成鈺龍，程 剛，顧 偉，山顯雷

（中國礦業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，徐州 221116）

0 引言

評價(jià)人工髖關(guān)節(jié)材料需進(jìn)行摩擦學(xué)試驗(yàn)。目前國內(nèi)外髖關(guān)節(jié)試驗(yàn)機(jī)運(yùn)動(dòng)平臺均采用串聯(lián)模塊，在復(fù)雜運(yùn)動(dòng)軌跡模擬和變載荷動(dòng)力加載等方面尚存在不足。相對于串聯(lián)機(jī)構(gòu)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)精度高、速度快、剛度大、承載強(qiáng)且累計(jì)誤差小[1]，目前已在運(yùn)動(dòng)模擬器[2]等方面得到了成熟的運(yùn)用。本文以3SPS+1PS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為核心運(yùn)動(dòng)模塊搭建了一臺髖關(guān)節(jié)摩擦磨損試驗(yàn)樣機(jī)，模擬人體髖關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是該試驗(yàn)機(jī)正常工作的前提，求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)的方法有：解析法、附加傳感器法、數(shù)值法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法。其中人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法在求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)上受到了廣泛的關(guān)注，但其存在一些固有缺陷如收斂速度慢、局部最小值和通用性差等，故需研究更有效的正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解法。

支持向量機(jī)作為處理分類和回歸問題的有效工具，基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，具有通用性強(qiáng)、解的稀疏表示等優(yōu)點(diǎn)。本文采用粒子群優(yōu)化過的支持向量機(jī)回歸法對3SPS+1PS并聯(lián)髖關(guān)節(jié)試驗(yàn)機(jī)正運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行求解。分析結(jié)果顯示，PSO-SVM能有效解決機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

常用機(jī)構(gòu)空間位姿描述方法有四元素法和Rodrigues參數(shù)法等。四元素法綜合性能較高，但仍有一定約束條件。根據(jù)ISO14242-1:2002(E)標(biāo)準(zhǔn)，人工髖關(guān)節(jié)假體在進(jìn)行摩擦學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)機(jī)的運(yùn)動(dòng)頻率為1Hz±0.1Hz[3]，對求解方法的速度要求較高。Rodrigues參數(shù)實(shí)現(xiàn)了四元素向三維獨(dú)立參數(shù)的轉(zhuǎn)化，不涉及三角函數(shù)運(yùn)算，較大程度地減輕了實(shí)時(shí)姿態(tài)解算的計(jì)算量。用Rodrigues參數(shù)表示的姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣為D[4]。

圖1 3SPS+1PS并聯(lián)髖關(guān)節(jié)試驗(yàn)機(jī)樣機(jī)及其拓?fù)鋱D

該試驗(yàn)機(jī)由定、動(dòng)兩平臺組成。三條主動(dòng)支鏈連接兩平臺，中心支柱支撐動(dòng)平臺。圖1為髖關(guān)節(jié)試驗(yàn)機(jī)樣機(jī)及3SPS+1PS并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D。建立參考坐標(biāo)系如圖1所示。定平臺B連接點(diǎn)Ai(i=1, 2,3)、動(dòng)平臺m連接點(diǎn)ai (i=1, 2, 3)以及動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)O的位置坐標(biāo)和oB表達(dá)式如下：

其中e是點(diǎn)ai到動(dòng)平臺坐標(biāo)系原點(diǎn)O的距離，E是Ai到定平臺坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離。(xl,xm,xn,yl,ym,yn,zl,zm,zn)是動(dòng)平臺m在{B}中的9個(gè)方位參數(shù)，構(gòu)成描述動(dòng)平臺m位姿變換的旋轉(zhuǎn)矩陣D。

由空間兩點(diǎn)間距離公式可得支鏈ri(i=1,2,3)的長度表達(dá)式如下：

將式(1)、式(2)代入式(3a)可得各支鏈長度ri(i=1, 2, 3, 4)如下：

當(dāng)給定支鏈的長度ri(i=1,2,3,4)和Zo的值時(shí)，動(dòng)平臺正位姿參數(shù)Φi(i=1,2,3)可通過以下過程進(jìn)行求解，從而確定動(dòng)平臺在空間的姿態(tài)。

由式（3b）可得：

由式（3b）和（4），結(jié)合給定的支鏈長度值ri(i=1,2,3,4)和Zo值，通過求解非線性方程組可解得三個(gè)Rodrigues參數(shù)Φi(i=1,2,3)。

2 PSO- SVM正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解算法

2.1 SVM簡介

設(shè)訓(xùn)練樣本集{(x1, y1) , (x2, y2) , … , ( xm, ym)}，其中xiRm,表示樣本的輸入空間，其對應(yīng)的目標(biāo)值 yiR, (i=1,2,…,m)。支持向量機(jī)回歸方法的目的是建立一個(gè)超平面來精確逼近輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)之間的非線性映射，然后通過黑箱方法構(gòu)造最優(yōu)線性回歸函數(shù)。

