鄧啟強(qiáng)

通常最短路線問(wèn)題是以“平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短”為原則引申出來(lái)的。人們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問(wèn)題。這類考題在近幾年各省市的中考數(shù)學(xué)試題中作為壓軸題屢見(jiàn)不鮮，在此類問(wèn)題時(shí)，一般我們先用“對(duì)稱”的方法化成兩點(diǎn)之間的最短距離問(wèn)題，而兩點(diǎn)之間直線段最短，從而找到所需的最短路線。這樣將一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)和它等價(jià)的問(wèn)題，再設(shè)法解決，是數(shù)學(xué)中一種常用的重要思想方法。但是在中考中學(xué)生很難將一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的簡(jiǎn)單問(wèn)題，筆者通過(guò)仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，通過(guò)建立模型可以有效解決這一難題。

模型一：一定一動(dòng)一直線

如圖1，已知點(diǎn)P是直線a外一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線a上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PD垂直直線a時(shí)，點(diǎn)P到直線a的距離最短。（實(shí)質(zhì)是“垂線段最短”的定理）

變式1：如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)P是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AC于點(diǎn)F，PE⊥BC于點(diǎn)F，連接EF，且已知AC＝8，BC＝6。

問(wèn)題：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)什么位置時(shí)，線段EF最短？最短是多少？

分析：由題意知四邊形FCED是矩形，線段EF是對(duì)角線，因此求EF可轉(zhuǎn)化為求CD，顯然當(dāng)CD⊥AB時(shí)線段CD最短。

解：連結(jié)CD，則CD＝EF

根據(jù)勾股定理，AB=AC2+BC2=82+62=10

當(dāng)CD⊥AB時(shí)線段CD最短，此時(shí)12AB·CD=12 AC·BC

故CD＝4.8即EF最短4.8。

模型二：兩定一動(dòng)一直線（即“將軍飲馬”問(wèn)題）

據(jù)說(shuō)，在古希臘有一位聰明過(guò)人的學(xué)者，名叫海倫。有一天，一位將軍向他請(qǐng)教了一個(gè)問(wèn)題：從A地出發(fā)到河邊飲馬，然后再B地，走什么樣的路線最短？如何確定飲馬的地點(diǎn)？（把河看成一條直線）

顯然作點(diǎn)B關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)C，連結(jié)AC，交直線a于點(diǎn)P，則PA＋PB最短。

變式2：在上述“將軍飲馬”問(wèn)題中直線a代表的是河岸，在實(shí)際中點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)也許會(huì)在河里，也許會(huì)在河的對(duì)岸?？上攵?，在真實(shí)的情境中，操作很可能并不是那么方便，又該怎么解決呢？

解法：如圖4，分別過(guò)點(diǎn)A、B作直線a的垂線，垂足分別為C、D，連接AD和BC交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作直線a垂線，垂足為P，則點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)。下面簡(jiǎn)述其證明要點(diǎn)：

如圖5，過(guò)點(diǎn)E作直線MN∥a，分別交AC、BD于點(diǎn)M、N，連結(jié)PB、PA，延長(zhǎng)AP于BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F由輔助線的作法可知EN＝PD，EM＝PC

易△ACE≌△DEB，所以根據(jù)對(duì)應(yīng)高之比等于相似比可知ACBD=EMEN=PCPD

再由△ACP≌△FDP，可得ACDF=PCPD，故BD＝DF

則點(diǎn)B與點(diǎn)F關(guān)于直線a對(duì)稱。

變式3：修橋問(wèn)題（北師大版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)）：如圖，A、B兩個(gè)單位分別位于一條封閉式街道的兩旁，現(xiàn)準(zhǔn)備合作修一座過(guò)街天橋。問(wèn)：橋建在何處才能使由甲到乙的路線最短？注意，橋必須與街道垂直。

分析：街道可抽象成兩條平行線a、b，橋無(wú)論建在何處橋長(zhǎng)MN是不變的，只要能把AM、BM合成一條線段，即對(duì)比將軍飲馬問(wèn)題，只要將A、B兩點(diǎn)放在街道的同一側(cè)即可。

作法：1、作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)F；

2、過(guò)點(diǎn)B作BD垂直直線b于點(diǎn)E，并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，交直線a于點(diǎn)D，使DC＝BE

3、連結(jié)CF，交直線a于點(diǎn)M

故應(yīng)天橋修建在點(diǎn)M處，即AM＋MN＋BN最短。

模型三、一定兩動(dòng)兩直線

如圖，點(diǎn)P是∠MAN內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)C、D是射線AM、AN上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)C、D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段△PCD的周長(zhǎng)最短？

作法：1、作點(diǎn)P關(guān)于射線AM的對(duì)稱點(diǎn)E；

2、作點(diǎn)P關(guān)于射線AN的對(duì)稱點(diǎn)F；

3、連線E、F，分別交AM、AN于點(diǎn)C、D。

故：PC＋PD＋CD最短，即△PCD的周長(zhǎng)最短

模型四：兩定兩動(dòng)兩直線

如圖7，C、D是∠AOB內(nèi)任意兩點(diǎn)，M、N分別是OA、OB的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CMND的周長(zhǎng)最短？

作法：1、作點(diǎn)C關(guān)于射線OA的對(duì)稱點(diǎn)E；

2、作點(diǎn)D關(guān)于射線OB的對(duì)稱點(diǎn)F；

3、連結(jié)EF，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N

故：CM＋MN＋DN＋CD最短，即四邊形CMND的周長(zhǎng)最短。

總之，要解決在平面內(nèi)求一點(diǎn)至另外兩點(diǎn)的距離之和最短的問(wèn)題，要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析，將其轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”的問(wèn)題。