李 萬，張志華，周 峰，張 濤

（1.海軍工程大學(xué)兵器工程系，湖北 武漢 430033；2.北京環(huán)球信息應(yīng)用開發(fā)中心，北京 100094）

水下爆炸對(duì)水下目標(biāo)的毀傷過程很復(fù)雜，整個(gè)過程包括炸藥的水下爆炸、水下爆炸沖擊波的形成和傳播、水下爆炸沖擊波和目標(biāo)的流固耦合作用，以及水下目標(biāo)結(jié)構(gòu)在水下爆炸波載荷作用下的彈塑性動(dòng)力響應(yīng)等，深入研究水下爆炸對(duì)水下目標(biāo)的毀傷效應(yīng)對(duì)于水下目標(biāo)的抗爆防護(hù)具有重要的意義。由于水下目標(biāo)結(jié)構(gòu)在水下爆炸沖擊波載荷作用下的彈塑性動(dòng)力響應(yīng)常常是一個(gè)高度結(jié)構(gòu)非線性的問題，因此對(duì)該問題主要采用數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法進(jìn)行研究。P.K.Fox［1］通過實(shí)驗(yàn)和LS－DYNA／USA程序模擬研究了遠(yuǎn)場(chǎng)水下爆炸沖擊波對(duì)圓柱殼的毀傷效應(yīng)；賈憲振等［2］利用通用有限元程序ABAQUS對(duì)深水環(huán)境中圓柱殼在水下爆炸作用下的毀傷效應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值模擬。在已有的研究中，一般僅研究水下目標(biāo)外殼結(jié)構(gòu)的毀傷效果，有關(guān)水下目標(biāo)內(nèi)部裝置毀傷效應(yīng)的報(bào)道不多。然而，需要特別指出的是，水下目標(biāo)內(nèi)部裝置由精細(xì)的電子功能元件組成，屬于電子類產(chǎn)品，抗沖擊能力較差，很容易因遭受沖擊而損壞。所以說，要?dú)繕?biāo)，不一定要使目標(biāo)外殼破裂，如果能使目標(biāo)受到足夠大的沖擊，造成目標(biāo)內(nèi)部裝置振動(dòng)而損壞，也可以毀傷目標(biāo)。由于水下爆炸問題涉及流體和結(jié)構(gòu)的相互耦合作用，建立的數(shù)學(xué)物理模型還不完善，因此通過有限元程序從力學(xué)角度揭示內(nèi)部裝置元件的毀傷機(jī)制不一定符合實(shí)際情況；而這可以通過從水下爆炸實(shí)驗(yàn)獲得的水下目標(biāo)內(nèi)部裝置沖擊信號(hào)進(jìn)行研究。

水下爆炸作用下的目標(biāo)內(nèi)部裝置沖擊信號(hào)具有突變快、持時(shí)短的特點(diǎn)，是典型的非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，信號(hào)分析要求具有較高的頻率分辨率和時(shí)間分辨率。近年來，一些研究者用小波變換處理非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，并利用小波變換處理工程爆破振動(dòng)信號(hào)取得了一定的應(yīng)用成果［3］。本文中針對(duì)水下目標(biāo)內(nèi)部裝置沖擊信號(hào)的特點(diǎn)，利用小波變換的多分辨分解和分層的重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)間的基本關(guān)系，建立沖擊信號(hào)時(shí)頻特征分析的基本方法，以期取得沖擊信號(hào)能量分布的某些特征。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 小波分析的基本理論

