周聯(lián)

(上海海事大學(xué) 文理學(xué)院，上海 201306)

0 引言

近年來，C曲線曲面方法［1－3］作為一種新的曲線曲面造型理論，引起廣大幾何設(shè)計工作者的密切關(guān)注，其主要優(yōu)點［4］在于它兼?zhèn)溆欣鞡ézier曲線或有理B樣條曲線能統(tǒng)一表示圓錐曲線和自由曲線的長處，且能擺脫有理曲線曲面在微分運算和積分運算上較為繁瑣的困境.因而，有關(guān)C曲線曲面的幾何性質(zhì)、幾何計算、幾何逼近的研究［5－9］，在一定程度上成為國內(nèi)外計算機(jī)輔助幾何設(shè)計學(xué)術(shù)界的研究熱點.

目前，在C曲線曲面的理論探索與實用技術(shù)開發(fā)上，一個值得注意的動向是大部分研究偏重于其幾何性質(zhì)和幾何表示方面，但在幾何計算和幾何逼近方面相對滯后.事實上，幾何計算和幾何逼近方法對工程應(yīng)用顯得更為重要、現(xiàn)實.例如，在Bézier曲線的幾何逼近方面，國際上眾多學(xué)者已經(jīng)對降階課題作了多年的深入研究［10－21］，并且將 Bézier曲線降階方法推廣到曲面［22－24］，但C曲線降階的研究論文卻寥若晨星.趙林玉［8］應(yīng)用廣義逆矩陣?yán)碚摵蛿_動約束法分別給出兩種降階逼近算法:前者考慮端點高階插值的一次降多階情形，但其逼近誤差比較大;后者由于C－Bézier曲線退化條件的復(fù)雜，事實上只給出將4次曲線降為3次的特殊算法.此外，趙林玉［8］把曲線的廣義逆矩陣方法推廣到C－Bézier曲面的約束降階.林新輝［9］討論 C－Bézier曲線在 L2范數(shù)下的保持端點C1，C2，G1，G2約束降1階逼近，但沒有考慮到一次降多階情形.由此可見，研究并開發(fā)優(yōu)質(zhì)高效的C曲線降階算法是當(dāng)務(wù)之急.所謂優(yōu)質(zhì)，是指算法必須滿足一次性降多階、保端點高階連續(xù)、精度最高、顯式表示;所謂高效，是指算法必須穩(wěn)定且速度最快.

基于文獻(xiàn)［9］的基轉(zhuǎn)換矩陣，本文利用分而治之的思想，首先把端點高階插值的C曲線最佳降多階這一復(fù)雜問題分解為兩個簡單問題——僅有端點高階插值但無須降階，以及無須端點插值的最佳降多階;其次，利用 C－Bézier基函數(shù)在空間 Γn=span{1，t，…，tn－2，sint，cos t}下的顯式表示，結(jié)合最小二乘法，給出C－Bézier曲線保端點高階插值的顯式最佳降多階算法.

1 預(yù)備知識

1.1 基函數(shù)的定義

設(shè)定初始函數(shù):

式中:t∈［0，α］.在空間 Γn=span{1，t，…，tn－2，sin t，cos t}上采用遞歸的方法構(gòu)造 n次 C－Bézier基函數(shù){u0，n(t)u1，n(t)… un，n(t)}，定義［3］

引理1 n次C－Bézier基函數(shù)在基{1 t …tn－2sin t cos t}下的顯式［9］表示為

式中:Un(t)=(u0，n(t)，u1，n(t)，…，un，n(t));Tn(t)=(ti，n)1×(n+1)=(1，t，…，tn－2，sin t，cos t);Βn=(b0，n，b1，n，…，bn，n).

當(dāng)0≤k≤n－2時，

當(dāng)k=n－1，n時，

根據(jù)引理1，易知:

若記

則

最后，令 Gn，m=(gi，j)(n+1)×(m+1).

