張現(xiàn)樂，王月明，歐陽靖雯

(西南科技大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，四川綿陽 621010)

土方工程中，通過土方調(diào)配計算確定施工區(qū)域填挖方區(qū)土方的調(diào)配方向和數(shù)量，以達到縮短工期和降低成本的目的。本文主要介紹了表上作業(yè)法進行土方調(diào)配的缺點和不足，以及常用軟件Excel 的“規(guī)劃求解”功能和LINGO 求解功能在土方調(diào)配計算中的應(yīng)用。這兩種方法避免了繁瑣的求解過程，保證了求解的準確性和可靠性，為工程技術(shù)人員提供了簡便的土方調(diào)配計算的方法。

1 問題描述及其數(shù)學(xué)模型

土方調(diào)配問題是指從不同的挖方區(qū)向不同的填方區(qū)運送土方，每個填方區(qū)需要特定數(shù)量的土方。問題是如何分配每個挖方區(qū)的土方供給，以便在滿足每個填方區(qū)需求的條件下，優(yōu)化某個目標，如最小全部費用或最小總運輸量。設(shè)有m個挖方區(qū)Wi(i=1，2，…，m)，設(shè)計的待挖土方量分別為si(i=1，2，…，m);有n個填方區(qū)Tj(j=1，2，…，n)，設(shè)計需要填方量分別為dj(j=1，2，…，n);從i 到j(luò) 平均運輸距離為cij。若用Xij表示從挖方區(qū)i 運往填方區(qū)j 的土方量，則在挖填平衡的條件下，土方的總運輸量最小(若cij為從i 到j(luò) 運輸單位土方的單價，則為總運費最小)的調(diào)運方案的數(shù)學(xué)模型為:

其中，式(1)為目標函數(shù)，即使土方總運輸量最小;式(2)為挖方區(qū)的供給約束;式(3)為填方區(qū)的需求約束;式(4)為變量非負約束。

上述表達式為挖填平衡時的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)挖填不平衡時，依據(jù)挖、填方量的大小關(guān)系，土方調(diào)配問題的線性規(guī)劃模型可分別表示如下［1］。

1.1 挖方量大于填方量

1.2 挖方量小于填方量

2 土方調(diào)配和運輸問題的傳統(tǒng)方法及其缺陷

2.1 傳統(tǒng)方法的步驟

土方調(diào)配問題從實質(zhì)上講屬于運籌學(xué)中的運輸問題，它又分為平衡和不平衡兩類。運輸問題(TP)最早由Hieheoek和Kantorovic 兩位學(xué)者提出，我國科學(xué)家王元、越民義等人率先開展研究，并于1959年前后獲得了表上作業(yè)法等重要成果。表上作業(yè)法是當(dāng)前我國解決土方調(diào)配問題通用的傳統(tǒng)方法，其基本計算過程為:(1)通過西北角法、最小元素法、元素差額法(Vogel 法)中的一種方法找出初始基可行解。(2)運用閉回路法或位勢法判別基可行解是否最優(yōu)，當(dāng)全部檢驗數(shù)非負時，取得最優(yōu)解。(3)在表上用閉回路調(diào)整法進行調(diào)整，確定換入變量和換出變量，重復(fù)以上步驟直至找出新的基，獲得最優(yōu)方案［2］。

2.2 傳統(tǒng)方法的缺陷

表上作業(yè)法在土方調(diào)配應(yīng)用上的缺陷是由表上作業(yè)法作業(yè)過程和土方工程中土方調(diào)配的特點產(chǎn)生的，其缺陷主要表現(xiàn)在以下4個方面:

(1)計算過程比較復(fù)雜。表上作業(yè)法不僅要找出初始基可行解，還要反復(fù)計算檢驗數(shù)，檢核正負值，判斷是否最優(yōu)和進行閉回路調(diào)優(yōu)，整個過程比較繁雜。

