīng)加工的難易程度，同時非球面度的大小也決定著加工進給量的制定和加工速度的確定。

1.2.1 非球面度的計算

在磨削加工中，要求起始球面應(yīng)通過非球面的頂點O（圖2），此時軸對稱非球面的球心必在非球面的回轉(zhuǎn)軸上，設(shè)球心坐標為 A ( 0,0,R)，沿非球面法向的非球面度為δ，則

圖2 凸軸對稱非球面與初始球面的非球面度(沿法向)

式中R為非球面的起始球面半徑，它與軸對稱非球面頂點處曲率半徑R0相同； (x, z)為非球面上任一點P的坐標。

對于凸非球面，上式取正號，保證非球面度為正，此時凸非球面的起始球面位于遠離回轉(zhuǎn)軸的非球面一側(cè)。圖2中P1為過P點法線延長線上起始球面上的點。

非球面度是在對非球面進行加工前要確定的一個重要工藝參數(shù)。在非球面度較小時，最大非球面度一般發(fā)生在

式中，A為非球面的相對口徑。這樣便于單方向加工，降低加工難度。當相對口徑很大時，應(yīng)根據(jù)非球面方程和起始球面方程作數(shù)值計算求得[2]。

1.2.2 最接近起始球面半徑

求得最接近起始球面半徑是磨削加工中需決定的另一個重要的工藝參數(shù)，其影響工件的實際加工余量。采用非球面與起始球面之間的最大非球面度的大小來確定起始球面半徑。根據(jù)確定最接近起始球面的3個要求：非球面度為正；起始球面過非球面的頂點和使其加工余量最小，在x變量的定義域[0 , h 2]中，最大非球面度δmax獲得最小值的起始球面半徑R應(yīng)滿足的條件為

當需要加工的軸對稱非球面方程為已知，則非球面度δ是關(guān)于起始球面半徑R和非球面坐標X的二維函數(shù)；最大非球面度函數(shù)δmax是R的一維函數(shù)。

對軸對稱非球面磨削加工時的砂輪軌跡為最接近起始球面，位移機構(gòu)的進給方向與該球面的法向始終相同，所以沿最接近起始球面的法線方向與非球面的偏差，即法向非球面度（圖2），就是砂輪的位移機構(gòu)的進給量，式(4)可以求出最大非球面度為最小時的最接近起始球面的半徑R[2]。

2 軸對稱非球面磨削加工模型

對于具有非球面等復雜幾何形狀的零件，常用的研磨拋光等游離磨料的加工方法很難保證加工精度。在實際應(yīng)用中，多采用金剛石砂輪超精密磨削對軸對稱非球面曲面的零件進行加工[3]。

下面以平面砂輪對凸非球面加工為例進行研究，分析磨削加工的原理，建立砂輪磨削點運動模型。

2.1 磨削加工原理

在凸非球面磨削加工中，利用兩軸直線運動和回轉(zhuǎn)擺動構(gòu)成三軸數(shù)控聯(lián)動系統(tǒng)實現(xiàn)進給運動，采用平面砂輪包絡(luò)法，實現(xiàn)非球面的加工。

如圖3所示，凸非球面磨削加工過程主要包含5個運動：工件由工件主軸帶動實現(xiàn)回轉(zhuǎn)運動；砂輪由砂輪回轉(zhuǎn)軸帶動繞自身幾何軸線的自轉(zhuǎn)；z軸向進給驅(qū)動運動；x軸向進給驅(qū)動運動；砂輪由擺動驅(qū)動系統(tǒng)帶動實現(xiàn)一定角度的回轉(zhuǎn)擺動運動。z軸、x軸和回轉(zhuǎn)擺動這3個運動數(shù)控合成以保證砂輪始終沿非球面子午截線方向進行進給加工。

圖3 平面砂輪加工非球面原理圖

在軸對稱非球面的磨削加工中，平面砂輪是常用的加工用砂輪之一。在平面砂輪磨削中，零件的加工過程除前面提到的運動外，還有砂輪沿y軸的進給（上下移動），使砂輪軸的軸線和工件主軸軸線共線，這是在加工前的調(diào)整工作，調(diào)整后整個磨削過程y不變，即可取y = y0。

砂輪的磨削加工，由上述的6個運動組成。砂輪磨削點運動模型就是指分析確定這些運動要素。

2.2 砂輪磨削點運動模型

在平面砂輪加工中，砂輪與被加工表面主要是點接觸，所以在磨削中，平面砂輪與被加工表面是一階點接觸加工方式，砂輪中心s與加工接觸點p連線沿非球面的法向。

根據(jù)磨削加工原理，設(shè)在凸非球面上建立的坐標系 xoz（圖 4），機床控制中心坐標為(x, z),即砂輪中心s的坐標，子午截線上的加工點P的坐標為 (xi, zi)，則砂輪磨削點加工中的控制公式為

式中，γ為子午截線在加工點P處的切線與x軸夾角，也是砂輪磨削過程中的擺動角度，即；平面砂輪半徑。在實際加工中，需要先加工出與欲加工的非球面最為接近的球面（本文稱為起始球面）作為磨削非球面的毛坯工件，并根據(jù)非球面度的大小定出進給量，砂輪開始磨削。在磨削過程中，為保證磨削點始終在子午截線上，砂輪要按一定規(guī)律進行擺動（圖5）。

