葛長(zhǎng)闖，王建軍，劉永泉

（1.中航工業(yè)沈陽(yáng)發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所，沈陽(yáng) 110015；2.北京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京 100191）

失諧多級(jí)整體葉盤振動(dòng)模態(tài)特性定量評(píng)價(jià)方法研究

葛長(zhǎng)闖1，王建軍2，劉永泉1

（1.中航工業(yè)沈陽(yáng)發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所，沈陽(yáng) 110015；2.北京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京 100191）

主要研究了失諧多級(jí)葉盤振動(dòng)模態(tài)局部化的定量評(píng)價(jià)方法。采用3種基于應(yīng)變能理論的模態(tài)局部化因子來(lái)，評(píng)價(jià)失諧多級(jí)葉盤的振動(dòng)模態(tài)特性。在此基礎(chǔ)上，分析了典型失諧模式的2級(jí)葉盤模態(tài)局部化特性。分析結(jié)果表明：3種模態(tài)局部化因子在失諧多級(jí)葉盤振動(dòng)評(píng)價(jià)中具有較好的適應(yīng)性。

失諧；多級(jí)葉盤；模態(tài)；定量評(píng)價(jià)；應(yīng)變能；局部化因子

0 引言

渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)葉盤結(jié)構(gòu)通常被認(rèn)為是周期對(duì)稱結(jié)構(gòu)，由于受制造誤差、材料性質(zhì)、使用磨損或?yàn)橐种祁澱駥?duì)葉片進(jìn)行錯(cuò)頻等因素的影響，造成實(shí)際葉盤各扇區(qū)間有小量差別，這種葉盤通常稱為失諧葉盤。失諧葉盤工作時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)1個(gè)或少數(shù)幾個(gè)扇區(qū)振動(dòng)較大而其余扇區(qū)振動(dòng)不明顯的現(xiàn)象，從而造成局部率先疲勞失效。這一現(xiàn)象在剛性較弱的葉片結(jié)構(gòu)上反映明顯，在工程上通常將這種葉片稱為“傻子葉片”或“強(qiáng)盜葉片”[1]。國(guó)內(nèi)外對(duì)失諧葉盤的研究主要集中于對(duì)單級(jí)葉盤振動(dòng)特性研究，獲得了一些經(jīng)驗(yàn)和評(píng)價(jià)方法[1-2]；對(duì)于失諧多級(jí)葉盤振動(dòng)特性及分析評(píng)價(jià)方法的研究開(kāi)展得較少[3-5]，國(guó)內(nèi)尚未看到公開(kāi)研究資料。

本文開(kāi)展失諧多級(jí)葉盤失諧特性的定量評(píng)價(jià)方法研究，并利用其方法分析了多級(jí)失諧葉盤振動(dòng)模態(tài)特性，可供葉盤振動(dòng)分析參考。

1 失諧多級(jí)葉盤振動(dòng)局部化描述與評(píng)價(jià)

1.1 失諧葉盤的振動(dòng)方程

葉盤結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程可表示為

式中：x為位移向量；M、C、K和f分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和外力矩陣。

對(duì)于單級(jí)諧調(diào)葉盤結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣具有循環(huán)周期對(duì)稱性。當(dāng)系統(tǒng)引入失諧時(shí)，系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣的循環(huán)周期對(duì)稱性就會(huì)被破壞，其矩陣均會(huì)發(fā)生變化，失諧系統(tǒng)方程可表示為

式中：M0、C0、K0分別為單級(jí)諧調(diào)葉盤結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；δM、δC、δK分別為其對(duì)應(yīng)的失諧矩陣[1-2]。

對(duì)于多級(jí)諧調(diào)葉盤結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，由于通常級(jí)與級(jí)之間的葉片數(shù)不等，質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣的循環(huán)周期對(duì)稱性會(huì)遭到破壞，級(jí)與級(jí)間周期對(duì)稱性的不同稱為“級(jí)間失諧”[1]，這種現(xiàn)象會(huì)影響響應(yīng)的諧調(diào)性。但為了區(qū)分同級(jí)中引入非諧量的失諧葉盤，“級(jí)間失諧”多級(jí)葉盤仍稱為諧調(diào)多級(jí)葉盤，而把由于盤片扇段引入失諧量的多級(jí)葉盤稱為失諧多級(jí)葉盤?？梢?jiàn)，當(dāng)多級(jí)葉盤引入失諧時(shí)，式（1）～（4）仍然適用。