設(shè)ψ（t）∈L2（R）（L2（R）為能量有限的信號(hào)空間）是一個(gè)平方可積函數(shù)，若其傅立葉變換（w）滿足允許條件［4－6］

則稱ψ（t）為一個(gè)基本小波或小波函數(shù)（即小波基），稱式（1）為小波容許條件。

將小波函數(shù)ψ（t）通過伸縮和平移后，就可以得到一個(gè)小波序列。對(duì)于連續(xù)的情況，小波序列為

式中：c為伸縮因子，b為平移因子。

小波變換的實(shí)質(zhì)是將一個(gè)任意信號(hào)s（t）以小波函數(shù)為基底進(jìn)行展開，即將信號(hào)s（t）表示為小波函數(shù)的線性組合。對(duì)于任意能量有限的信號(hào)s（t）∈L2（R），其關(guān)于ψ（t）的連續(xù)小波變換定義如下

的共軛函數(shù)。

實(shí)際運(yùn)用小波變換［7－9］時(shí)，伸縮因子c是按二進(jìn)制進(jìn)行離散的，即信號(hào)的頻帶是按指數(shù)等間隔劃分的。若設(shè)采樣頻率為2f，則被分析信號(hào)頻帶為［0，f］，則經(jīng)一層分解后，頻帶寬分別為［0，f／2］和［f／2，f］，每部分都經(jīng)過一次減點(diǎn)抽樣；再下一層的小波分解則是對(duì)頻率成分［0，f／2］進(jìn)一步分解，頻帶再分為［0，f／22］和［f／22，f／2］。如此類推，經(jīng)N次分解后，即可得第N層的小波分解結(jié)果。

如果s0（t）表示實(shí)測(cè)信號(hào)，sr（t）表示小波分解后的完全重構(gòu)信號(hào)，可以得到它們之間的相對(duì)誤差

由于小波基函數(shù)存在多種可能的選擇，小波分解的實(shí)際效果以及它與實(shí)測(cè)爆破振動(dòng)的符合程度可以根據(jù)該相對(duì)誤差的大小進(jìn)行判定。

1.2 頻帶能量表征

小波多分辨率分析條件下，采用二進(jìn)小波時(shí)，根據(jù)Mallat算法［4］，信號(hào)s（t）滿足如下分層分解關(guān)系

式中：si（t）表示為信號(hào)s（t）小波分解的低頻部分，gi（t）表示為信號(hào)s（t）小波分解的高頻部分，下標(biāo)i表示所對(duì)應(yīng)的分解層次。

為了使表達(dá)簡潔，令信號(hào)g0（t）＝sN（t），則式（5）可以表達(dá)為

如果將信號(hào)s（t）進(jìn)行N層的小波分解和重構(gòu)，根據(jù)式（6）可得信號(hào)總能量

由小波函數(shù)的正交性可知，式（7）的第2部分為零，因此，式（7）又可簡化為

2 沖擊響應(yīng)實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)在大型水下爆炸實(shí)驗(yàn)水池中進(jìn)行，考察小藥量炸藥的水下爆炸對(duì)某水下目標(biāo)的毀傷效果。該水池水面直徑為85m，池底直徑為10m，水深15m，呈倒圓臺(tái)型。將目標(biāo)固定在水下8m處?？紤]到工程實(shí)際，實(shí)驗(yàn)中以2kg球形TNT裝藥作為標(biāo)準(zhǔn)藥包，水下目標(biāo)與炸藥放置在同一深度。由于是小藥量炸藥爆炸，水的自由表面和水底的影響可忽略，可近似認(rèn)為炸藥在無限、均勻、靜止的水介質(zhì)中爆炸。

根據(jù)爆炸理論和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)可認(rèn)為影響目標(biāo)損傷效果的主要因素有TNT質(zhì)量、水深、爆炸距離r、方向角α等。實(shí)驗(yàn)時(shí)，在目標(biāo)內(nèi)部裝置的元件底板上布設(shè)一個(gè)安裝塊，在相互垂直的軸向、徑向和周向各安一個(gè)加速度傳感器，在TNT質(zhì)量、水深不變的條件下分別改變爆炸距離、方向角進(jìn)行了多次實(shí)驗(yàn)。從測(cè)試得到的信號(hào)數(shù)據(jù)中選取具有代表性的4個(gè)工況的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，下面以工況1軸向沖擊加速度信號(hào)為例進(jìn)行分析，其他信號(hào)的分析類似。