圖4 磨削點幾何模型

設(shè)加工非球面端口處的砂輪擺角為γmax，此時的擺角最大，其計算公式為

其中，R為非球面端口處切削點到起始球面球心的距離，這一切削點和起始球面上的點重合。

由式（8）可以算出砂輪最大加工擺角

如圖5所示，當砂輪磨削到頂點時，砂輪軸擺角γ=0°；所以砂輪軸的擺角變化范圍為

加工之前要確定了砂輪磨削點的初始位置，這樣在整個磨削過程中砂輪上的磨削環(huán)帶是固定不變的，但由于非球面的曲率沿子午截線是變化的，所以砂輪上瞬間的磨削點也是變化的，從而對磨削的進給運動的研究可以改變到對砂輪中心s的運動模型進行研究。

圖5 砂輪擺動模型及擺角幾何模型

2.3 砂輪中心點運動模型

理論的砂輪中心軌跡是距起始球面為砂輪半徑的法向等距面，非球面加工時，砂輪與加工表面是一階點接觸，砂輪中心軌跡是距非球面為砂輪半徑rr的法向等距面。在研究回轉(zhuǎn)對稱的非球面時，可以轉(zhuǎn)化為對某個坐標面上的回轉(zhuǎn)母線的研究，使問題簡化。如圖6所示，加工砂輪的中心移動軌跡是關(guān)于凸非球面子午截線的法向等距線。

圖6 切削點和砂輪中心點S的法矢

設(shè)子午截線方程為式（2），非球面子午截線上任意一點P的單位法矢為

rs沿著點P法矢n的法向上截ps=r（r砂輪半徑），則砂輪中心點 s在加工時形成的軌跡為子午截線在法向的等距曲線，其方程

在實際加工中，砂輪中心一定在非球面子午截線的法向等距線上，式（11）表示了平面砂輪中心軌跡與被加工非球面之間的關(guān)系，其距離為平面砂輪的半徑rr。

最接近起始球面方程為

其中，R為非球面最接近球面半徑，則在球面上任一點的法矢為

點s為非球面法向等距線上點，滿足方程（11），將式（14）代人式（11），可求出進給量δ。由點P的任意性，可以得到非球面加工時任一時刻砂輪沿法向的進給量，形成非球面。

由上面分析，可求得起始球面上任一點 P1的法向與z軸的夾角γ，其確定砂輪與進給機構(gòu)的轉(zhuǎn)角進給，即確定平面砂輪中心與加工點連線沿法向的轉(zhuǎn)角。

已知起始球面上任一點P1的法矢為式（10），Z軸方向矢為 e3=(0,0,1)，則有

當確定子午截線上的任一點 P，則z′( x)為定值，由式（15）可得到轉(zhuǎn)角進給量γ。

2.4 x，z 兩個方向的直線進給運動

在確定平面砂輪磨削凸非球面的零件時，需要確定沿x方向和z方向的直線位移量dx, dz。以使砂輪磨削點沿子午截線進行加工。

如圖7所示，設(shè)子午截線方程為式（2），砂輪由凸非球面子午截線上的q1點磨削至q2點，設(shè)q1點的坐標為 ( x1, z( x1) ), q2點坐標為 ( x2, z( x2))，則

在實際加工中，進給量是施加于砂輪中心點S1上的（圖7），設(shè)在砂輪中心建立坐標系x1s1z1,則從圖7可見，z1與z反向，x1與x反向，則在實際確定兩個方向的直線位移量時有

圖7 x，z方向進給

3 結(jié) 論

1）非球面度是反映光學非球面加工難易程度的一個重要參數(shù)，也是加工檢驗的重要指標，它決定著加工進給量和加工速度的制定。本研究對非球面度進行了有效而精確的計算。

2）起始球面作為加工的毛坯件是提高磨削效率的有效方法，最接近起始球面半徑是加工中有別于非球面度的另一個重要工藝參數(shù)，它直接影響工件的實際加工余量，本研究推導出起始球面半徑。

3）x, z兩個方向的直線驅(qū)動進給分別是由工件和刀具所在的機械系統(tǒng)獨立實現(xiàn)的方式給出的，其有利于減少系統(tǒng)誤差，提高運動精度，使機床的整體結(jié)構(gòu)剛性好。

4）x, z直線運動和擺動系統(tǒng)的回轉(zhuǎn)擺動運動構(gòu)成加工機床的三軸聯(lián)動系統(tǒng)，實現(xiàn)了砂輪加工軸對稱非球面的包絡(luò)成型。為提高面型精度，三軸聯(lián)動系統(tǒng)的控制尤為重要。

5）本論文的創(chuàng)新之處在于磨削加工數(shù)學模型的建立，為平面砂輪加工非球面元件提供了可行的技術(shù)方案。

[1]Shirvaikar M V, Mohan M T. A neural net work filter to detect small targets in high clutter backgrounds [J].IEEE Transactions on neural net work, 1995, 6(1):252-257.

[2]潘君驊. 光學非球面的設(shè)計、加工與檢驗[M]. 蘇州:蘇州大學出版社, 2004: 1- 63.

[3]駱紅云, 焦 紅. 金剛石刀具與精密超精密加工技術(shù)[J]. 長春光學精密機械學院學報, 2000, 23(1):49-54.