1.2 失諧多級(jí)葉盤結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)局部化評(píng)價(jià)

迄今為止，在失諧周期結(jié)構(gòu)和葉盤結(jié)構(gòu)模態(tài)振型局部化的定量描述研究中有多種思路和方法，但主要是基于集中參數(shù)模型、連續(xù)參數(shù)模型和針對(duì)一般周期結(jié)構(gòu)提出的模型[1-2]。

王建軍、于長(zhǎng)波等[1,6]在利用有限元法分析失諧葉盤振動(dòng)模態(tài)時(shí)提出了幾種評(píng)價(jià)模態(tài)局部化的局部化因子，并在典型失諧單級(jí)葉盤振動(dòng)模態(tài)局部化評(píng)價(jià)中得到了較為成功地應(yīng)用。

1.2.1 王建軍、于長(zhǎng)波提出的模態(tài)局部化因子[1,6]

首先定義第j個(gè)葉片無(wú)量綱化振型矢量。設(shè)uj為某階模態(tài)振型矢量第j個(gè)葉片相應(yīng)物理量的值（包括模態(tài)幅值、模態(tài)應(yīng)力和模態(tài)應(yīng)變能等）。這個(gè)相應(yīng)物理量表示該階模態(tài)第j個(gè)葉片相應(yīng)物理量的值，為各葉片的相應(yīng)物理量之和，從而可以定義第j個(gè)葉片相應(yīng)物理量的無(wú)量綱值為

式中：Nb為該級(jí)葉盤結(jié)構(gòu)的葉片數(shù)。

該無(wú)量綱振型元素實(shí)際上反映了相應(yīng)的葉片振動(dòng)能量在該階模態(tài)振動(dòng)能量中的比重。利用該無(wú)量綱的定義方法，分別定義了3種模態(tài)局部化因子，分別是振型局部化、應(yīng)力局部化和應(yīng)變能局部化因子。對(duì)于任一階模態(tài)，若按式（5）求得的失諧前、后位移振型矢量的最大無(wú)量綱元素分別為ut和um，則可以定義失諧振動(dòng)模態(tài)振型位移局部化因子為

如果將式（5）中模態(tài)位移分別換成模態(tài)應(yīng)力和模態(tài)應(yīng)變能，便是應(yīng)力局部化因子和應(yīng)變能局部化因子。位移和應(yīng)力局部化因子均有一定的缺點(diǎn)。其中，位移局部化因子難以反映出復(fù)雜振動(dòng)形式的失諧強(qiáng)弱規(guī)律；應(yīng)力局部化因子受到葉片型面以及倒角的影響而可能存在應(yīng)力集中。而應(yīng)變能局部化因子很好地克服了上述缺點(diǎn)，但其運(yùn)算上要花費(fèi)更多的時(shí)間和更大的空間，不過(guò)，隨著計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力的不斷提高，這一缺點(diǎn)逐漸被弱化。

1.2.2 應(yīng)用于多級(jí)失諧葉盤的模態(tài)局部化因子

從式（6）可知，如果將位移u換成振動(dòng)應(yīng)變能E，當(dāng)Et=0/0（葉片不參與振動(dòng)）或者結(jié)果很小，計(jì)算結(jié)果將失效或被放大較多，這對(duì)于多級(jí)葉盤的單級(jí)主導(dǎo)振動(dòng)振型[3-5]的失諧識(shí)別闡述不夠統(tǒng)一。因此，下面將采用類似于歸一化的方法修改上述局部化因子。根據(jù)王建軍、于長(zhǎng)波提出的應(yīng)變能局部化因子，本文提出了3種不同種類應(yīng)變能局部化因子來(lái)判別失諧多級(jí)葉盤的失諧特性。

（1）失諧多級(jí)葉盤模態(tài)局部化因子

對(duì)于多級(jí)葉盤結(jié)構(gòu)的某級(jí)葉片來(lái)說(shuō)，任1階模態(tài)，由式（5）求得失諧前、后葉片振動(dòng)模態(tài)應(yīng)變能的最大無(wú)量綱元素分別為Et和Em，做歸一化改變后，則定義多級(jí)失諧振動(dòng)模態(tài)應(yīng)變能局部化因子為

規(guī)定：若 Et或 Em為0/0型數(shù)據(jù)，則 Et或 Em為 0（由定義，0≤Et和 Em≤1；實(shí)際上，Et、Em均大于 0；只有在理想狀態(tài)下，Et、Em等于 0或 1）。