3 水下爆炸沖擊加速度信號(hào)小波分解及各頻帶的能量分布

3.1 沖擊加速度信號(hào)響應(yīng)

實(shí)驗(yàn)時(shí)，考慮到水下爆炸沖擊波持續(xù)時(shí)間短，設(shè)置水下爆炸加速度信號(hào)分析儀的采樣時(shí)間為10μs。圖1為工況1中水下目標(biāo)內(nèi)部裝置的軸向沖擊加速度曲線。

炸藥在水下爆炸時(shí)，通常產(chǎn)生沖擊波、氣泡和壓力波。高溫高壓氣泡強(qiáng)烈擠壓周圍的水并向外擴(kuò)散，于是便形成了初始沖擊波。沖擊波傳播的同時(shí)還會(huì)伴隨有氣泡的脈動(dòng)作用，并產(chǎn)生二次壓力波，也會(huì)對(duì)水下目標(biāo)造成破壞。沖擊波引起的加速度幅值為2 004g，二次壓力波引起的加速度幅值為324.3g，但是沖擊波作用時(shí)間較短，頻率高，二次壓力波的作用時(shí)間較長，頻率低。根據(jù)R.H.Cole［10］的水下爆炸理論，氣泡脈動(dòng)周期

圖1 工況1中水下目標(biāo)內(nèi)部裝置的軸向沖擊信號(hào)曲線Fig.1Axial shock signal of an interior device for the underwater target in case 1

式中：氣泡脈動(dòng)周期T，單位為s；m為炸藥的質(zhì)量，單位為kg；h為水深，單位為m。

由式（10）計(jì)算得到的氣泡脈動(dòng)周期為235ms，而測(cè)試得到的氣泡脈動(dòng)周期為241ms。由此可見，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與用R.H.Cole的水下爆炸理論的計(jì)算結(jié)果接近，表明實(shí)驗(yàn)是可靠的。

3.2 沖擊信號(hào)小波分解

（1）小波基的選擇。小波分析中選擇最優(yōu)小波基很重要，因?yàn)橛貌煌男〔ɑ治鐾恍盘?hào)會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果［5］。Daubechies小波系列具有較好的緊支撐性、光滑性和近似對(duì)稱性［5，11］，已被成功地應(yīng)用于分析包括爆破地震在內(nèi)的非平穩(wěn)信號(hào)問題［12］。而目前在非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)處理中用得最多的是db4和db8小波。

（2）分解層數(shù)的選擇。將信號(hào)進(jìn)行小波分解時(shí)，由于本文中的采樣頻率較高，為100kHz，根據(jù)Shannon采樣定理，則其奈奎斯特頻率為50kHz。本文中用db4小波和db8小波分別對(duì)信號(hào)進(jìn)行10層小波分解，可獲得11個(gè)頻帶的小波分解系數(shù)。根據(jù)小波分解原理，11個(gè)頻帶寬度分別為：0～48.8、48.8～97.6、97.6～195.3、195.3～390.6、390.6～781.2、781.2～1 562.5、1 562.5～3 125.0、3 125.0～6 250.0、6 250.0～12 500.0、12 500.0～25 000.0和25 000.0～50 000.0Hz。

為驗(yàn)證小波包分解后的信號(hào)是否真實(shí)反映原始信號(hào)，對(duì)分解后的信號(hào)進(jìn)行完全重構(gòu)，根據(jù)式（4）計(jì)算完全重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)的相對(duì)誤差量級(jí)均在10－11以上，可完全滿足工程計(jì)算和分析要求。計(jì)算中選擇db4小波比選擇db8小波的相對(duì)誤差大，因此這里選用db8小波。所以，用db8小波對(duì)沖擊信號(hào)進(jìn)行分解的過程中，信號(hào)的能量損失可忽略不計(jì)。將11個(gè)頻帶分解系數(shù)重構(gòu)后，獲得上述11個(gè)頻帶的振動(dòng)分量的時(shí)間歷程曲線，如圖2所示。