(2)計算量大，數(shù)據(jù)處理任務(wù)艱巨。假定有m個挖方區(qū)、n個填方區(qū)，則求初始基可行解一般需要m+n－1 次加減運算;用位勢法判優(yōu)，需要經(jīng)過解m+n－1 次一元一次方程計算位勢和計算(m×n)－(m+n－1)個檢驗數(shù)，總計需要計算m×n 次;用閉回路法進行調(diào)整，若需要調(diào)整k 次，則中間環(huán)節(jié)共需要計算k×(m×n)次得最優(yōu)解時，最優(yōu)解方案的安排需要經(jīng)過m+n－1 次加減運算得出。故全部過程一共需要經(jīng)過2×(m+n－1)+k×(m×n)次運算［3］。由于土方工程中挖填區(qū)通常較多，即m 和n 值較大，從而導(dǎo)致表上作業(yè)法的計算量巨大，加之表上作業(yè)法多采用手工計算，因此實現(xiàn)起來比較困難。

(3)計算容易出錯，進行正確性檢核比較困難。由于表上作業(yè)法進行土方調(diào)配計算步驟特別多，加之人工計算，很容易出錯，并且難以發(fā)現(xiàn)，逆序檢核、糾錯相當(dāng)困難。

(4)工作效率低下。表上作業(yè)法步驟多、計算量大，并難以采用電子計算機快速解算，因而要完成大型土方調(diào)配方案的確定，通常耗時較長;同時，表上作業(yè)法針對性強，自動化和適應(yīng)性較差，每遇到一個土方工程都要進行一輪計算，效率低下。

綜上所述，表上作業(yè)法對土方調(diào)配區(qū)域較多的工程并非是一種十分有效的方法。實際上，表上作業(yè)法的理論基礎(chǔ)是線性代數(shù)中的單純形法，因而可以把土方調(diào)配這類運輸問題作為線性規(guī)劃問題來解決。線性規(guī)劃是運籌學(xué)的一個重要分支，在數(shù)學(xué)上用以確定多變量線性函數(shù)在變量滿足線性約束條件下的最優(yōu)解，已經(jīng)成為求解各種優(yōu)化問題的主要方法。線性規(guī)劃不僅理論成熟，而且可以通過計算機來實現(xiàn)。借助線性規(guī)劃模型和Excel 軟件“規(guī)劃求解”功能或運用運籌學(xué)中LINGO 求解功能進行土方調(diào)配具有操作簡便、計算快速準確的優(yōu)點。

3 線性規(guī)劃模型和Microsoft Excel 在土方調(diào)配和運輸問題中的應(yīng)用

3.1 依據(jù)土方工程的設(shè)計繪制填挖方平衡及運距表

在土方工程中，可以通過方格網(wǎng)法、橫斷面法和散點法等計算出各挖填區(qū)土方量和之間的平均運輸距離，并繪制各調(diào)配區(qū)土方量和平均運距圖。

例:某項目已知各土方調(diào)配區(qū)的土方量和相互之間的平均運距(圖1)，求最優(yōu)方案。

為了求解方便，需要在Excel 中建一個填挖方土方量－運距表(見圖2)，將各調(diào)配區(qū)土方量和平均運距圖中的數(shù)值填入其中，作為土方調(diào)配的依據(jù)。

圖2 填挖土方量－運距表

3.2 線性規(guī)劃模型表達

在繪制出挖填土方量—運距表后，需要選擇合適的線性規(guī)劃模型，對土方調(diào)配問題進行具體數(shù)學(xué)表達，為利用Microsoft Excel 進行計算提供依據(jù)。本文以挖填平衡問題為例，挖填不平衡時土方調(diào)配方法與此類似。依據(jù)圖2，則所舉案例的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型應(yīng)為:

目標函數(shù):min Z=50×X11+70×X12+100×X13+…+80×X41+100×X42+40×X43

根據(jù)約束條件和上述計算式，可以得出未知量有4×3個，獨立方程有4+3－1個，該方程有無窮多組解［4］。而通過Excel 的“規(guī)劃求解”功能可以快速地求出一組最優(yōu)解，使目標函數(shù)值為最小。