式（7）可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

從式（8）可知，對(duì)失諧比較明顯的階次，相對(duì)來(lái)說(shuō)識(shí)別的效果尚可；但經(jīng)式（7）改進(jìn)后，失諧的放大量減小，不利于弱失諧的識(shí)別。因此，提出1種適用于葉片小量失諧識(shí)別的多級(jí)葉盤高階振動(dòng)模態(tài)局部化因子。

（2）失諧多級(jí)葉盤高階模態(tài)局部化因子

式（7）定義的多級(jí)葉盤模態(tài)局部化因子數(shù)值范圍為[0,1]，而根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)，利用開(kāi)方的方法可實(shí)現(xiàn)對(duì)小量失諧的放大，而數(shù)值越接近1，放大量相對(duì)越小。該方法克服了式（7）對(duì)失諧相對(duì)較弱時(shí)識(shí)別不足的缺點(diǎn)；也可根據(jù)實(shí)際需要，對(duì)結(jié)果作開(kāi)n次方處理，以使結(jié)果更易觀察。

從物理意義上來(lái)說(shuō)，在剛度不變的情況下，應(yīng)變能與位移的平方成正比。因此，忽略剛度的小量變化時(shí)，將應(yīng)變能局部化因子開(kāi)平方后所得到的局部化因子可近似認(rèn)為是對(duì)位移局部化因子的另1種詮釋。

多級(jí)葉盤的某級(jí)葉片的高階模態(tài)局部化因子可定義為

式中：Et、Em分別為由式（5）求得失諧前、后振動(dòng)模態(tài)應(yīng)變能的最大無(wú)量綱數(shù)值；為符號(hào)系數(shù)；n為放大階次，可以根據(jù)需要來(lái)取。

通過(guò)簡(jiǎn)單算例檢驗(yàn)式（9）。如果由式（7）計(jì)算的某級(jí)葉片的某2階模態(tài)的第1階次模態(tài)局部化因子分別為 0.01（弱失諧）和 0.9216（強(qiáng)失諧），則由式（9）計(jì)算的第2階模態(tài)局部化因子分別為0.10和0.96。可見(jiàn)，對(duì)于弱失諧，采用高階模態(tài)局部化因子識(shí)別效果更好。

（3）失諧多級(jí)葉盤3維模態(tài)局部化因子

由式（7）、（9）可知，上述定義只描述各階最大失諧葉片的失諧程度，對(duì)總體失諧概況描述得不夠具體。受3維振動(dòng)譜線的啟發(fā)，將式（7）進(jìn)行改進(jìn)，增加了葉片序號(hào)軸，于是，將2維局部化因子曲線改進(jìn)成3維局部化因子譜線。

仍以應(yīng)變能方法為例，對(duì)任意1階模態(tài)來(lái)說(shuō)，某級(jí)葉片失諧模態(tài)的3維局部化因子可描述為

式中：j為該級(jí)第j個(gè)葉片；E（j）m為失諧后該級(jí)第j個(gè)葉片振動(dòng)模態(tài)應(yīng)變能無(wú)量綱元素；Et為失諧前該階振動(dòng)模態(tài)應(yīng)變能的最大無(wú)量綱元素。

2 改進(jìn)的模態(tài)局部化因子在失諧多級(jí)葉盤模態(tài)分析中的應(yīng)用

為了驗(yàn)證上述模態(tài)局部化因子的有效性，以典型2級(jí)葉盤模型（如圖1所示）為例進(jìn)行方法檢驗(yàn)。

在圖1示出的2級(jí)葉盤結(jié)構(gòu)的有限元模型中，葉片失諧量通過(guò)改變?nèi)~片材料的彈性模量來(lái)實(shí)現(xiàn)，其中，2級(jí)葉片失諧標(biāo)準(zhǔn)差均為2%。2級(jí)葉片失諧模式分別如圖2、3所示，各類葉片數(shù)量分別如圖4、5所示，對(duì)應(yīng)式（7）的 2級(jí)葉片前200階局部化因子曲線如圖6所示。由于式（7）目前已能夠滿足小量失諧識(shí)別要求，因此沒(méi)有給出式（9）對(duì)應(yīng)的高階模態(tài)局部化因子曲線。對(duì)應(yīng)式（10）的3維模態(tài)局部化因子曲線分別如圖7、8所示，典型失諧2級(jí)葉盤模態(tài)振型和各葉片葉尖相對(duì)位移分別如圖9、10所示。