3.3 沖擊信號(hào)各頻帶的能量分布

圖2 工況1的軸向沖擊信號(hào)小波分解后的分層重構(gòu)信號(hào)Fig.2Reconstructed signals of axial shock signals in case 1undergoing wavelet decomposition at different levels

根據(jù)式（4）～（8）使用MATLAB語言編制計(jì)算程序，可獲得工況1軸向沖擊信號(hào)各頻帶f的能量分布／和加速度峰值，如表1所示。

表1 工況1軸向沖擊信號(hào)的頻帶參數(shù)Table 1Band parameters for axial shock signals in case 1

4 沖擊信號(hào)的時(shí)頻特征分析

（1）由表1可知，頻帶7（1 562.5～3 125.0Hz）沖擊信號(hào)分量的小波頻帶能量最大。該沖擊信號(hào)的最大峰值加速度所在頻帶也為頻帶7。也就是說，沖擊信號(hào)的峰值加速度大小在一定程度上可由小波頻帶能量的大小來反映。因此，小波頻帶能量可以反映沖擊信號(hào)強(qiáng)度對(duì)水下目標(biāo)毀傷效果的影響。

（2）通過小波分析提取不同頻帶的沖擊信號(hào)分量，獲得各個(gè)頻帶沖擊信號(hào)分量的小波頻帶能量，而小波頻帶能量大小直接反映了相應(yīng)頻帶沖擊信號(hào)分量的強(qiáng)度，從而可獲取不同頻帶沖擊信號(hào)分量對(duì)水下目標(biāo)毀傷效果的影響。因此，小波頻帶能量可以反映沖擊信號(hào)頻率對(duì)水下目標(biāo)毀傷效果的影響。

（3）由圖2、表1可知，在低頻帶1～3，沖擊信號(hào)分量衰減緩慢，振動(dòng)持續(xù)時(shí)間較長，那么頻帶峰值加速度越大，小波頻帶能量就越大；在信號(hào)的高頻帶，盡管頻帶8沖擊信號(hào)的頻帶峰值加速度比頻帶6的峰值加速度大，但所對(duì)應(yīng)的相對(duì)能量較小。事實(shí)上，對(duì)比圖2（f）和（h）不難看出，由于高頻帶8沖擊信號(hào)分量的衰減較快，振動(dòng)持續(xù)時(shí)間較短，所以小波頻帶能量較小。這個(gè)特點(diǎn)必須結(jié)合圖2、表1才能發(fā)現(xiàn)，僅從表1的能量分布無法發(fā)現(xiàn)這一特點(diǎn)。同樣，頻帶9沖擊信號(hào)的頻帶峰值加速度比頻帶5的峰值加速度大，但所對(duì)應(yīng)的相對(duì)能量較小。因此，小波頻帶能量可以反映沖擊信號(hào)持續(xù)時(shí)間對(duì)水下目標(biāo)毀傷效果的影響。

（4）在圖2（i）～（j）的高頻帶，水下爆炸壓力主要來自沖擊波的壓力，峰值大，持續(xù)時(shí)間短，衰減快，基本沒有二次壓力波的作用；從圖2（h）才可以明顯看出二次壓力波的作用；由圖2（g）可知頻帶7的振動(dòng)加速度峰值最大；在圖2（a）～（c）中，沖擊波壓力明顯降低，衰減速度減慢；在圖2（c）中，由二次壓力波引起的振動(dòng)加速度峰值已經(jīng)超過由沖擊波壓力引起的振動(dòng)加速度峰值。因此，用基于小波變換的時(shí)頻分析方法可以獲得沖擊波和二次壓力波在不同頻帶的分布和衰減的細(xì)節(jié)信息。

