付士慧， 魏紅軍， 劉 洋

(鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)系 河南 鄭州 450001)

0 引言

非線性系統(tǒng)中的混沌控制與同步是當(dāng)今非線性科學(xué)中一個(gè)富有挑戰(zhàn)性和具有應(yīng)用前景的課題.同步在自然界中經(jīng)常存在，在通信、控制、機(jī)械、電路和生物系統(tǒng)特別是保密通訊都有著重要的應(yīng)用. 有些同步是有益的，如調(diào)和振子的生成、保密通訊及組織管理的協(xié)調(diào)等，我們需要這種同步；有些同步是有害的，如傳輸控制協(xié)議窗口的增加，因特網(wǎng)或通訊網(wǎng)絡(luò)中信息擁塞等，我們要盡量避免這種同步.到目前為止，人們已經(jīng)對(duì)多種同步類型(完全同步[1]，滯后同步[2]，期望同步[3],預(yù)測(cè)同步[1]，廣義同步[1]等等)和實(shí)現(xiàn)同步的多種方法(驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步法，自適應(yīng)同步法[4]，脈沖同步法[5]，觀測(cè)器同步法[6]等)進(jìn)行了研究，并且取得了豐富的成果.

完全同步是最簡(jiǎn)單的混沌同步類型，對(duì)它的研究，無(wú)論在理論上還是在方法上都較其他的同步類型完善.對(duì)于混沌系統(tǒng)的完全同步，耦合方式主要有兩種：?jiǎn)蜗蝰詈虾碗p向耦合.被耦合的系統(tǒng)之一并不會(huì)隨著耦合而發(fā)生變化，這種耦合稱為單向耦合；相反的兩個(gè)系統(tǒng)之間相互影響，則這種耦合稱為雙向耦合[1].Hebertt[7]對(duì)單向耦合的混沌系統(tǒng)通過(guò)廣義哈密頓系統(tǒng)和觀測(cè)器的方法研究了其同步問(wèn)題，這種方法還被推廣到時(shí)滯系統(tǒng)，對(duì)保密通信中的應(yīng)用進(jìn)行了研究[8].Mu等[9]利用該方法還研究了變參數(shù)混沌系統(tǒng)的同步問(wèn)題.本文將該方法進(jìn)一步推廣到了雙向耦合的混沌系統(tǒng).

1 雙向耦合系統(tǒng)的完全同步

給定光滑系統(tǒng)

(1)

其中f∈Rn是連續(xù)可微的.

通過(guò)廣義哈密頓系統(tǒng)，方程(1)重新被表示

(2)

利用觀測(cè)器法，構(gòu)造驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)分別為

(3)

和

(4)

其中y是系統(tǒng)的輸出量，矩陣C是常數(shù)矩陣；ξ和η分別為x和y的擾動(dòng)；K,K1是常數(shù)矩陣.

接下來(lái)的主要工作是設(shè)計(jì)K,K1，使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(3)及其相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)(4)能夠達(dá)到完全同步.

記

e(t)=x(t)-ξ(t),ey=y-η，

則方程(3)和(4)的誤差系統(tǒng)為

(5)

要使系統(tǒng)(3)和(4)能達(dá)到完全同步，只需誤差系統(tǒng)(5)的零解是穩(wěn)定的.為此，下面的定理1主要給出了當(dāng)K,K1滿足一些條件時(shí)系統(tǒng)(5)的零解是穩(wěn)定的.

定理1若矩陣

是負(fù)定的，則誤差系統(tǒng)(5)的零解是穩(wěn)定的，即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(3)和其相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)(4)能夠達(dá)到完全同步.

證明令Lyapunov函數(shù)v=H(e)則

2 數(shù)值仿真

洛倫茲系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(6)

根據(jù)方程(2)，重新設(shè)計(jì)系統(tǒng)(6)得

(7)

其中

根據(jù)方程(3)和(4)，則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)分別為

(8)

和

(9)

其中

因此誤差系統(tǒng)為

(10)

即

(11)

由上述定理，據(jù)Sylvester準(zhǔn)則，當(dāng)滿足

k1+K1>-σ,σ(1-K2-k2)2<4(σ+K1+k1)

時(shí)，誤差系統(tǒng)(11)的零解是穩(wěn)定的，這也表明驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(8)及其響應(yīng)系統(tǒng)(9)達(dá)到了完全同步.

取定參數(shù)

系統(tǒng)(8)和(9)的相位圖如圖1和圖2所示，從圖中可見(jiàn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是混沌的；其相應(yīng)的誤差系統(tǒng)(11)隨時(shí)間變化的歷程圖如圖3～5所示，狀態(tài)變量很快趨于零，這說(shuō)明系統(tǒng)(8)及其相應(yīng)的系統(tǒng)(9)很快達(dá)到了完全同步.同步速度與參數(shù)的選取有一定的關(guān)系，若參數(shù)選取在同步條件的邊界附近，同步速度可能相對(duì)慢些.

圖1 系統(tǒng)(8)的相位圖 Fig.1 Phase diagram of equation (8)

圖2 系統(tǒng)(9)的相位圖Fig.2 Phase diagram of equation (9)

圖3 誤差系統(tǒng)(11)的時(shí)間歷程圖 Fig.3 Time history of e1 in error system (11)

圖4 誤差系統(tǒng)(11)的時(shí)間歷程圖Fig.4 Time history of e2 in error system (11)

圖5 誤差系統(tǒng)(11)e3的時(shí)間歷程圖Fig.5 Time history of e3 in error system (11)

3 結(jié)論

通過(guò)廣義哈密頓系統(tǒng)和觀測(cè)器方法對(duì)混沌系統(tǒng)重新設(shè)計(jì)后，構(gòu)造了具有雙向耦合的驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)；利用Lyapunov穩(wěn)定性理論研究了誤差系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性，給出了完全同步的條件；數(shù)值結(jié)果也表明了該方法的正確性.

參考文獻(xiàn)：

[1] Boccaletti S, Kurths J, Osipov G, et al. The synchronization of chaotic systems[J]. Physics Reports, 2002, 366: 1-101.

[2] Shu Y L, Zhang A B, Tang B D. Switching among three different kinds of synchronization for delay chaotic systems[J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2005, 23(2): 563-571.

[3] Senthilkumar D V, Lakshmanan M. Transition from anticipatory to lag synchronization via complete synchronization in time-delay systems[J]. Phys Rev E, 2005, 71: 016211.

[4] 王興元，武相軍. 耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的自適應(yīng)控制與同步[J]. 物理學(xué)報(bào)，2006, 55(10): 5077-5082.

[5] 陳菊芳，張入元，彭建華. 脈沖驅(qū)動(dòng)離散混沌系統(tǒng)同步的實(shí)驗(yàn)與理論研究[J]. 物理學(xué)報(bào)，2003, 52(7): 1589-1594.

[6] 關(guān)新平，何宴輝，范正平. 擾動(dòng)情況下一類混沌系統(tǒng)的觀測(cè)器同步[J]. 物理學(xué)報(bào)，2003, 52(2): 276-280.

[7] Sira-Ramírez H, Cruz-Hernndez C. Synchronization of chaotic systems: a generalized Hamiltonian systems approach[J]. Int J Bifurcat Chaos, 2001, 11(5): 1381-1395.

[9] Mu X W, Pei L J. Synchronization of the near-identical chaotic systems with the unknown parameters[J]. Applied Mathematical Modeling, 2010, 34(7): 1788-1797.