劉金桂
(淮陰工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,江蘇 淮安 223003)
自Pecora和Carroll提出混沌同步原理以來,混沌同步問題引起了人們的廣泛關(guān)注。在同步問題的研究中,提出了許多同步的方式,如完全同步、相同步、滯后同步、廣義同步、投影同步和函數(shù)投影同步等。由于函數(shù)投影同步的思想是驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)以一定的比例函數(shù)進行同步,并且比例函數(shù)的選擇具有一定的靈活性,因此將函數(shù)投影同步運用到保密通信中可更好地加強保密通信中信息的安全性,從而引起越來越多的學(xué)者的關(guān)注。
另一方面,自20世紀(jì)60年代分數(shù)階微積分應(yīng)用于控制領(lǐng)域以來,分數(shù)階系統(tǒng)控制的研究經(jīng)歷了一個很長的緩慢發(fā)展過程。目前,大部分以微分方程的形式描述的控制系統(tǒng),其微分方程均考慮為整數(shù)階。實際上,許多物理系統(tǒng)展現(xiàn)出分數(shù)階動力學(xué)行為。由于采用分數(shù)階描述那些本身帶有分數(shù)階特性的對象時,能更好地揭示對象的本質(zhì)特性及其行為,因此引起了越來越多的研究者的興趣。文獻[10、11]基于追蹤控制的思想,利用分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論分別討論了分數(shù)階系統(tǒng)的函數(shù)投影同步和分數(shù)階混沌系統(tǒng)與整數(shù)階混沌系統(tǒng)之間的混沌同步問題。文獻[12]基于滑模控制理論和自適應(yīng)控制理論,研究了分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步問題。文獻[13]基于分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論,設(shè)計了控制器和未知參數(shù)的辨識規(guī)則,實現(xiàn)了分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的同步。然而,到目前為止,討論關(guān)于具有未知參數(shù)的分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的函數(shù)投影同步方面的文獻還很少。因此本文在文獻[10]的基礎(chǔ)上討論了具有未知參數(shù)的超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)函數(shù)投影同步問題。
考慮下述形式的驅(qū)動-響應(yīng)混沌系統(tǒng):
其中,x(t)、y(t)∈Rn表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量。f(x)為非線性向量函數(shù):Rn→Rn連續(xù)可微,并且滿足Lipschitz條件:‖f(x1)-f(x2)‖ ≤L‖x1-x2‖,L >0。
定義1 對任意初始值x0、y0,若存在控制器u(t),使得e=y-∧(t)x→0(t→∞),則稱系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)達到函數(shù)投影同步。
本文通過設(shè)計控制器u(t)和參數(shù)更新規(guī)則,使系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)達到函數(shù)投影同步。
定義誤差為e=y-∧(t)x,其中,∧(t)是連續(xù)有界的可微函數(shù)矩陣。
基于追蹤控制與自適應(yīng)控制策略,選擇控制輸入和參數(shù)更新規(guī)則分別為:
其中,K1(x,y)和K2(x,y)為函數(shù)矩陣,K為正定矩陣,θ^用來估計未知參數(shù)θ。
系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)的誤差系統(tǒng)為:
定理 對誤差系統(tǒng)(5),若存在函數(shù)矩陣K1(x,y),K2(x,y)和正定矩陣P、Q、K,使得:
則系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)達到函數(shù)投影同步。
假設(shè)λ為矩陣:
的任一特征根,且相應(yīng)的特征向量記為ζ,
為了驗證所設(shè)計的控制器的正確性和有效性,選擇如下的超混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)。
其中,a、b、c、d、μ、v是系統(tǒng)參數(shù),當(dāng)q=0.97、(a,b,c,d,μ,v)=(35,4,25,5,35,100) 時,系統(tǒng)是超混沌的。
驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初始值分別取為[-2,0,1,-1]T和[1,0,-2,2]T,函數(shù)矩陣 ∧ (t)=diag(sint+2,cos2t-2,2sint+1,-cost+1),仿真步長為0.01。仿真后的系統(tǒng)誤差和參數(shù)辨識結(jié)果分別如圖1和圖2所示。
圖1 系統(tǒng)誤差隨時間變化的曲線
圖2 參數(shù)變化軌跡
仿真結(jié)果表明,驅(qū)動-相應(yīng)系統(tǒng)實現(xiàn)了函數(shù)投影同步,同時也實現(xiàn)了未知參數(shù)的辨識。
本文討論了參數(shù)不確定分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的函數(shù)投影同步問題,基于自適應(yīng)控制策略,設(shè)計了控制器和參數(shù)更新規(guī)則;同時利用分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論,分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并給出了數(shù)值仿真結(jié)果,驗證了所設(shè)計的控制器和參數(shù)更新規(guī)則的有效性和正確性。
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