劉阜平， 丁 勇

（太原理工大學(xué)，山西 太原 030024）

單葉雙曲面是由三維空間中不相交的二直線為底的兩射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列l(wèi)1（I1，II1，Ⅲ1…），l2（I2，Ⅱ2，Ⅲ2…）中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線包絡(luò)而成，如圖1所示。與兩仿射對(duì)應(yīng)點(diǎn)列相比較，兩射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列的特點(diǎn)是分別有一對(duì)固對(duì)非對(duì)應(yīng)點(diǎn)，稱為中心。還有一對(duì)對(duì)應(yīng)的、且對(duì)稱于中心的“等距”點(diǎn)對(duì)和，他們是二射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列異向共底對(duì)合后的兩對(duì)對(duì)應(yīng)二重點(diǎn)。單葉雙曲面的正投影圖表示，截交線形狀與這一對(duì)中心，“等距”點(diǎn)對(duì)有密切關(guān)系。

1 二射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列的特點(diǎn)及作圖

如圖1所示，空間中兩射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列具有如下特點(diǎn)：

1）兩射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列正投影（或平行投影）后仍為射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列，且對(duì)應(yīng)關(guān)系保持不變，中心仍然是一對(duì)中心。這一點(diǎn)可以用射影對(duì)應(yīng)鏈來證明[2]。證略。

2）平行兩射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列異向時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線包絡(luò)成橢圓，特殊情況為圓[3]。同向時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線包絡(luò)成雙曲線。

圖1 兩射影點(diǎn)列確定的單葉雙曲面正投影圖

3）射影點(diǎn)列作為直線可以看著被中心O分成兩部分。一對(duì)對(duì)應(yīng)射影點(diǎn)列和另一對(duì)對(duì)應(yīng)射影點(diǎn)列的不同可以用“射影比”r的大小來表示。由此給出兩射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列對(duì)應(yīng)點(diǎn)的根軸作圖法，如圖2所示。這種作圖法與傳統(tǒng)作圖法相比較，更有利于計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成射影點(diǎn)列的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

圖2 兩射影點(diǎn)列根軸作圖法

2 單葉雙曲面的正投影圖表示法

如圖1所示，空間二射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列l(wèi)1（I1，II1，Ⅲ1…），l2（I1，II2，Ⅲ2…）形成的單葉雙曲面的直線型表示法可以用正投影圖來表示[4]。其中在正投影面V上，表示了兩射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列的真實(shí)長(zhǎng)度，即射影比r；交叉二直線l1l2的夾角θ，即二線角。適當(dāng)選取水平投影面，就可以滿足在H面上，不僅表示兩射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列l(wèi)1l2的距離a（即二線距），還可以使得兩點(diǎn)列的“等距”點(diǎn)對(duì)X1Y1、X2Y2水平投影后仍然是新點(diǎn)列的“等距”點(diǎn)對(duì)。顯然，點(diǎn)列 l1l2水平投影后新點(diǎn)列的射影比不等于r，我們可以用rh來表示。 對(duì)于單葉雙曲面的正投影圖表示法，V、H面是必不可少的，也是唯一的。側(cè)面投影面是否需要視情況而定。當(dāng)然，在側(cè)面投影面上，也能表示二線距a。

上述V、H兩投影面體系的表達(dá)方法充分體現(xiàn)了兩射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列的實(shí)形性，為計(jì)算機(jī)繪圖提供方便，而且兼顧到了單葉雙曲面的V面投影圖上雙曲線投影特征（l1′、l2′是該雙曲線的兩條漸進(jìn)線），還可以表示H面上“喉圓”（或者“喉橢圓”）的投影特征。

3 單葉雙曲面的分類

二射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列的一對(duì)中心O1O2可以是l1l2的公垂線，也可以不是。