3.3 借助Excel 快速實現(xiàn)規(guī)劃求解和土方調(diào)配

土方調(diào)配可以用“單純形法”或“表上作業(yè)法”求解。但用“表上作業(yè)法”求解土方調(diào)配最優(yōu)方案須輪流計算，計算量很大;用“單純型法”則更繁瑣。同時，無論是圖解法還是用單純形法，通常采用手工算法，計算起來比較繁瑣，也很容易出錯。

Excel 表具有強大的規(guī)劃求解功能，具體操作步驟如下。

(1)在上述已建好的填挖方平衡及運距Excel 表中，接著建立如圖3 所示單元格。

圖3 目標單元格和可變單元格

其中，單元格B8:D11 與線性規(guī)劃模型中變量Xij相對應(yīng)，為可變單元格，保持原始值0 空置不填;單元格B12:D12和E8:E11為約束條件的部分表達式，在E8 單元格中輸入公式“= SUM (B8:D8)”(即X11+X12+X13)，在E9 單元格中輸入公式“= SUM (B9:D9)”，在E10 單元格中輸入公式“=SUM (B10:D10)”，在E11 單元格中輸入公式“= SUM(B11:D11)”，在B12 單元格中輸入公式“= SUM (B8:B11)”，在C12 單元格中輸入公式“=SUM (C8:C11)”，在D12 單元格中輸入公式“=SUM (D8:D11)”;單元格F2 與線性規(guī)劃模型中目標函數(shù)的表達式相對應(yīng)，是目標單元格，輸入公式“=SUMPRODUCT (B2:D5，$B$8:$D $11)”，數(shù)學(xué)含義為“50×X11+70×X12+100×X13+…+80×X41+100×X42+40×X43”，實際含義為“土方總運輸量”。計算式中$ B $8:$D $11為絕對地址，這樣做是為了方便計算式的復(fù)制。按上述輸入后，單元格B12:D12、E8:E11 和F2 的值暫時變?yōu)?，見圖3。

(2)加載“規(guī)劃求解”程序。一般情況下，Microsoft Excel軟件中規(guī)劃求解的功能都尚未安裝，需要加載。單擊“工具”菜單，然后點擊“加載宏”，然后在彈出菜單中選中“規(guī)劃求解”項，最后單擊“確定”即可。

(3)設(shè)置“規(guī)劃求解參數(shù)”。點擊“工具”中的“規(guī)劃求解”選項打開規(guī)劃求解參數(shù)設(shè)置頁面。在“設(shè)置目標單元格中”填入“$F$2”，在“等于”選項中選擇“最小值”，在“可變單元格”選項中填入“$B$8:$D$11”。在“約束”選項中點擊“添加”按紐，添加約束條件“$ B $12:$ D $12=$B$6:$D$6、$ E $8:$ E $11=$ E $2:$ E$5 和$B$8:$D$11 ≥0”。點擊“選項”按鈕出現(xiàn)“規(guī)劃求解選項”對話框，選定“采用線性模型”和“假定非負”復(fù)選項，其中的“迭代次數(shù)”選項參數(shù)可以隨著精度的要求決定。

(4)求解。規(guī)劃求解參數(shù)全部設(shè)置好之后，即可點擊“求解”按鈕進行計算，彈出“規(guī)劃求解結(jié)果”對話框后，點擊“確定”后便得到求解結(jié)果(見圖4 所示)。

圖4 土方調(diào)配方案

從圖4 中可以看出土方的調(diào)配方案為:挖方區(qū)W1 分別運往填方區(qū)T1、T2 土方400 m3和100 m3，挖方區(qū)W2 需要運往填方區(qū)T2 土方500 m3，挖方區(qū)W3 需要分別運往填方區(qū)T1、T3 土方400 m3和100 m3，挖方區(qū)W4 需要運往填方區(qū)T3土方400 m3，土方調(diào)配后土方總運輸量為94000 m3。

(5)檢驗結(jié)果。為了防止計算出錯，可以通過單元格B12:D12 與B6:D6 以及E8:E11 與E2:E5 對比分析檢驗輸入是否出錯。如果兩者一致說明正確無誤，如果不一致則說明單元格數(shù)據(jù)輸入或規(guī)劃參數(shù)設(shè)置出錯，需要檢查糾正。經(jīng)檢驗，本次計算正確無誤。