常用支持向量機(jī)回歸估計(jì)函數(shù)為：f (x)=(wФ(x))高維特征空間的非線性映射函數(shù)[5]。

支持向量機(jī)估計(jì)的優(yōu)劣通過損失函數(shù)和ε-不敏感損失函數(shù)來度量，其基本形式為：

2.2 PSO算法對SVM參數(shù)的優(yōu)化

支持向量機(jī)回歸預(yù)測性能的優(yōu)劣主要受懲罰參數(shù)c和核函數(shù)參數(shù)g的影響。對參數(shù)c、g最優(yōu)解的選取目前尚無統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。粒子群優(yōu)化算法(PSO)是基于群體智能的優(yōu)化算法，它通過粒子在解空間追隨最優(yōu)粒子進(jìn)行搜索。PSO算法收斂速度快、通用性強(qiáng)，一般情況下可很快收斂于全局最優(yōu)解。本文將交叉驗(yàn)證意義下的預(yù)測均方誤差作為PSO算法的適應(yīng)度函數(shù)，通過PSO算法對SVM參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，利用所求得的全局最優(yōu)解進(jìn)行SVM網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練。

2.3 基于PSO-SVM的正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解過程

PSO-SVM求解正運(yùn)動(dòng)學(xué)的算法過程如下：

1）將逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解所得10000組解的前9000組作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，后1000組作為測試數(shù)據(jù)集；

2）對訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和測試數(shù)據(jù)集進(jìn)行[0,1]區(qū)間歸一化；

3）用歸一化后的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集作為SVM訓(xùn)練樣本，通過PSO算法對SVM參數(shù)c和g進(jìn)行全局尋優(yōu)；

4）SVM采用全局最優(yōu)參數(shù)c、g，以訓(xùn)練數(shù)據(jù)集作為學(xué)習(xí)樣本進(jìn)行訓(xùn)練，建立正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解模型；

5）用測試數(shù)據(jù)集對建立好的正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解模型進(jìn)行測試；

6）評價(jià)測試結(jié)果。

3 仿真研究

采用PSO優(yōu)化的支持向量機(jī)如圖1所示并聯(lián)髖關(guān)節(jié)試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。該髖關(guān)節(jié)試驗(yàn)機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

表1 3SPS+1PS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖2 PSO-SVM正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解結(jié)果分析

該髖關(guān)節(jié)試驗(yàn)機(jī)在工作時(shí)需模擬人體髖關(guān)節(jié)的相對運(yùn)動(dòng)曲線，經(jīng)過試驗(yàn)機(jī)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，得到1150組逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。隨機(jī)選取1000組作為該正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的訓(xùn)練樣本，另外150組作為測試樣本。比較發(fā)現(xiàn)，具有線性核函數(shù)的ν-支持向量機(jī)在求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)時(shí)性能優(yōu)良。采用PSO算法優(yōu)化過的ν-支持向量機(jī)分別對測試樣本中的三個(gè)姿態(tài)參數(shù)Φi(i=1,2,3)進(jìn)行預(yù)測。以參數(shù)Φ1的預(yù)測為例，其預(yù)測結(jié)果分析如圖2所示。由圖2可得粒子群算法優(yōu)化后支持向量機(jī)CV意義下的全局最優(yōu)參數(shù)c=3.0974，g=0.01。預(yù)測值與理論值最大絕對誤差數(shù)量級為10-5個(gè)單位，最大相對誤差為0.15，絕大部分相對誤差在±1%之間。預(yù)測結(jié)果的均方誤差為2.18167×10-7，相關(guān)系數(shù)為99.9998%，滿足并聯(lián)機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解精度要求。

為了衡量本文利用PSO對SVM參數(shù)優(yōu)化的有效性，本文采用傳統(tǒng)SVM作為對比模型，對比求解結(jié)果如表2所示。

表2 傳統(tǒng)SVM與PSO-SVM正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解結(jié)果對比

從表2可知，PSO-SVM并聯(lián)機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解算法精度遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)SVM算法，但運(yùn)算時(shí)間相對較長。結(jié)果表明通過PSO算法優(yōu)化獲得SVM參數(shù)是全局最優(yōu)的。

4 結(jié)束語

針對人體髖關(guān)節(jié)的實(shí)際生物特性，研制了一臺3SPS+1PS并聯(lián)髖關(guān)節(jié)試驗(yàn)機(jī)?；赗odrigues參數(shù)對3SPS+1PS并聯(lián)髖關(guān)節(jié)試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模。應(yīng)用PSO算法優(yōu)化過的ν-支持向量機(jī)對該試驗(yàn)機(jī)的正運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行求解，求解精度滿足機(jī)構(gòu)控制精度要求。通過與傳統(tǒng)SVM支持向量機(jī)正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解進(jìn)行對比分析，證明PSO-SVM具有較高精度。

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