田鈺笙，姜齊榮，田 旭

(清華大學電機工程與應用電子技術(shù)系，北京100084)

1 引言

近年來，采用交-直-交傳動系統(tǒng)的動車組列車已成為多條客運專線的主要牽引負荷，其電氣性能與交-直型機車有較大差異，有必要對其合理建模以分析機車負荷對電力系統(tǒng)造成的影響。電力機車的模型可以分為主電路模型和等效電流源模型。主電路模型包含整個牽引傳動系統(tǒng)，即整流橋、逆變器和牽引電機。該模型可以較準確地得到機車負載的工頻特性，但在諧波特性方面卻可能與實際負荷存在一定差距。原因主要有:①動車組內(nèi)部電氣參數(shù)控制方法未公開，同時補償裝置的運行狀態(tài)也難以獲得;②受線路條件、天氣等因素的影響，機車負荷的諧波具有隨機波動性;③牽引網(wǎng)的影響會使得某些諧波放大或衰減，流入牽引變電所的諧波電流和機車注入牽引網(wǎng)的諧波電流并不一致［1］。

本文提出了一種交流電力機車的概率諧波電流源模型，將機車負載等效為一個接在變電站牽引變壓器副邊的電流源。其基波分量由帶有等效直流負載的四象限整流橋得到，諧波部分則采用符合實際分布規(guī)律的概率諧波電流源。采用概率統(tǒng)計法分析牽引負荷諧波特性在國內(nèi)外研究中已有許多應用并且取得了很好的效果［2-5］。本文采用一種改進的最大熵法，基于大量實測數(shù)據(jù)分析了機車負荷主要諧波的概率密度函數(shù)，并在 PSCAD仿真平臺上利用MATLAB接口模塊實現(xiàn)了相應的概率諧波電流源模型。模型可同時用于仿真機車負荷的沖擊性、負序以及諧波對電力系統(tǒng)的影響。由于電流源模型的諧波分量直接利用實測數(shù)據(jù)，因此諧波仿真結(jié)果更接近實際情況。

2 機車負荷諧波分布特點

本文采用的數(shù)據(jù)來自鄭西線某牽引變電站，數(shù)據(jù)記錄時長為1天。實驗數(shù)據(jù)顯示:

(1)機車負荷諧波主要集中在 3、5、7、9、19、21、23、25、27、39、45 等奇次頻率上;

(2)諧波的相角在四個象限內(nèi)分布均勻;

(3)諧波分布規(guī)律和基波電流大小相關(guān)，當基波電流較小時，諧波分布特征有較大變化。

以3次諧波為例，在不同基波電流大小情況下諧波散點圖分布如圖1所示，圖中所有數(shù)據(jù)均取自非空載工況下的實驗數(shù)據(jù)(認為基波電流大于30A為非空載工況)，相角以基波電流為參考相量。

3 機車負荷概率諧波分析

3.1 數(shù)據(jù)預處理

圖1 3次諧波電流散點圖Fig.1 Scatter diagram of 3rdharmonic current

(1)牽引變電站采用AT供電方式，實測數(shù)據(jù)為接觸線和饋線各次諧波的幅值和相位。利用磁勢平衡原理可以通過接觸線和饋線的電流計算出自耦變壓器原邊電流。以自耦變壓器原邊作為等效電流源的接入點，可以略去饋線電流的建模。

(2)電力機車概率諧波模型僅考慮線路帶有負載的情況，已將實驗結(jié)果中空載情況下的數(shù)據(jù)濾除。按照基波電流大小對諧波電流數(shù)據(jù)分組，分別進行概率密度函數(shù)估計。

(3)諧波電流的幅值和相位均具有隨機波動性，在直角坐標系下，諧波電流可以看做X坐標分量和Y坐標分量的疊加。本文關(guān)于概率密度函數(shù)的估計建立在直角坐標系下，并且為了簡化分析，假定這兩個分量相互獨立，可以分別進行統(tǒng)計。

3.2 概率密度函數(shù)獲取

目前常用的概率密度函數(shù)估計方法有最大熵法和最佳平方逼近法，二者都具有簡明的解析表達式且估計精度較高。本文提出了一種改進的最大熵法，提高了最大熵法的估計精度和效率，并與最佳平方逼近法的估計效果加以比較，最終選擇最大熵法作為實驗數(shù)據(jù)處理方法。

3.2.1 最大熵法

最大熵原理由 E.T.Jaynes于 1957年提出，其主要思想是在只掌握關(guān)于未知分布的部分知識時，應該選取符合這些知識但熵值最大的概率分布［6］。

信息論中把隨機變量X的熵定義為:

其中，p(x)是隨機變量X在取值x處的概率密度;R是隨機變量X的定義域。于是概率密度函數(shù)估計轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化問題:

