王 凱，李炳文，朱學(xué)凱，任 銳

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，徐州 221008）

0 引言

環(huán)面蝸桿傳動(dòng)的蝸桿外形，是以一個(gè)凹圓弧為母線繞蝸桿軸線回轉(zhuǎn)而形成的回轉(zhuǎn)面，故稱(chēng)圓環(huán)回轉(zhuǎn)面蝸桿，簡(jiǎn)稱(chēng)環(huán)面蝸桿[1]。環(huán)面蝸桿與其二次包絡(luò)形成的蝸輪組成的運(yùn)動(dòng)副與普通圓柱蝸輪蝸桿運(yùn)動(dòng)副相比，最大特點(diǎn)就是多齒接觸和雙接觸線接觸。因此，擴(kuò)大了接觸面積、改善了油膜形成條件、增大了齒面間的相對(duì)曲率半徑等，這就是提高傳動(dòng)效率和承載能力的原因所在。再者，平面包絡(luò)環(huán)面蝸桿還比較容易實(shí)現(xiàn)完全符合其嚙合原理的精確加工和淬硬磨削，蝸桿的齒面經(jīng)過(guò)硬化處理后精確磨削而形成齒面表面硬度和表面粗糙度可以達(dá)到很高等級(jí)。由于其具有良好的傳動(dòng)性能，二次包絡(luò)蝸桿蝸輪減速機(jī)廣泛用于冶金、建筑、礦山、造船、橡膠機(jī)械、機(jī)械工業(yè)制造等行業(yè)。

1 環(huán)面蝸桿傳動(dòng)的形成

1.1 直廓環(huán)面蝸桿的形成原理

在圖1[1]中，設(shè)空間有一軸線O1-O1，通過(guò)該軸線的平面P繞O1-O1以角速度w1回轉(zhuǎn)。與此同時(shí)，在平面P上有一直線N-N，它距平面P上一點(diǎn)O2的垂直距離為db/2，以角速度w2繞O2回轉(zhuǎn)。這樣，直線N-N在空間形成的軌跡面，就是直廓環(huán)面蝸桿的螺旋齒面。直線N-N也就是形成該蝸桿螺旋齒面的母線[1]。

圖1 直廓環(huán)面蝸桿形成原理

1.2 環(huán)面蝸桿的加工原理

環(huán)面蝸桿一般是通過(guò)兩側(cè)車(chē)刀或砂輪分別對(duì)兩側(cè)齒面進(jìn)行加工的。

如圖2所示，其中a為蝸輪蝸桿傳動(dòng)副的中心距，db為主基圓直徑，R1為蝸桿齒頂圓弧半徑，R3為蝸桿齒根圓弧半徑，R2為蝸輪分度圓半徑。左右車(chē)刀分別沿著基圓db以一定的角速度w2做純滾動(dòng)，蝸桿繞著其自身軸線以角速度w1轉(zhuǎn)動(dòng)，兩者之比即為此傳動(dòng)副的傳動(dòng)比i。

2 環(huán)面蝸桿的螺旋軌跡

根據(jù)解析幾何學(xué)可知，環(huán)面蝸桿的螺旋線可以看作是空間內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)A繞Z軸作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)它又繞著另一點(diǎn)O在O與Z軸決定的平面內(nèi)勻速圓弧運(yùn)動(dòng)，而O點(diǎn)則是伴隨A點(diǎn)，一起繞著Z軸以同一角速度作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的[2]。動(dòng)點(diǎn)A的軌跡如圖3所示。

圖2 環(huán)面蝸桿加工原理

圖3 環(huán)面蝸桿的螺旋軌跡

根據(jù)以上所述的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，可得到動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程[2]為：

式（1）中，a為環(huán)面蝸桿與蝸輪的中心距；d2為與蝸桿配套蝸輪的分度圓直徑；a為環(huán)面蝸桿包圍蝸輪的工作角；i為傳動(dòng)比；w為蝸桿勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角變量；即此參數(shù)方程的參變量；b為動(dòng)點(diǎn)A繞O點(diǎn)作勻速圓弧運(yùn)動(dòng)的角變量，它與w滿(mǎn)足傳動(dòng)比的關(guān)系，即b＝w/i；a2為計(jì)算A點(diǎn)軌跡的一個(gè)過(guò)程量，根據(jù)幾何關(guān)系得：