從圖6中可見(jiàn)，第1階模態(tài)為2級(jí)節(jié)圓耦合振動(dòng)模態(tài)，2級(jí)之間耦合強(qiáng)烈，不產(chǎn)生明顯局部化現(xiàn)象；第2～54階為第1級(jí)葉片1階彎曲主導(dǎo)振動(dòng)模態(tài)，由于為失諧級(jí)葉片主導(dǎo)振動(dòng)，因此，第1級(jí)葉片局部化現(xiàn)象比較嚴(yán)重，同時(shí)也引起第2級(jí)葉片輕微失諧振動(dòng)，但影響微弱，其中的典型振型和葉尖相對(duì)位移如圖9所示；第55階為第2級(jí)葉盤節(jié)圓耦合振動(dòng)模態(tài)，2級(jí)均沒(méi)有明顯局部化現(xiàn)象；第56～98階為第2級(jí)葉片1階彎曲主導(dǎo)振動(dòng)模態(tài)，由于為失諧級(jí)葉片主導(dǎo)振動(dòng)，因此，第2級(jí)葉片局部化現(xiàn)象較為嚴(yán)重，同時(shí)也使第1級(jí)葉片產(chǎn)生輕微局部化振動(dòng)；第99～102階為2級(jí)耦合振動(dòng)模態(tài)[5]，2級(jí)沒(méi)有明顯的局部化現(xiàn)象發(fā)生；第103～155階為第1級(jí)葉片1階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)，該級(jí)有模態(tài)局部化現(xiàn)象，并能使第2級(jí)葉片也有輕微局部化振動(dòng)；第156～16 2階為耦合振動(dòng)模態(tài)，既有單級(jí)葉盤耦合又包括2級(jí)耦合振動(dòng)[5]，此時(shí)，第2級(jí)葉片局部化現(xiàn)象表現(xiàn)并不明顯，其典型振型和葉尖相對(duì)位移圖如圖10所示；第16 3～200階為第2級(jí)葉片1階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)，該級(jí)葉片有模態(tài)局部化現(xiàn)象，并能使第1級(jí)葉片也產(chǎn)生輕微局部化振動(dòng)。這些現(xiàn)象在如圖7、8所示的3維局部化因子譜線中均能明顯反映出來(lái)。

綜上所述，失諧多級(jí)葉盤振動(dòng)局部化較易發(fā)生在失諧級(jí)葉片主導(dǎo)振動(dòng)模態(tài)，失諧后會(huì)對(duì)相鄰級(jí)葉片振動(dòng)有微弱影響；在強(qiáng)耦合振動(dòng)模態(tài)（包括單級(jí)葉盤耦合振動(dòng)模態(tài)及多級(jí)葉盤耦合振動(dòng)模態(tài)，如圖6中綠色圓圈所示位置）[5]中，各級(jí)局部化現(xiàn)象均不嚴(yán)重。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文主要研究失諧多級(jí)葉盤振動(dòng)模態(tài)局部化的定量評(píng)價(jià)方法，定義了幾種多級(jí)葉盤應(yīng)變能局部化因子，并在失諧2級(jí)葉盤振動(dòng)模態(tài)局部化分析中進(jìn)行了檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果表明：這幾種模態(tài)局部化因子能夠較好識(shí)別失諧多級(jí)葉盤的失諧特性，識(shí)別結(jié)果與有限元法模態(tài)分析振型觀察結(jié)果吻合得較好。

本文所述方法和結(jié)論可為葉盤結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析提供參考和依據(jù)。參考文獻(xiàn)：

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Quantitative Assessment Method of Vibration Mode Characteristics for Mistuned Multistage Blisk

GE Chang-chuang1， WANG Jian-jun2， LIU Yong-quan1
（1.AVIC Shenyang Engine Design and Research Institute,Shenyang 110015,China;2.School of Jet Propulsion,Beihang University,Beijing 100191,China）

The quantitative assessment method of vibration mode characteristics for mistuned multistage blisk was studied.The vibration mode characteristics were evaluated by three kinds of localized factors based on the strain energy theory.The localized characteristics about the mistuned two-stage blisk were analyzed.The results show that three kinds of mode localization factors have well adaptability in evaluating the vibration of mistuned multistage blisk.

mistune;multistage blisk;mode;quantitative assessment;strain energy;localized factor

葛長(zhǎng)闖（1979），男，工程師，主要從事航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子強(qiáng)度設(shè)計(jì)工作。