如果O1O2是l1l2公垂線，形成的單葉雙曲面可稱為正單葉雙曲面。他還可以分為兩種情況：

第 1種，如圖 3所示，二線距 a＝2rh，l1l2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線水平投影包絡(luò)成圓，可簡(jiǎn)稱為“圓形”。它就是回轉(zhuǎn)單葉雙曲面。

圖3 水平投影包絡(luò)成圓

第 2種，如圖 1所示，二線距 a≠2rh，l1l2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線水平.投影包絡(luò)成正橢圓，可簡(jiǎn)稱為“正橢圓形”。

如果O1O2不是l1l2公垂線，形成的單葉雙曲面稱為斜單葉雙曲面，如圖4所示。這時(shí)l1l2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線水平投影包絡(luò)成斜橢圓，可簡(jiǎn)稱為“斜橢圓形”。

4 單葉雙曲面截交線形狀分析

1）截平面為正平面

如圖3、圖4所示。單葉雙曲面截平面為正平面時(shí)，截交線為雙曲線，雙曲線的兩條漸近線為l1′ l2′，如果截平面通過l1（或l2）時(shí)，截交線退化為相交的兩直線 l1′，l2′。

如圖5所示，對(duì)于“圓形”單葉雙曲面，截平面通過O1O2中垂面R時(shí)，截交線是完整的。對(duì)稱于R的截平面R1、R2得到的雙曲線出現(xiàn)不完整現(xiàn)象，且各為“一半”，這種現(xiàn)象在“正橢圓形”中也存在，圖略。但是，這種現(xiàn)象在“斜橢圓形”單葉雙曲面中不存在，如圖4所示。

圖4 水平投影包絡(luò)成斜橢圓

圖5 R1、R2平面截得雙曲線出現(xiàn)不完整情況Q平面截交線出現(xiàn)退化

2）截平面為水平面

如圖 3所示，對(duì)于“圓形”單葉雙曲面 ，通過O1O2的水平面（如S面）為截平面時(shí)，得到截交線為喉圓，對(duì)稱于S的平面（如S1和S2）為截平面時(shí)，截交線重合為一個(gè)圓。O1O2的水平投影連線，“等距”點(diǎn) X1X2，Y1Y2水平投影中點(diǎn)連線，是圓的兩條垂直的直徑方向。“正橢圓形”單葉雙曲面類似。如圖1所示。

如圖4所示，對(duì)于“斜橢圓形”單葉雙曲面，O1O2的水平投影連線方向（同時(shí)也是“等距”點(diǎn)X1X2，Y1Y2水平投影連線方向），和l1（或l2）水平投影是橢圓的一對(duì)共軛直徑方向，但不是長(zhǎng)短軸方向。在圖4(a)中，如果 讓l1（或 l2）沿Z軸移動(dòng)，水平投影包絡(luò)成的斜橢圓形狀不變，水平投影截交線橢圓長(zhǎng)短軸方向不變，如圖4(b)所示。

3）截平面為側(cè)平面

如圖 5所示，對(duì)于“圓形”單葉雙曲面 ，通過 O1O2的側(cè)平面為截平面時(shí)，截交線為雙曲線，雙曲線的兩條漸近線為“等距”點(diǎn)X1X2、Y1Y2的側(cè)面投影，截平面Q通過X1X2（或Y1Y2），截交線退化為相交的兩直線 X1″X2″、Y1″Y2″。

對(duì)于斜單葉雙曲面，由于 l1l2二交叉直線的“等距”點(diǎn)X1X2、Y1Y2不再是側(cè)面投影新點(diǎn)列的等距點(diǎn)，雙曲線的兩條漸近線必須另求新點(diǎn)列的等距點(diǎn)。