Gn，n為實對稱正定矩陣，所以它可逆.Gn，m只與降階前后的階數(shù)有關(guān)系，所以可以先把它們逐一計算出來，存入數(shù)據(jù)庫中，以備隨時調(diào)用.這可保障C－Bézier曲線降階的高效率計算.通過下面6個積分公式，可以迭代求得矩陣Gn，m中的系數(shù).

1.2 端點插值

給定控制頂點pi，可以確定一條C－Bézier曲線

根據(jù)前述基函數(shù)定義，易知式(1)曲線的導(dǎo)矢曲線就是一條n－1次C－Bézier曲線，即

根據(jù)上面的導(dǎo)矢曲線形式，可以推出引理2.引理2 式(1)所示曲線P(t)在兩端點上的(k，l)階導(dǎo)矢分別為

2 C－Bézier曲線顯式約束降多階

首先把式(1)所示的曲線改記為Pn(t).目標(biāo)是找一條同樣的帶參數(shù)α但次數(shù)低達(dá)m(m＜n)的C－Bézier曲線

使得它與原曲線Pn(t)在兩端點處保持(k，l)階連續(xù)(k，l≥0;k+l≤m)，并且它們之間的最小二乘距離最小，即

2.1 確定約束控制頂點

在工程應(yīng)用中，兩條拼接曲線在端點處往往需要保持高階連續(xù).為此，根據(jù)引理1導(dǎo)出降階前后兩條曲線的端點約束條件.

引理3 曲線Pn(t)和Qm(t)在兩端點處分別保持(k，l)階連續(xù)，則有

(1)對于t=0，

(2)對于t=α，

并且有

借助引理3，可求出降階曲線Qm(t)的兩端約束控制頂點 q0，q1，…，qk和 qm－l，…，qm.

2.2 確定無約束控制頂點

為得到Qm(t)的其余控制頂點(無約束控制部分)，下面將其全部控制頂點和相應(yīng)的基函數(shù)全體分別分成兩部分.先設(shè)指標(biāo)集

那么，可以寫出

則問題(3)可以表述為

上式可寫成矩陣形式

其中

由于矩陣Gff為實對稱正定，所以它可逆.因而欲求的降階曲線的未約束控制頂點為

2.3 實例和比較

例1 采用文獻(xiàn)［8］中例1的數(shù)據(jù).已知原曲線的控制頂點為

取α=π/4求保端點插值且降3階的逼近曲線.采用本文方法所求得的降階曲線控制頂點為其中，逼近誤差為0.044 6.而采用文獻(xiàn)［8］的方法所得到的逼近誤差為0.089 7.

文獻(xiàn)［9］只能每次降1階，效率不高.圖1給出原曲線(實線)和最佳降3階逼近曲線(虛線).

圖1 原曲線和最佳降3階逼近曲線

例2 采用文獻(xiàn)［9］中例4數(shù)據(jù).已知原曲線的控制頂點為

取α=π/3求保端點插值且降2階的逼近曲線.采用本文方法所求得的降階曲線控制頂點為q0(0，0)，q1(1.507 0，－ 4.681 2)，q2(4.443 6，8.523 7)，q3(4.895 8，－9.099 4)，q4(6.664 4，5.276 3)，q5(8，0)，逼近誤差為0.100 5.而采用文獻(xiàn)［8］的方法所得到的逼近誤差為0.206 8.圖2給出原曲線(實線)和最佳降2階逼近曲線(虛線).

圖2 原曲線和最佳降2階逼近曲線

3 結(jié)束語

根據(jù) C－Bézier基的顯式表示，給出 C－Bézier曲線曲面的約束顯式最佳降階算法.

該算法有以下優(yōu)點:(1)降階曲線顯式表示;(2)一次降多階;(3)逼近誤差最佳;(4)降階曲線滿足端點高階插值.

該算法的不足之處是降階逼近誤差不能在曲線降階之前先驗性地求出，但由于降階曲線的控制頂點是顯式表示的，上述不足并不影響本算法的計算效率.

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