胡 捷， 崔長彩， 黃富貴

（華僑大學機電及自動化學院，福建 廈門 361021）

隨著現(xiàn)代工業(yè)和新興制造技術(shù)的飛速發(fā)展，球類零件的應用日趨廣泛。尤其是在航空技術(shù)、精密機械和儀器儀表的制造應用領(lǐng)域，高精度球類零件的要求不斷上升，其精度的高低對產(chǎn)品的質(zhì)量、性能及使用壽命至關(guān)重要。球面的形狀誤差就是球度誤差，因此，對球度誤差的快速精確地評定具有重要的科學價值和實際意義。

多年來一直有學者致力于球度誤差評定方法的研究，可將其概括為傳統(tǒng)算法和智能優(yōu)化法兩類。傳統(tǒng)的算法大多數(shù)都是采用點對點的搜索策略,即在參數(shù)空間先隨機選取一個測量點，然后在滿足給定的非線性約束條件下，通過使用一些轉(zhuǎn)換規(guī)則對其它測量點進行輪流處理。但是點對點的搜索策略在多峰搜索空間易陷入局部最優(yōu)[1]。

20世紀90年代以來, 包括遺傳算法(GA)[2]、粒子群算法(PSO)[3]和免疫算法(IEC)[4]等多種智能優(yōu)化算法開始得到不同領(lǐng)域人們的廣泛關(guān)注。本文采用了一種改進的粒子群優(yōu)化算法即動態(tài)改變權(quán)重粒子群算法來對球度誤差進行評定，克服了基本PSO算法容易陷入局部最優(yōu)的不足，并且快速精確，實驗證實了該算法在球度誤差評定的有效性。

1 球度誤差評價的數(shù)學模型

國家標準對球度公差及球度誤差的評定沒有做出明確的規(guī)定，而把球面視作為一般的曲面。球度公差是指實際被測球?qū)硐肭虻脑试S變動量。球度公差帶是指包絡一系列直徑為公差值的球的兩包絡球面之間的區(qū)域，這一系列的球心應位于理想球面上，球度公差帶也就是半徑為公差值的兩同心球面之間的區(qū)域[5]。

球度誤差是指實際被測球?qū)ζ淅硐肭虻淖儎恿浚硐肭虻奈恢脩献钚l件。在滿足被測零件功能要求的前提下，球度誤差可以選用不同的評定方法確定。根據(jù)理想球的球心選取位置的不同，球度誤差評定方法可以分為：最小包容區(qū)域法、最小外接球法、最大內(nèi)接球法以及最小二乘球法等[6]。

建立空間直角坐標系，設理想球的球心為O，其位置由參數(shù)a，b，c確定，理想球的半徑為R，則理想球的方程為

實際被測球面 M上的被測點坐標為Mi( xi, yi, zi)， i = 1 ,2,3,…,N ，N為被測點的個數(shù)。則被測點 Mi(xi, yi, zi)到理想球心 O (a,b,c)的距離di可表示為

被測點Mi到球心的最大距離為

到球心的最小距離為

1.1 最小包容區(qū)域法(MZS)

當由兩同心球面包容實際被測球面M時，則這兩個同心球面之間的區(qū)域就是最小包容區(qū)域U（簡稱最小區(qū)域）。該方法稱為球度誤差的最小區(qū)域判別法，這樣的兩個同心球叫做最小區(qū)域球，它們的外球半徑dimax與內(nèi)球半徑dimin之差fMZ即為符合定義的球度誤差值。

根據(jù)最小條件由此定義可知球度誤差

1.2 最小外接球法(MCS)

最小外接球是指外接于實際被測球面（外表面）的可能最小球，即最大半徑為所有理想外接球半徑的最小值。按最小外接球法評定球度誤差實際上是尋找包容實際被測球面并且最大徑向距離最小的球心位置。

最小外接球半徑

1.3 最大內(nèi)接球法(MIS)

最大內(nèi)接球是指內(nèi)接于世界被測球面（內(nèi)表面）的可能的最大球，即最小半徑為所有理想內(nèi)接球半徑的最大值。按最大內(nèi)接球法評定球度誤差實際上是找尋內(nèi)接于實際被測球面并且最小徑向距離最大的球心位置。

最大內(nèi)接球半徑

可知球度誤差

1.4 最小二乘球法(LSM)

最小二乘球法是要找到理想球面使得被測輪廓面上個點Mi到該球球心的距離的平方和最小，即殘余誤差平方和e2i最小

即

則球度誤差

2 球度誤差評價算法

2.1 基本粒子群算法

假設用 Xi=(xi1,xi2, xi3,… ,xid)表示第i個粒子，其中d是粒子的維數(shù)，它經(jīng)歷過的位置（有最好的適應值）表示為 Pb =(pi1 ,pi2, pi3,… , pid)，整個群體經(jīng)歷過的最好位置表示為Gb=(pg1,pg2, pg3,…,pgd)，粒 子i的 速 度 用Vi=(vi1,vi2, vi3,…,vid)表示。PSO算法初始化一群隨機粒子，然后粒子群就追隨當前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索找到最優(yōu)解。在每一次迭代中粒子群通過跟蹤兩個“極值”來更新自己。對于每一代個體，在找到兩個最優(yōu)值時，粒子根據(jù)如下公式來更新自己的速度和位置[7]，即