（5）為了進(jìn)一步分析水下爆炸沖擊信號(hào)中由沖擊波和二次壓力波引起的振動(dòng)加速度能量分布，將沖擊信號(hào)加速度信號(hào)分為2個(gè)階段，以出現(xiàn)加速度峰值的時(shí)間中點(diǎn)為分割點(diǎn)，定義0～148ms為沖擊波作用時(shí)間，148～400ms為二次壓力波的作用時(shí)間。根據(jù)小波變換的分層重構(gòu)信號(hào)可以得到在不同頻率帶上沖擊波和二次壓力波的能量分布情況，如圖3所示。從圖3能夠直觀地看出，沖擊響應(yīng)主要是受沖擊波的作用，受二次壓力波的作用可忽略不計(jì)，但在低頻帶1～3中由二次壓力波引起的振動(dòng)能量比沖擊波引起的大。

圖3 在沖擊波和二次壓力波作用下工況1沖擊信號(hào)在不同頻帶上的軸向能量分布Fig.3Axial energy distribution in different frequency bands for shock signals in case 1

（6）另外分析了其他3個(gè)工況沖擊信號(hào)的能量E分布，如表2所示，表中量的上標(biāo)2、3和4分別表示工況2、3和4，下標(biāo)a、r和c分別表示軸向、徑向和周向，下標(biāo)i表示不同的頻帶。3個(gè)工況分別為：工況2，r＝3.5m，α＝45°；工況3，r＝2.5m，α＝135°；工況4，r＝2.0m，α＝90°。工況2沖擊信號(hào)軸向、徑向和周向總能量分別為9 687.4g2、2 847.2g2和2 452.1g2；工況3沖擊信號(hào)軸向、徑向和周向總能量分別為8 629.1g2、2 282.7g2和3 309.1g2；工況4沖擊信號(hào)軸向、徑向和周向總能量分別為8 950.3g2、1 278.3g2和3 027.2g2。3個(gè)工況下的總能量均表現(xiàn)為軸向總能量最大，遠(yuǎn)大于徑向和周向總能量。由表2可以看出，沖擊信號(hào)的能量分布很廣，3個(gè)工況下在195.3～6 250.0Hz間3個(gè)方向上的能量分量分別占該信號(hào)相應(yīng)方向上總能量的91.02%、96.75%、90.04%、97.05%、93.95%、97.45%、90.63%、87.08%和91.94%，而在0～97.6Hz間的相應(yīng)能量所占比例很小。

表2 不同沖擊信號(hào)在各頻帶上的能量分布Table 2Energy distributions of different shock signals in different frequency bands

5 結(jié) 論

（1）建立了沖擊信號(hào)時(shí)頻特征分析的基本方法，小波時(shí)頻分析的頻帶能量可以同時(shí)反映沖擊振動(dòng)的強(qiáng)度、頻率和持續(xù)時(shí)間對(duì)水下目標(biāo)損傷效果的影響，因此可以將頻帶能量作為水下爆炸毀傷水下目標(biāo)的特征指標(biāo)。

（2）從采用小波變換得到的不同頻帶的時(shí)間歷程曲線，可以獲得沖擊波和二次壓力波在不同頻帶上分布和衰減的細(xì)節(jié)信息。

（3）通過沖擊信號(hào)時(shí)頻特征分析得到?jīng)_擊波和二次壓力波引起的沖擊信號(hào)能量分布，可以直觀地看出，水下目標(biāo)內(nèi)部裝置沖擊響應(yīng)主要是受沖擊波的作用，受二次壓力波的作用可忽略不計(jì)，但在低頻帶1～3中由二次壓力波引起的振動(dòng)能量比由沖擊波壓力引起的大。

（4）3個(gè)方向總能量的一般近似規(guī)律為軸向總能量最大，遠(yuǎn)大于徑向和周向總能量；沖擊信號(hào)的能量分布很廣，但絕大部分能量集中于195.3～6 250.0Hz間，而在0～97.6Hz間的能量所占比例很小。

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