張忠軍, 陳雁東,2, 楊 軍，3

(1.燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004；2.廣靈縣第一中學(xué)校 山西 大同 037500; 3.河北省數(shù)學(xué)研究中心 河北 石家莊 050000)

0 引言

由于時標(biāo)上動態(tài)系統(tǒng)的理論能將連續(xù)和離散理論很好統(tǒng)一起來,已得到了廣泛關(guān)注,也取得了一些成果[1-2],但對時標(biāo)上脈沖動力系統(tǒng)的實用穩(wěn)定性的研究還非常少見[3].關(guān)于時標(biāo)上具有依賴狀態(tài)的脈沖動力系統(tǒng)的實用穩(wěn)定性至今還沒有相關(guān)文獻(xiàn).本文在文獻(xiàn)[4-6]的基礎(chǔ)上,考慮時標(biāo)上具有依賴狀態(tài)脈沖的動力系統(tǒng)關(guān)于兩個測度的實用穩(wěn)定性,將測度函數(shù)與Lyapunov函數(shù)的特征結(jié)合起來,直接利用兩個測度函數(shù)h0和h本身的特性,僅對兩個測度函數(shù)中的一個適當(dāng)加條件,而無需另外構(gòu)造Lyapunov函數(shù),就得到了判定(h0,h)-實用穩(wěn)定性的充分條件.

1 預(yù)備知識

考慮具有依賴狀態(tài)脈沖動力系統(tǒng)

(1)

其中，T為時標(biāo)(具有標(biāo)準(zhǔn)順序和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的實數(shù)R的任意非空閉子集)，xΔ(t)表示x(t)在t處的Δ導(dǎo)數(shù)，且滿足下列條件:

(i)f∈CrdT×Rn,Rn,在τk,τk+1上右稠密連續(xù),且

(iii)Ik∈CrdRn,Rn,k=1,2,…,且(1)式的任意解撞擊給定的脈沖面Sk：t=τk(x)僅一次;

(iv)f(t,0)≡0,Ik(0)=0.

為以后敘述方便,假定τ0(x)≡t0,且給出如下記號:

K={u∈Crd[R+,R+]:u(0)=0且u嚴(yán)格單調(diào)遞增}，

CK={u∈Crd[T×R+,R+],?t∈T,u(t,·)∈K},

Γ= {h:Crd[T×Rn,R+],h在所有集合Gk上連續(xù)且對

S(h,ρ)={(t,x)∈T×Rn:h(t,x)<ρ,ρ>0,h∈Γ}.

定義1設(shè)h0,h∈Γ,稱脈沖動力系統(tǒng)(1)為

(i)(h0,h)-實用穩(wěn)定,如果給定(λ,A),0<λ

h(t,x(t))

(ii)(h0,h)-一致實用穩(wěn)定,如果對所有t0∈T,(i)都成立.

定義2設(shè)h∈Γ,(t,x)∈G0,定義

易知,若h(t,x)關(guān)于x滿足局部Lipschitz條件,當(dāng)T=R時,有

其中,x(t)=x(t,t0,x0)為脈沖動力系統(tǒng)(1)的任意解.

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè)

(i)h0,h∈Γ,且存在0<λ0,φ∈CK,且當(dāng)h0(t,x)<λ時,

h(t,x)≤φ(t,h0(t,x)),(t,x)∈T×S(h0,λ0);

(ii)當(dāng)(t,x)∈G0時,h(t,x)關(guān)于x滿足局部Lipschitz條件,且

D+hΔ(t,x)≤0,(t,x)∈G∩S(h0,ρ);

(iii)h(t+0,x+Ik(x))≤h(t,x),(t,x)∈Sk∩S(h,ρ);

(iv)存在ρ0∈(0,ρ)使得當(dāng)(t,x)∈Sk∩S(h,ρ0)時有h(t+0,x+Ik(x))≤ρ,則脈沖動力系統(tǒng)(1)為(h0,h)-實用穩(wěn)定的.

證明任給A∈(0,ρ),t0∈T,由φ∈CK知存在λ∈(0,λ0)使得φ(t0,λ)

h(t0,x0)<φ(t0,h0(t0,x0))≤φ(t0,λ)

下證對系統(tǒng)(1)的滿足h0(t0,x0)<λ的任意解x(t)有

h(t,x(t))

(2)

h(t*,x(t*))≥A且h(t,x(t))

A≤h(t0,x(t0))<ρ且h(t,x(t))<ρ,t∈[t0,t0].

因此由條件(ii)和條件(iii)知,t∈[t0,t0]時h(t0,x(t))為非增的,故

h(t,x(t))≤h(t0,x0),t∈[t0,t0].

因此有h(t0,x(t0))≤h(t0,x0)

定理2在定理1的基礎(chǔ)上,將條件(i)加強(qiáng)為

(i*)h0,h∈Γ,且存在λ0>0,φ∈K,使得

h(t,x)≤φ(h0(t,x)),(t,x)∈S(h0,λ0),

則脈沖動力系統(tǒng)(1)為(h0,h)-一致實用穩(wěn)定的.

證明任意A∈(0,ρ0),t0∈T,由φ∈K知存在λ∈(0,λ0),使得φ(λ)

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