4）兩個(gè)特殊的截平面

如圖4所示，對(duì)于二射影點(diǎn)列對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線，其中兩條非常特別，就是過中心O1（或O2）作l2（或 l1）的平行線。分別用 k1、k2表示，為了敘述方便，稱這兩條直線與 l1、l2直線組成的平面為主平面，分別用 Pα(k2，l1)，Tα(k1，l2)表示。稱k1、k2為主素線。任意二射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列形成的單葉雙曲面，主平面PαTα是唯一的。平行于主平面的截平面得到的截交線為拋物線。拋物線的軸線為l2（或l1）方向。通過主平面的截平面，截交線退化為兩條平行線。如圖6所示。

這種現(xiàn)象可以解釋為：如圖 4(b)所示，單葉雙曲面可以看成二交叉直線 l1l2為底的二射影對(duì)應(yīng)面束中對(duì)應(yīng)平面相交的直線形成，然后二射影對(duì)應(yīng)面束被一個(gè)平行于底l2的截平面截切，得到非對(duì)固的對(duì)應(yīng)線束，非對(duì)固的線束對(duì)應(yīng)線交點(diǎn)形成拋物線[5]。

如圖6所示，在正單葉雙曲面中，屬于l2的主平面 Pα作為截平面，得到的截交線退化成二直線l2k1，對(duì)稱于Pα面的截平面P1P2得到的拋物線對(duì)稱于 O1O2。

斜橢圓形單葉雙曲面沒有這種對(duì)稱性。

圖6 平行于主平面的截平面得到拋物線截交線

5 二射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列l(wèi)1l2底的互換

二射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列l(wèi)1l2形成的單葉雙曲面，被兩個(gè)主平面分成兩族，如圖7所示。如果任取兩條交叉的素線 lx1（Ⅲ1Ⅲ2）與 lx2（Ⅴ1Ⅴ2）也可以構(gòu)成新的射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列，也有新的一對(duì)中心Ox1Ox2，這時(shí)屬于新中心的兩對(duì)主素線 kx1kx2是原單葉雙曲面上所沒有的，所以應(yīng)該認(rèn)為這時(shí)組成的是新的單葉雙曲面。

圖7 斜橢圓形單葉雙曲面斜二軸測(cè)圖

單葉雙曲面上的素線并不都是一樣的，主平面上的 4條素線，兩兩平行，與拋物線截交線有關(guān)。平時(shí)所說的屬于一點(diǎn)的兩條相交素線[6]，組成任意一個(gè)平面 Q，通過該平面的截交線退化為兩相交直線，平行于該平面的截平面Q得到截交線為雙曲線，雙曲線的兩條漸近線為該兩素線方向。

6 結(jié)束語

利用空間兩射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列形成的單葉雙曲面的正投影圖表示法，我們可以嘗試用計(jì)算機(jī)繪制該曲面。用同一對(duì)兩射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)列，只要沿X、Y、Z三軸移動(dòng)其中之一就可以得到不同的單葉雙曲面，有圓形，正橢圓形，斜橢圓形3種。當(dāng)然，正橢圓形，斜橢圓形單葉雙曲面上可能有圓的截交線，具體位置等還需要進(jìn)一步深入研究。

[1]劉阜平, 丁 勇. 二共底射影點(diǎn)列的二重點(diǎn)[J]. 山西礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào), 1994, 12(1): 82-86.

[2]方德植, 陳奕培編. 射影幾何[M]. 北京: 高等教育出版社, 1983: 118-119.

[3]劉阜平, 丁 勇. 二射影點(diǎn)列形成的二階曲線[J].山西礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào), 1995, 24(2): 60-64.

[4]劉阜平, 丁 勇. 空間二仿射對(duì)應(yīng)點(diǎn)列形成的雙曲拋物面[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 32(6): 1-4.

[5]劉阜平, 丁 勇. 二射影對(duì)應(yīng)線束形成的二階曲線及退化形式[J]. 圖學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 33(4): 24-27.

[6]南開大學(xué)數(shù)學(xué)系《空間解析幾何引論》編寫組編. 空間解析幾何引論[M]. 北京: 人民教育出版社, 1978:155-159.