(6)繪制土方調(diào)配圖。為了方便工程施工需要將得出來的調(diào)配方案繪制成土方調(diào)配圖，見圖5。

圖5 土方調(diào)配圖

4 采用運籌學(xué)中LINGO 程序求解

當(dāng)在Windows 下開始運行LINGO 系統(tǒng)時，會得到類似圖6 的一個窗口。

圖6 Windows 開始運行LINGO 系統(tǒng)時的窗口

其中外層是主框架窗口，包含了所有菜單命令和工具條，其它所有的窗口將被包含在主窗口之下。在主窗口內(nèi)的標題為LINGO Model－LINGO1 的窗口是LINGO 的默認模型窗口，建立的模型都要在該窗口內(nèi)編碼實現(xiàn)。

而采用LINGO 求解上面的例題，需要輸入程序:

然后點擊工具條上的求解按鈕即可求得結(jié)果。經(jīng)檢驗，所求得結(jié)果與用Excel 求解得到的結(jié)果一樣。而運用LINGO的程序求解更方便，它可以用于一切的土方調(diào)配和運輸問題。如果是小型土方平整，也可以不輸入程序，直接輸入前面提到的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，即可求得結(jié)果。經(jīng)過筆者檢驗，完全可以實現(xiàn)。

5 Microsoft Excel 規(guī)劃求解功能和LINGO 求解功能的

利用Excel 規(guī)劃求解功能和LINGO 求解功能求解土方調(diào)配問題的方法適用范圍較廣，它們不僅適用于挖填平衡條件下的土方調(diào)配，而且也適用于挖填不平衡的情況，即可以應(yīng)用于所有線性運輸問題(LTP)。挖填不平衡時，只需采用相應(yīng)的線性規(guī)劃模型并改變Excel“規(guī)劃求解參數(shù)設(shè)置”約束條件即可，而LINGO 只需在模型窗口中改變約束條件即可。Excel 計算表在土方調(diào)配中可以重復(fù)使用，效率較高。當(dāng)土地平整工程和土方調(diào)配任務(wù)發(fā)生變化時，只需根據(jù)挖填區(qū)個數(shù)在圖4 中刪除或插入相應(yīng)的單元格即可，而Excel 計算表的公式和規(guī)劃求解參數(shù)通常無需修改。此外，如果需要經(jīng)常性進行土方調(diào)配工作，還可設(shè)置“清空數(shù)據(jù)”和“土方調(diào)配”等命令按紐以及快捷菜單，方便清除數(shù)據(jù)，達到優(yōu)化用戶操作界面的目的。而利用LINGO 程序求解則無需這樣。

需要注意的是，運用Excel 規(guī)劃求解功能求解計算出來的結(jié)果一定最優(yōu)，但可能并非惟一，所得方案只是最優(yōu)方案中的一種，是否存在惟一解，需通過位勢法求來檢驗。若非基變量的檢驗數(shù)全部大于0，則所求解為惟一最優(yōu)解;若存在非基變量的檢驗數(shù)等于0，則說明存在非惟一最優(yōu)解。此時，只要把檢驗數(shù)為0 的非基變量作為入基變量，調(diào)整運輸方案，即可得到另一個最優(yōu)方案。而LINGO 求解計算出來的結(jié)果一定最優(yōu)，且可以得到所有的最優(yōu)方案。

8 結(jié)束論

本文介紹了借助線性規(guī)劃模型和Microsoft Excel“規(guī)劃求解功能”求解以及LINGO 求解土方工程中土方調(diào)配問題的方法，與傳統(tǒng)的表上作業(yè)法相比，這兩種方法具有方便、快捷、準確的優(yōu)點，尤其在挖、填區(qū)較多情況下，這樣的優(yōu)勢將更加明顯。同時，這兩種方法也可推廣應(yīng)用于所有線性運輸問題(LTP )和最短路徑問題的求解。

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