其中，ω為慣性權(quán)重， ()random 是介于(0,1)之間的隨機數(shù)，c1, c2是學習因子（或稱為加速度系數(shù)）。各個粒子的搜索速度會被一個最大速度Vmax限定，如果該粒子更新搜索速度超過該設定值，那么該速度就被限定為Vmax。

2.2 改進動態(tài)改變慣性權(quán)重的粒子群算法

基本PSO算法（本文簡稱為BPSO）在函數(shù)進入局部極值時，容易直接收斂到該極值點，很難跳出，為克服該不足，王啟付等人采用了動態(tài)改變慣性權(quán)重的方法[8]，即在優(yōu)化迭代過程中，慣性權(quán)重值隨粒子的位置和目標函數(shù)的性質(zhì)而變化，從而增強了搜索方向的啟發(fā)性，本文中簡稱為DWPSO。具體方法是在慣性權(quán)重計算中引入工程指數(shù)項e，即

考慮到粒子群在初期迭代中各粒子距離目標之間的距離很大，而到迭代后期處在目標距離附近很小的位置，本文對該算法進行了調(diào)整，添加了自適應最大速度限制策略。該策略公式為

改進后的DWPSO算法步驟如下：

（1）在搜索空間中采用隨機產(chǎn)生的速度和位置來初始化粒子群，確定V、X，迭代次數(shù)，隨機粒子數(shù)(m>20)，初始權(quán)重設定為ω =0.729，并取c1= c2=2.05；

（2）根據(jù)式(15)計算ω (t)，再計算 pg1、pgd；

（3）根據(jù)式(13)和式(14)進行迭代計算；

（4）如果已經(jīng)滿足中止準則，如f (Xmin)小于某一閾值，則計算中止，否則轉(zhuǎn)步驟(2)。

3 實例分析

為了便于比較，本文采用了文獻[9-10]提供的兩組數(shù)據(jù)并使用本文中介紹的算法進行計算分析。根據(jù)球度誤差的特性，將算法參數(shù)設置為：粒子群規(guī)模數(shù)m=30；適應度函數(shù)為各自誤差 f，最大速度值Vmax=0.02；最大迭代次數(shù)設為500次。對兩組數(shù)據(jù)先后用DWPSO和BPSO分別基于4種模型進行評定，經(jīng)多次計算結(jié)果相同。把在MZS模型下的DWPSO與文獻[9-10]給出的最小二乘法（LSM）、文獻[11]中的遺傳算法（GAM）以及文獻[12]中的一種改進粒子群算法（GHPSO）進行了分析比較，結(jié)果如表1 ～表4所示。圖1和圖2是在MZS模型下分別將兩組數(shù)據(jù)用DWPSO算法和BPSO算法進行處理時的收斂曲線對比圖，使用實線和虛線加以區(qū)別。

由上述圖表可以得出：

1）如表1和表3所示，通過對4種模型分別進行DWPSO和BPSO算法可知，由最小區(qū)域包容法模型所算得的球度誤差最小。根據(jù)被測產(chǎn)品的功能要求不同，可視具體情況選擇基于各個模型下的算法。

表1 第1組數(shù)據(jù)4種數(shù)學模型分別基于DWPSO和BPSO的計算結(jié)果比較

表2 第1組數(shù)據(jù)用4種不同算法的計算結(jié)果比較

表3 第2組數(shù)據(jù)4種數(shù)學模型分別基于DWPSO和BPSO的計算結(jié)果比較

表4 第2組數(shù)據(jù)用4種不同算法的計算結(jié)果比較

圖1 第1組數(shù)據(jù)的收斂曲線

圖2 第2組數(shù)據(jù)的收斂曲線

2）對MZS模型下的DWPSO和BPSO算法差別不大，但對于其他3組模型，DWPSO較之于BPSO球度誤差明顯更小。由兩幅收斂比較圖可看出，本文算法的迭代次數(shù)較之于BPSO明顯減少，收斂速度增快并且非常穩(wěn)定。

3）根據(jù)表2和表4將基于MZS模型下的DWPSO算法結(jié)果與文獻中LSM和GA算法比較，可看出，結(jié)果優(yōu)于后兩者。

4）文獻[12]中提及一種帶交叉因子的改進粒子群優(yōu)化算法（GHPSO），并采用同樣來源的兩組數(shù)據(jù)進行處理分析，將DWPSO算法與其結(jié)果相比，兩者的優(yōu)化程度相當，但本算法收斂速度同樣優(yōu)于該算法，并且本文采用的DWPSO本身較之于GHPSO采用加入遺傳選擇和交叉操作更加簡單方便。

4 結(jié) 論

動態(tài)改變權(quán)重粒子群優(yōu)化算法在基本粒子群優(yōu)化算法的前提下，使得慣性權(quán)重值在優(yōu)化迭代過程中隨粒子的位置和目標函數(shù)的性質(zhì)而變化，增強了搜索方向的啟發(fā)性，使結(jié)果更為優(yōu)化，收斂更為迅速。比起GA及其他改進的PSO算法，操作更加簡單，實用性強，效率高，能夠有效精確地對球度誤差進行評定。同時，若將球度誤差的目標函數(shù)加以變化，可以用于評定其他形位誤差。因此，動態(tài)改變權(quán)重粒子群優(yōu)化算法對球度誤差以至于其他各類零件的形位誤差的評定具有一定的現(xiàn)實意義和參考價值。

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