顯然，m0=1。

選擇l階原點矩，構(gòu)造如下的拉格朗日方程:

根據(jù)拉格朗日方程極值條件 ?H－/?p(x)=0可以得到最大熵概率密度函數(shù)的解析表達式:

相應的 λ0，λ1，λ2…λl滿足的非線性方程為:

一般取較低階矩(4～5階)就能取得很好的估計效果。

3.2.2 最佳平方逼近法

最佳平方逼近法的思想是用n次多項式對有限的實驗數(shù)據(jù)構(gòu)成的概率密度分布進行最小二乘擬合。通過MATLAB的相關(guān)函數(shù)可以驗證該方法的估計結(jié)果能夠自然滿足各階矩的約束條件。由于最佳平方逼近法并不是本文論述的重點，相關(guān)內(nèi)容可參考文獻［3］，本文不另作介紹。

3.2.3 改進的最大熵法

實驗數(shù)據(jù)是隨機變量的離散取值。假設(shè)N是對統(tǒng)計數(shù)據(jù)按隨機變量大小進行等間隔分組的組數(shù)，xn是第n組對應的數(shù)據(jù)點，Δx是數(shù)據(jù)點之間的間隔，是根據(jù)每組的樣本數(shù)量計算得到的xn處概率密度，是根據(jù)式(4)計算得到的xn處概率密度，則式(5)對應的離散數(shù)據(jù)方程為:

通常采用迭代法對式(6)對應的l+1個非線性方程進行拉格朗日系數(shù) λ0，λ1，λ2...λl的求解［6］，但這種方法初值選取不當就很容易造成求解時間過長，甚至出現(xiàn)找不到合適解的情況。考慮到最佳平方逼近法可以自然滿足各階矩的約束條件，本文對最大熵法的求解過程加以改進，保留其概率密度表達式，但是將拉格朗日系數(shù)的約束條件轉(zhuǎn)為如下的最小二乘擬合問題:

即通過使用最小二乘擬合來滿足階矩約束條件。本文選用4階最大熵法估計，將概率密度估計結(jié)果代入式(6)等號左右兩邊分別計算，每一階矩的相對誤差均在1e-3數(shù)量級以下。

3.2.4 三種方法估計精度比較

選取波形和實際諧波分布情況類似的兩種分布:正態(tài)分布、雙峰分布(由兩個正態(tài)分布構(gòu)成)對三種估計方法進行驗證，評估指標為均方差指標(Mean Squared Error，MSE)，計算公式為:

其中，fn是將xn代入實際分布函數(shù)表達式計算得到的實際概率密度。最大熵法選擇4階估計，最佳平方逼近法選擇9階估計。非線性函數(shù)求解選擇MATLAB中fsolve函數(shù)，最小二乘擬合選擇 Isqnonlin函數(shù)。針對每種分布進行50次實驗，取平均值作為最終的估計精度，結(jié)果見表1。

表1 正態(tài)分布和雙峰分布三種方法估計精度Tab.1 Estimation results on normal distribution and double-peak distribution using three methods

實測數(shù)據(jù)樣本容量在200～1000之間，比較結(jié)果顯示，在此范圍內(nèi)，對于單峰分布和雙峰分布，改進的最大熵法估計精度均為最高。

3.3 主要特征諧波概率密度函數(shù)估計結(jié)果

以3次和25次諧波為例，在基波電流I1＞192A情況下的概率密度函數(shù)估計結(jié)果如圖 2和圖 3所示。

對于雙峰分布的情形，在兩峰連接處截斷，分別對兩峰進行概率密度函數(shù)估計。在連接處可能會出現(xiàn)不連續(xù)的情形，但由于最終利用的是分布函數(shù)(參見4.1節(jié))，即概率密度函數(shù)積分的結(jié)果，所以一處不連續(xù)的點對最終結(jié)果沒有影響。

圖2 3次諧波電流隨機分量概率密度函數(shù)估計結(jié)果Fig.2 Estimation results of random vector of 3rdharmonic

圖3 25次諧波電流隨機分量概率密度函數(shù)估計結(jié)果Fig.3 Estimation results of random vector of 25thharmonic

4 基于概率諧波電流源的電力機車模型

4.1 概率諧波電流源在PSCAD中的實現(xiàn)

可以證明，若隨機變量X服從概率密度為p(x)的分布，則隨機變量 F(X)服從［0，1］區(qū)間上的均勻分布，其中 F(x)為隨機變量 X的分布函數(shù)［7］。按照上述方法，建立不同基波電流大小情況下各主要諧波含量的分布函數(shù)數(shù)據(jù)表，通過生成［0，1］上均勻分布的隨機數(shù)查找表中對應的隨機變量值，就能產(chǎn)生符合實際分布規(guī)律的各次諧波X軸分量和Y軸分量，進而得到各次諧波的幅值和相對于基波電流的相位。在PSCAD中引入MATLAB接口模塊可以隨機生成符合實際分布規(guī)律的各次諧波幅值和相位。

