韓 迪

(西北大學 數學系 陜西 西安 710127)

0 引言及結論

著名數論專家 Smarandache教授在他的著作中引入不少新的數論函數、數列[1], 同時也提出了未解決的問題和猜想, 這些內容引起了研究者的重視和興趣, 并取得了一系列重要的研究成果[2-5].

Jebreel教授在文獻[6]中研究Smarandache問題時提出了特定幸福立方數的概念, 即對任意正整數n, 如果n的各位數字的立方相加所得之值恰好等于n, 那么這個正整數n就稱為特定幸福立方數. 例如,1=13,153=13+53+33,370=33+73+03,371=33+73+13,407=43+03+73,….所以1,153,370,371,407均為特定幸福立方數. 設F3={1,153,370,371,407,…}表示所有特定幸福立方數的集合. 那么Jebreel教授在文獻[6]中針對這個集合也提出了下列幾個需要回答的公開問題：1) 特定幸福立方數之集合F3是有限集還是無限集?2)如果集合F3是無限集，那么407后緊接著的數應該是什么?3)集合F3的密度是多少?4)在集合F3中共有多少個素數?5)特定幸福立方數與幸福數、Fibonacci數、Lucas數及Pell數有什么聯系?6)在特定幸福立方數列中,370和371是連續(xù)的, 那么在這個數列中是否還存在這樣連續(xù)的數對?

本文利用初等方法以及不等式理論對以上6個問題進行研究, 并給予解決. 此外,還將文獻[6]中的問題推廣和延伸, 給出了一般特定幸福k次方數的結論.

定理1設F3表示特定幸福立方數列之集合, 則數列F3是有限集且F3={1,153,370,371,407}, 在這個數列中有且只有一個素數407; 并且對任意給定的正整數k≥3, 集合Fk是有限集.

1 定理1的證明

利用初等方法以及不等式理論來完成定理1的證明. 本文中所使用的初等數論知識參見文獻[7-8]. 設As是特定幸福立方數列{an}中的一個元素. 假定As的十進制表示式為asas-1…a2a1, 其中1≤as≤9,0≤a1,a2,…,as-1≤9. 于是由特定幸福立方數的定義有

(1)

顯然由(1)式可以推出不等式

(2)

即s必須滿足不等式 10s-1≤93×s. 設函數fs=10s-1-729s, 則f′s=10s-1×ln 10-729, 當s≥5時,顯然有f′s≥104ln 10-729>0,所以當s≥5時,f(s)為遞增函數且f5=104-5×729=6 355>0, 故由單調遞增函數的性質可知,對所有s≥5,有不等式f(s)>0.從而對所有整數s≥5, 有不等式10s-1>93×s. 這顯然與不等式(2)矛盾.所以要使不等式(2)成立, 必須有s≤4. 下面分別討論s=1,2,3,4.

當s=4時,令A4=a1a2a3a4,并且有1≤a1≤9,0≤a2,a3,a4≤9.由A4的取值范圍為1 000≤A4≤2 916, 推出a1=1或者a1=2. 這時,用計算機編程來驗證是否存在這樣的A4,最終答案是否定的.

當然,也可直接證明4位數中沒有特定幸福立方數. 事實上當a1=2時,maxA4≤93×3+23=2 195. 則2 000≤A4≤2 195. 從不等式可以看出a2=0 或者a2=1.

(i)當a2=0時,A4≤93×2+23=1 466.不在A4的取值范圍內, 故不成立;

(ii)當a2=1時,A4≤93×2+23+1=1 467.也不在A4的取值范圍內, 故不成立.

因此, 得出當a1=2時, 即首位是2的4位數中沒有特定幸福立方數.

當a1=1時, maxA4≤93×3+1=2 188,則 1 000≤A4≤1 999. 從不等式可以看出 0≤a2≤9.

用同樣的方法可以討論a2=1,2,3,4,5,6,7,8,9時的情況,在此不作詳細陳述. 通過討論發(fā)現首位為1的4位數中沒有固定幸福立方數.

類似的，可以討論s=3,2,1的情況，不難推出F3={1,153,370,371,407}.從而證明了特定幸福立方數列是有限的, 確切地說F3包含5個元素, 且在這5個數中，只有407一個素數.

因此,特定幸福k次方數之集合是有限的,定理1得證.

參考文獻：

[1] Smarandache F. Only Problems, Not Solutions[M]. Chicago: Xiquan Publishing House, 1993.

[2] Liu Yaming. On the solutions of an equation involving the Smarandache function[J]. Scientia Magna, 2006,2(1): 76-79.

[3] 張沛. 一個包含偽 Smarandache 無平方因子函數的方程[J]. 鄭州大學學報: 理學版, 2008, 40(2): 36-38.

[4] 李玲, 姚維利. 一個包含 Smarandache 函數與偽 Smarandache 函數的方程及其正整數解[J]. 四川師范大學學報: 自然科學版, 2010, 33(2): 200-202.

[5] 蔡立翔. 一個包含數論函數的方程及其正整數解[J]. 鄭州大學學報: 理學版, 2008, 40(2): 33-35.

[6] Muneer Jebreel.Smarandache sequence of happy cube numbers[J]. Smarandache Notions Journal, 2004,14(1), 139-140.

[7] 張文鵬. 初等數論[M]. 西安: 陜西師范大學出版社, 2007.

[8] Apostol T M. Introduction to Analytic Number Theory[M]. New York: Springer-Verlag, 1976.