3 在PRO/E下對(duì)環(huán)面蝸桿進(jìn)行建模仿真

3.1 建立環(huán)面蝸桿齒面相關(guān)軌跡

為了更形象說(shuō)明建模方法，舉一實(shí)例說(shuō)明，設(shè)有一對(duì)傳動(dòng)副，蝸桿頭數(shù)z1＝1，蝸輪齒數(shù)z2＝45，中心距a＝500mm，蝸桿分度圓直徑d1＝180mm，蝸輪分度圓直徑d2＝820mm，蝸輪端面模數(shù)mt＝18.222mm，蝸桿喉部螺旋升角g＝5°46′50″，分度圓齒形角a＝21°27′36″，由于本次建模構(gòu)造的實(shí)體不是蝸桿的齒面，而是通過(guò)切削的方法，在蝸桿毛坯上切出蝸桿的外形，這樣更接近于實(shí)際加工情況，而且在蝸桿兩端殘余齒形處有較好的模擬效果。根據(jù)式（1），列出環(huán)面蝸桿在分度圓位置的軌跡方程，并在PRO/E中通過(guò)方程建立所需軌跡曲線，如圖4所示。

t是整個(gè)方程的參變量，從0到1，w中8是螺旋環(huán)繞的圈數(shù)，由于盡量使軌跡切削蝸桿毛坯完整，故選用圈數(shù)多于蝸桿包圍蝸輪的齒數(shù)。上式中為了使軌跡虛線的中點(diǎn)在原點(diǎn)，故在Z軸上多加了一項(xiàng)。

3.2 建立蝸桿毛坯，繪制切削截面

以蝸桿齒頂圓為最大外形尺寸建立毛坯，其他尺寸此處不再贅述，結(jié)果如圖5所示。

再繪制如圖6所示截面，具體尺寸由齒形角，端面模數(shù)等參數(shù)決定，容易求得。

3.3 創(chuàng)建環(huán)面蝸桿外形輪廓

圖4 環(huán)面蝸桿齒面相關(guān)軌跡

圖5 環(huán)面蝸桿毛坯模型

圖6 蝸桿建模的切削截面

本次建模主要運(yùn)用的是PRO/E中的混合掃描工具，因?yàn)樵趻呙柽^(guò)程中，截面的位置是隨著軌跡一直變化的，所以單純的掃描工具不能完成。而在混合掃描工具中，一般要設(shè)置多個(gè)掃描界面，而這些掃描截面通過(guò)掃描軌跡進(jìn)行過(guò)渡連接，但在過(guò)渡過(guò)程中，截面圖形在截面所在平面中的位置和角度是難以控制的，特別是軌跡繞過(guò)某軸線大于360度的時(shí)候，截面的方位就不是我們所期望的了。所以，在混合掃描中除了指定起點(diǎn)和終點(diǎn)的截面后，還有在給每個(gè)360度周期的分界處指定相應(yīng)截面，這樣就可以保證掃描過(guò)程是完全按照我們要求的進(jìn)行了。全部截面用陣列就可以完成，如圖7所示。

然后就可以用混合掃描工具，以先前建立的軌跡方程為掃描軌跡，然后依次以這幾個(gè)截面為掃描截面，兩端點(diǎn)截面是掃描的起點(diǎn)和終點(diǎn)，中間幾個(gè)截面都是為了限制掃描過(guò)程中掃描截面的方位過(guò)渡用的，這樣就完成了環(huán)面蝸桿的實(shí)體模型，如圖8所示。

圖7 混合掃描所需全部截面

圖8 環(huán)面蝸桿最終實(shí)體模型

4 結(jié)束語(yǔ)

環(huán)面蝸桿由于其特殊的外形，在三維建模中，

建立方法始終都是比較復(fù)雜的。在PRO/E中，用一般的螺旋掃描工具也不能實(shí)現(xiàn)。所以，本文通過(guò)運(yùn)用解析幾何學(xué)的知識(shí)，建立了環(huán)面蝸桿的齒面相關(guān)軌跡方程，并結(jié)合混合掃描工具，采用多截面來(lái)控制掃描截面方位的方法，完美的實(shí)現(xiàn)了環(huán)面蝸桿的實(shí)體仿真。同時(shí)此方法比其他用純理論方程建立蝸桿齒面的方法。簡(jiǎn)潔了許多，不需要太多理論知識(shí)，更適用于工科人員更快速的進(jìn)行設(shè)計(jì)建模。

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