圖4 3次諧波電流幅值和相位刷新波形Fig.4 Amplitude and phase update waveform of 3rdharmonic

圖4是3次諧波電流的幅值和相位刷新波形。如果仿真時間足夠長，諧波電流幅值和相位的仿真數(shù)據(jù)的分布規(guī)律將與實測數(shù)據(jù)的分布規(guī)律相符?？紤]到諧波的X坐標分量與Y坐標分量并不是完全獨立，且概率密度函數(shù)估計本身存在誤差，仿真和實測數(shù)據(jù)的分布規(guī)律會存在一定偏差，但統(tǒng)計結(jié)果顯示(參見第5節(jié))該偏差很小。

4.2 基于概率諧波電流源的電力機車模型

電力機車的概率諧波電流源模型如圖5所示。牽引供電臂一側(cè)接有負載，另一側(cè)空載。圖5中，TA、TB、TC為牽引變電所高壓側(cè)進線，iload為四象限整流橋模型在自耦變壓器原邊產(chǎn)生的電流，idiff為電流修正量，iload_n為修正之后的機車負載電流。

圖5 基于概率諧波電流源的電力機車模型Fig.5 Locomotive model based on probabilistic harmonic current source

假設(shè)計算得到的諧波電流為 ih，通過鎖相和傅里葉分析得到 iload中基波分量瞬時值為 iload_1，則電流的修正量idiff的計算表達式為:

修正之后的負載電流iload_n為:

其基波分量為四象限整流橋模型的基波電流，諧波分量由隨機電流源模型產(chǎn)生。

5 模型仿真結(jié)果

根據(jù)線路機車型號，選擇三電平四象限整流橋，主電路參數(shù)選擇參考文獻［8］:牽引變壓器容量17.6MVA(考慮到有上行和下行同時帶有負載的情況)，額定電壓27.5kV/1.5kV，折合到二次側(cè)漏感L=0.2mH，電阻R=0.02mΩ，直流側(cè)支撐電容C1=C2=80mF，直流側(cè)電壓 Ud=3kV，載波頻率1250Hz。

牽引和制動工況下接觸網(wǎng)與饋線之間的電壓差uTF以及機車負荷電流iload_n的仿真波形如圖6所示，為了便于觀察，將電流波形放大了100倍。波形顯示，四象限整流橋的功率因數(shù)控制效果良好。通過整流橋搭建的物理模型可以較好地仿真機車負荷的沖擊性以及負序?qū)﹄娋W(wǎng)的影響。

圖6 牽引和制動工況下的機車負荷電流以及接觸網(wǎng)饋線電壓差仿真波形Fig.6 Simulation curve of load current and catenaryfeeder voltage on traction condition and braking condition

概率諧波ih的仿真結(jié)果如圖 7所示，可以看出仿真得到的諧波電流具有隨機波動性。

圖7 概率諧波ih仿真結(jié)果Fig.7 Simulation curve of probabilistic harmonic current

為了驗證模型諧波的仿真效果，按照實測機車功率分布情況對機車模型的負載功率進行設(shè)定，得到1000組諧波電流仿真數(shù)據(jù)。變電站牽引變壓器副邊各次諧波95%概率值的仿真值與實測數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果如圖 8所示?？梢钥闯瞿Ｐ椭C波大小仿真結(jié)果非常接近實際情況。諧波相角的分布接近均勻分布，此處不再列出仿真結(jié)果。

圖8 諧波電流95%概率值仿真結(jié)果和實測數(shù)據(jù)比較Fig.8 Comparison of 95%harmonic value of simulation result and measured data

6 結(jié)論

本文基于大量實測數(shù)據(jù)，使用改進的最大熵法分析了某牽引變電所機車負荷的諧波分布特征，考慮了負荷諧波受基波電流大小以及路況等隨機因素的影響，利用 PSCAD的 MATLAB接口模塊實現(xiàn)了電力機車概率諧波電流源。用帶有等效直流負載的三電平四象限整流橋模擬機車負荷的基波電流，疊加上概率諧波電流源就得到了機車負荷的等效電流源模型。由于概率諧波電流源基于實測數(shù)據(jù)，避免了牽引網(wǎng)以及機車電氣參數(shù)和控制策略等因素對諧波仿真結(jié)果的影響，因此更接近實際情況。該模型可同時用于仿真機車負荷的沖擊性、負序以及諧波對電網(wǎng)的影響。本文提出的基于概率諧波的交流機車建模方法對于其他類型的牽引負荷也是適用的。

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